星空浩淼
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从渐近级数说起（3）
由于编辑公式麻烦，所以这里只是通过初等式子来说明道理。
考虑等式4x=1。如果你直接由此解出x=1/4当然好，这样就直接“一下子”地得到问题的“整个儿”解，完全解，exact解。我可能广义地称之为“非微扰解”（只要不是通过微扰逐级近似给出的解，从语言逻辑上讲，都叫做非微扰解）。
然而，并不是所有问题的解都是那么爽快地一下子整个儿让你得到。此时比较常用的办法就是用迭代展开的办法近似求解。
例如由4x=1得x=1-3x，由于左边的x与右边的x是同一个东西，因此可以用左边的x(=1-3x)代替右边的x得x=1-3(1-3x)。这个过程可以无穷地进行下去（即进行无穷迭代过程），最后得到x=1-3+9-27+81-......。我知道这个时候你可能想说什么，你先别急，听我娓娓道来。
显然，对于同一个式子，我们做不同的变形后，可以得到不同的迭代表达式。例如由4x=1得x=1-3x之后，进一步得x/3=1/3-x,即x=1/3-x/3。时得到的无穷迭代展开式是x=1/3-1/9+1/27-1/81+......。传统教材教导我们说，前一种x=1-3+9-27+81-......是非法的魔鬼，后一种x=1/3-1/9+1/27-1/81+......才是我们想要的天使。
科幻电影很多，除了科学家却很少有文学作家幻想另一个星球的知识文明结构形态是怎么样的。如果其他星球的“人们”其科学发现先后顺序，其科学内容的发展轨迹跟我们不同，那么他们的数学和物理教材可能跟我们有很大差别，对同一个东西除了描述语言和描述角度不同之外，甚至连理解方法和观点都跟我们不同，却又能跟我们殊途同归，异工同曲，同样建造一个发达文明。
回过头来接着说。数学家们为了追求数学上的严密，有时候会牺牲一些东西，错过一些漏网之鱼。好在跟数学关系很铁的物理这个时候会出来弥补。物理学家的伟大之处就在于，他们不但会擅长利用一切可以利用的数学资源，而且反过来又不受数学本身的约束，当他们觉得数学不符合自己所愿时，或者不好用时，就自己发展一些新的数学工具来现炒现卖，甚至因此而弥补了传统数学的不足，修正其谬误。因此他们不光是为数学提供课题而影响数学的发展方向和结构内容。
如果我们推敲和比较前面两种迭代展开的过程，会发现，我们看不出凭什么x=1/3-1/9+1/27-1/81+......会比x=1-3+9-27+81-......高人一等，二者从逻辑上来看是完全平等的，合理的。而且在更多的情况下，对于非常复杂情形（例如积分方程的迭代展开），我们事先并不知道哪种
迭代展开才是“合法的”，因为我们所做的每一步从逻辑上讲都是无懈可击的，并且都是一视同仁的，从同一个原始表达式出发，使用完全相同的方法和步骤。以前的数学家们要我们马后炮地根据最后得到的展开结果是否收敛，来反过来说谁合法谁不合法，实在令人别扭，是为了维护数学的尊严（严密性）——其实是一种错觉导致的虚惊一场——而强加给我们的，当然感觉不自然了。事实上，后面将要谈到，物理学家们和应用数学家们（我怀疑后者follow前者）在研究实际问题时，这两种展开（本文中的初等例子只是象征性的，打的比方）方法都在合法地使用着，而且有时候后者比前者更适用更有优势。
尽管这初看起来令人迷惑，其实迷惑的根源在于你对无穷的理解。无穷有两个面孔，有时候它只是一个“过程”而不是一个“状态”，是一个在无限地延伸变化着的东西而不是一个已经完成的静态量或固定之物，这种无穷在逻辑派别中称为“潜无穷”观点；有时候，例如在非标准分析中，在测度理论中，无穷被看作是象普通的有限的数一样，这是“实无穷”的逻辑派别观点。历史上两种观点争论不休。在我看来，这两种观点都对，是互补的，各有自己适用的范围和条件。潜无穷的观点不会带来逻辑悖论（即是一致的），然而是不完备的；实无穷则反过来，是完备的，却包含“一个量既是零又不是零”这样一个悖论命题。根据哥德尔定理，我们不可能让一个理论同时满足一致性和完备性的条件。也许这个世界就是这样互补的。当年有记者问哥德尔，他的那个定理跟量子力学中的不确定关系有什么联系时，被这为被称做“逻辑学界的Einstein”愤怒地赶了出来（哥德尔跟Einstein关系密切）。我为他的这一举动感到遗憾。
人类的科学发展是在迷惑和与矛盾斗争中进行的，几乎每一次的迷惑与矛盾归根结底都跟无穷有关。罗素悖论可以翻译成一种跟无穷有关的东西，理论物理也是常常是在考虑如何排除无穷中发展（例如紫外灾难之于量子力学，白天黑夜都是无穷亮之于有限宇宙论，还有重整化的出现，重整化对付不了量子引力理论时而出现当今的诸多理论，等等）。
对于无穷级数的理解，更一般地，应该潜无穷地理解成级数的部分和在无限延伸的过程，是一个表达式而不是一个已经确定的量或函数。只要这样你才能统一地理解前面两种级数展开皆为合理的结论。并且我们可以反过来，根据无穷迭代过程的“逆过程”将级数还原成原来的函数，这就是“可和”的本质含义之所在，将级数还原成原来的函数就是求可和级数的和函数的过程。“可和”是一个包含“收敛”在内的更具一般性的一个概念。因此真正代表“非法的”“没有用的”级数，是那种不可和的发散级数。
总之，只要是从同一个原始表达式出发，利用类似的推导过程和迭代方法，如果可以给出多个不同的级数展开，则不管它们是收敛的还是发散的，都是平等合理的。我们把它们统一地称为原函数的渐进级数。实际计算中，到底使用哪个展开级数好，这要看哪一个级数在给定的精度或给定的求和项数下收敛得最快。前面已经说过，对于同一个待求的问题，有时候发散的级数比一致收敛的级数收敛得更快。
从有限到无限之间，有时存在一个鸿沟和突变。例如一些结论在n有限时都成立——不管n有多大，可是，只要一旦你取n=无穷大，原来的结论就不成立了。这在逻辑上被称为“欧米伽不完备性”。此时证明中的归纳法不在适用。
未完代续
书生的理想
通古今晓天地创千秋业绩
执神笔出经文立万世功勋
| 发表时间：2004-05-14, 06:15:16 |
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卢昌海
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Re: 从渐近级数说起（3）
谢谢星空兄的好文章！
当年印度数学奇才 Ramanujan 的一封声称证明了包括
1+2+3+ ... +n+ ... = -1/12
在内的若干结果的信被送到 Hardy 案头时，Hardy 与 Littlewood 认出了这个“荒唐”级数的含义：
1/1^(-1) + 1/2^(-1) + 1/3^(-1) + ... = ζ(-1) = -1/12
即该级数给出了 Riemann ζ 函数在解析延拓区中的一个数值。这一点连同对 Ramanujan 其它结果的欣赏最终促成了 Ramanujan 与 Hardy 的传奇合作。发散级数功劳大大的！
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2004-05-14, 09:09:48 |
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星空浩淼
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Re: 从渐近级数说起（3）
谢谢昌海兄的夸奖！
你的黎曼级数方面的系列文章我先后下载到电脑上，准备等你全部写完了一气呵成地享受一番，这之前我怕等啊！：）。
我这辈子最喜欢天才人物（那是上天的得意之作，可惜老天有时候太小气了，以致于没过多久就迫不及待地收回，象你上面提到的拉马贾）。所以如果我是你的同学，可能会阻止你转行，呵呵。
书生的理想
通古今晓天地创千秋业绩
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| 发表时间：2004-05-14, 09:35:39 |
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轩轩
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Re: 从渐近级数说起（3）
顶！
虽然现在没有看全 但将来一定全看
holography
| 发表时间：2004-05-14, 23:37:06 |
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