星空浩淼
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从渐近级数说起（4）
1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+。。。。。。=1/2
1+0-1+1+0-1+1+0-1+。。。。。。=2/3
1-1-0+1-1-0+1-1-0+。。。。。。=1/3
上帝有时好象也爱和稀泥，走中庸之道。
初一看，上面三个级数中，后两个不过是在第一个基础上多加了0，而第二个级数和第三个级数只是放0的顺序不同而已。然而这三个级数的和却不同。
假如你象通常一样，对上面的级数从左到右地逐项进行计算，你的脑袋里所储存的中间数据是：
1）对于第一个级数，是1，0，1，0，1，0，1，0。。。。。。就这样在1和0之间上下波动来回振荡，这样无穷进行下去，“最后的”结果却是取中庸，为（1+0）/2=1/2。
2）对于第二个级数，是1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0。。。。。。就这样在1，1和0之间轮回，这样无穷进行下去，“最后的”结果却是取中庸，即为三者的平均值（1+1+0）/3=2/3。
2）对于第三个级数，是1，0，0，1，0，0，1，0，0，1，0，0。。。。。。就这样在1，0和0之间轮回，这样无穷进行下去，“最后的”结果却是取中庸，即为三者的平均值（1+0+0）/3=1/3。
更复杂的情形，需要用曲线图配以几何的方法来做类似说明，例如可以分析为什么
1-2+3-4+5-6+。。。=1/4
以上分析到目前为止，仅限于本人所有（大家放心，结果是对的）。这个话题系列的以前部分地方也跟传统理论有所不同。
无穷是神奇的，因而也是令人迷惑的。例如古人给出的“人跑不过乌龟”，飞矢不动悖论等等。可以说，数学发展所经历的三次数学危机，都可以归结为跟无穷有关。魏尔说过：数学是无穷的科学。选择公理带来的分球怪论（例如，根据选择公理，你可以得出这种结论：你把一个金球通过无穷分割之后可以组成跟原来的金球完全一样的两个金球，有人还在电脑里面模拟了这个过程）令我们对无穷这个东西敬畏。当然，你可以不承认选择公理，但这样一来麻烦更大，并且带来的怪论就更多了。推动物理学的发展的动力之一也跟无穷有关，前面已经说过。
话说拉登和布什终于面对面了，仇人相见分外眼红。拉登拿出一个两分钟之内将会引爆的微型炸弹抛向布什，布在过了一分钟时将炸弹反抛给拉，拉在半分钟之后又抛给布，布又在1/4分钟后抛给拉，拉又在1/8分钟之后抛给布，布又在1/16分钟之后抛给拉。。。。。。就这样无穷地抛下去，可以对我们旁观者而言，当这个炸弹抛了无穷多次时，总共也就两分钟时间，正好爆炸。那么最后炸弹到底落在谁的手上呢？是布什死了还是拉登死了？当炸弹在拉登和布什之间来回抛时，如果炸弹在布什手上时代表1，在拉登手上时代表0，这样传递无数次之后，上帝还会来个和稀泥让炸弹在二人中间爆炸吗？
未完待续
书生的理想
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| 发表时间：2004-05-18, 10:10:26 |
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yinhow
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Re: 从渐近级数说起（4）
(1), 模2的特征
(2), 模3的特征
(3), 模6的特征
L(s,Kai)函数在s=0的值
L(s,Kai)有函数方程
其中Kai是Dirichlet特征
卢兄也可以讲讲这个函数的故事
小弟精力有限, 心有力而余不足
| 发表时间：2004-05-18, 19:51:00 |
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星空浩淼
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Re: 从渐近级数说起（4）
谢谢yinhow参与（对我而言，这叫不鸣则已，一鸣惊人）！
你能详细介绍一下你上面所说的属于数学中的哪个领域以及大致内容吗？我很感兴趣。
进一步地，象下面级数（即在1和-1之间有k个0的情形）
1+0+0+。。。-1+1+0+0+。。。-1+1+0+0+。。。=（k+1)/(k+2)
1-1-0-0-。。。+1-1-0-0-。。。+1-1-0-0-。。。=1/（k+2)
它们分别属于模几的特征？
还有
1-2^2+3^2-4^2+5^2-...=0
属于模几的特征？
无论数学还是物理，同样一个东西，可能同时存在多个不同角度上的理解。在传统理论中，我对可和级数的认识还限于初等的（例如Cesaro求和法，Holder求和法，Abel求和法，Borel求和法以及Euler求和法等等），象你上面谈到的从更高层次（应该也更具一般性和统一性）的角度上看这个问题，我还没有涉及过。在这里交流的一个好处正是如此，通过互通有无来提高。
我记得在胶球理论中所用到的QCD求和规则中，主要采用Borel求和法。如果采用你说的那种深度上的认识（我怀疑是跟超弦理论相关的数学工具——如果有一天我想了解超弦，可能主要是想认识那里的数学，看能否借鉴于其他领域，呵呵）
我在这个话题的系列中，试图给出从另一个角度来直观看待这些级数的小窍门。可惜编辑公式不方便，而且没法画图，不然用几何的方法更妙更有一般性。
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| 发表时间：2004-05-18, 22:29:58 |
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yinhow
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Re: 从渐近级数说起（4）
科学最奇妙之处我觉的就在于各部分有神秘的联系.
我提到的内容可以在潘承桐的<<解析数论>>和冯克勤的<<代数数论>>中找到.
卢兄以后的系列可能也会提到: ZETA函数正规化.
有一个个人主页可以参考一下:
Emilio Elizalde
http://www.ieec.fcr.es/recerca/cme/eli.html
| 发表时间：2004-05-18, 23:24:19 |
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yinhow
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Re: 从渐近级数说起（4）
举个简单的例子:
L(s, Kai(3))=Sum[Kai(3,n)/n^s, {n,1,Infinity}]
=3^(-s){Zeta[s, 1/3]-Zeta[s,2/3]}
Zeta[0,a]=1/2-a
L(0,Kai(3))=1/3
就是星空兄最后一个例子的结论
| 发表时间：2004-05-18, 23:30:51 |
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星空浩淼
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Re: 从渐近级数说起（4）
谢谢yinhow!
我总想将数学学到今后不需要再学的地步，在除了跟引力理论有关的领域以外的其他领域可以任意驰骋，结果发现这个目标恐怕永远无法达到——数学是学不完的，学术有专攻，只能借助于交流讨论跟合作了。
我这学期开了门非线性科学课程，想自己另外深入一点学习，结果发现那里使用李群和微分几何的方法是我以前没有见过的——跟物理学其他领域的使用方法和角度都不同，真是令我沮丧。
没想到我有一天还要关心起解析数论来。
书生的理想
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| 发表时间：2004-05-18, 23:59:38 |
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yinhow
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Re: 从渐近级数说起（4）
学无止境, 学海无涯.
理解和欣赏这种"美"
最好能创造这样的"美丽"
| 发表时间：2004-05-19, 01:43:28 |
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轩轩
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Re: 从渐近级数说起（4）
bush的最后的悖论实际上就是阿基里斯永远追不上乌龟？？
我一直没有真的搞清楚芝诺悖论的数学原因
一个感觉是这个与schwarschild度量下的黑洞探险者进入黑洞花了无穷长的坐标时间好象/
莫非？？？
holography
| 发表时间：2004-05-19, 07:46:24 |
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卢昌海
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Re: 从渐近级数说起（4）
我记得方励之的《力学概论》（名字可能记错）中用芝诺悖论的分割方式建立了一种芝诺时钟，用这种方式他把芝诺悖论表述为：芝诺时钟走到无穷只对应于普通时钟的有限时间（有点象轩轩说的Schwarschild 度规下的外部坐标时间与自由下落观测者的本征时间的关系）。
方励之在末了说了这样一段话（大意），我印象很深：我们的普通时钟是否也象芝诺时钟呢？现代宇宙学的研究给出的结论是肯定的。我到现在也不知道他指的具体是什么。是笼统地说我们的观测时空在数学上是可以延拓的呢还是指有具体的证据表明用宇宙中的物理过程（比方说原子钟的周期）定义的时钟具有与芝诺时钟类似的特点？
宠辱不惊，看庭前花开花落
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| 发表时间：2004-05-19, 08:24:21 |
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星空浩淼
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Re: 从渐近级数说起（4）
1）bush的最后的悖论实际上就是阿基里斯永远追不上乌龟？？
这应该是两个类型的悖论，但都是跟无穷有关的悖论
2）我一直没有真的搞清楚芝诺悖论的数学原因
一个感觉是这个与schwarschild度量下的黑洞探险者进入黑洞花了无穷长的坐标时间好象/
莫非？？？
据我所知，芝诺悖论的数学原因有多种说法。本人过去倾向于“无法用可数无穷的离散点集合来描述连续的不可数无穷个点集合”的解释，但是现在我不同意这种解释：
1）芝诺悖论所涉及到的是用可数无穷多个区间来涵盖一个较大的区间的问题，而不是“用可数无穷的离散点集合来描述连续的不可数无穷个点集合”的问题。
2）一个连续区间，可以存在有限覆盖或可数无穷个覆盖
3）换个角度来看，Dedekind的可分性定理也允许用可数个点来划分一段区间。
我现在的观点是：
1）从认识论的角度来看，与“schwarschild度量下的黑洞探险者进入黑洞花了无穷长的坐标时间”进行类比的解释是比较合理的（这种解释方励之和刘辽等人都有过），即这种悖论是存在于人们认识心理上的，存在于我们的思考方式或理性错觉之中——我们把时间分段的次数变成了我们的思考问题时的心理时间，尽管每次分段的长度不同，但每次的“次数”给了我们均等的感觉；
2）从本体论的角度来看，物理学中的不确定性原理也会让自然界本身不可能有这样的悖论。在时空间隔极短的情况下，我们根本无法预言人和乌龟的准确速度和位置，也无法确定时间上的先后次序。而且还会存在非线性相互作用的规律在起作用；
3）随着物理学的发展，尤其是关于量子时空理论的发展，人们对这个问题可能会补充进一些新的认识。
总之，这个几千年之前的问题，到目前为止，未必就已经得到了准确的答案。越是基本的问题，越难回答。我觉得大家在这里交流各述己见，各人时对时错都很正常，不要怕出错。最重要的是讨论与共同提高。
我很想同时知道其他各位是如何看待这个问题的。
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| 发表时间：2004-05-19, 08:54:22 |
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星空浩淼
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Re: 从渐近级数说起（4）
我刚提交，发现昌海兄也发了一个回复。
我也是没有看懂方励之到底是如何解释清楚的，可能刘辽相对而言要解释得清楚些。
在古代这个悖论出来后，就有哲学家认为这个悖论只会存在于我们的理性之中，刚好表明了我们对自然认识理解能力上存在局限性，人脑的思维能力并不是无限的。
有时候，在有些问题上，自然科学家（包括数学家和物理学家）并不比哲学家高明。
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| 发表时间：2004-05-19, 09:13:03 |
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卢昌海
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Re: 从渐近级数说起（4）
我倒不觉得 Zeno 悖论在现在还有什么令人困惑的地方，它只是把完成无限多个步骤与需要无限多的时间混淆在了一起。或者用级数的语言来说它把一个收敛级数也纯以项数而论视为无穷。方励之的解释在这点上很切中要害（我只是觉得他最后有关物理时间的评论太语焉不详）。
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| 发表时间：2004-05-19, 10:13:37 |
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Re: 从渐近级数说起（4）
昌海兄回答“它只是把完成无限多个步骤与需要无限多的时间混淆在了一起。或者用级数的语言来说它把一个收敛级数也纯以项数而论视为无穷。方励之的解释在这点上很切中要害（我只是觉得他最后有关物理时间的评论太语焉不详）”。
这个回答本身也是切中要害！比我的回答“我们把时间分段的次数变成了我们的思考问题时的心理时间，尽管每次分段的长度不同，但每次的“次数”给了我们均等的感觉”要清晰明了得多。
当年方励之后面的论述反而把我弄糊涂了。
这个悖论的一个糊弄人的地方是：它让人感觉是，赛跑的人尽管无穷地接近乌龟，但“总是”在乌龟之后，不管这个“后”是多么的接近于零。
可能有时候，整体分析是不能完全还原成多个局域分析之和。按悖论中的那种局域分析方法，最多能分析“追上”，似乎无法进一步分析“超过”。而整体分析，比较两个速度乘以时间之后的两个位移大小即可判断。
我现在同意昌海兄的说法：芝诺悖论不再令人迷惑。
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| 发表时间：2004-05-19, 11:57:37 |
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Re: 从渐近级数说起（4）
不过我在楼顶文章末尾的悖论，还是没有定论？
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| 发表时间：2004-05-19, 11:59:16 |
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卢昌海
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Re: 从渐近级数说起（4）
楼顶文章末尾的悖论厉害之处在于把那些原本越来越微不足道的时间放大了，即无论那些时间间隔多小，一个具有有限效果的事件完成了 - 炸弹的位置交换了，从而使情况变得更奇特。
这个悖论的关键在于炸弹的位置是在 Zeno 时间中定义的（并且也只在 Zeno 时间中定义）。而最后问的却是在炸弹爆炸的时候（即普通时间 t=2 分钟时）炸弹的位置。
但是整个的 Zeno 时间只对应于普通时间 [0，2）- 注意右端为开区间。即普通时间 t=2 并不在 Zeno 时间的覆盖范围内！炸弹的位置在这个时刻根本就没有定义过。换句话说问题所问的是一个函数 - 炸弹的位置作为时间的函数 - 在定义域之外的数值，因此我们无法回答。这并不构成实质意义上的悖论。
我们也可以不用 Zeno 时间之类的术语来分析这个悖论：它的要害在于悖论所提供的确定炸弹位置的方法只适用于时间 t<2 的情形，却似是而非地要让我们来确定 t=2 时的炸弹位置。
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| 发表时间：2004-05-19, 13:47:11 |
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星空浩淼
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Re: 从渐近级数说起（4）
昌海兄的分析有道理！
作为观点互补兼互动（你的观点启发我，反过来产生进一步的观点），我也进一步谈一下前面两个悖论（其实应该是“佯谬”，“悖论”的概念在逻辑学中是有专门所指的，那是一种客观存在的逻辑实体），供交流：
1）假定炸弹从拉登开始，扔到布施对应炸弹位移了1，则炸弹从布施扔回拉登时又位移了-1，此时总位移对应0。于是，炸弹在两人之间来回传递时，炸弹在拉登那里对应位移0，在布施那里对应位移1，经过无限趋近于2分钟的时间，产生无数次来回传递，则根据炸弹的位移量来判断炸弹最后所在的爆炸位置，此时炸弹的位移量为
x=1-1+1-1+1-1+1-1+......
即对应一个无穷级数之和。因此我判断最后炸弹在x=1/2处即两人中间爆炸——尽管，这纯属一个思维实验，物理上没法实现。按照实证主义哲学，这只能是一个伪问题。然而，下面这个问题就不是伪问题了。
2）在日常生活中，一个来回晃动的物体最后总是停留在中间位置。即，一个做阻尼减幅震荡的物体最终停留在中间位置（好象可以给出更好的例子，这会儿我想不起来）。我们以中间位置作为原点，物体的位移x在一边为正，在另一边为负，我们通过符号函数sign(x)与1，-1对应起来（x为正时，sign(x)=1;x为负时，sign(x)=-1)。不难分析，做阻尼减幅震荡的物体，要经历无数次来回震荡才会趋于中间位置x=0(对应sign(x)=0,在1，-1的中间）。
3）再谈一下芝诺佯谬。你前面已经说的够清楚了，但我这里还是试图进一步清晰完善到不需要多少思考就能完全明白的地步。
（1）定量模型化
为简单起见，假定人的速度是乌龟的两倍，并且二者开始计时进行比赛时，以人所在位置作为位移的原点，而乌龟在位移a(1)处，人到a(1)处是要花一秒钟（称从原点到a(1)对应一秒钟的路程，始终以人的速度为标准）。当人经过一秒钟到达a(1)处，乌龟则向前位移了1/2秒的路程到达a(2)处（“1/2秒的路程”是以人的速度来衡量的，始终以人的速度为标准，下同）。同理，当人又经过1/2秒钟到达a(2)时乌龟又向前位移了1/4秒路程到达a(3)处；人又经过1/4秒时间到达a(3)时乌龟又向前运动了1/8路程到达a(4)处。。。当人经过1/2^(n-1)秒钟到达a(n)时，乌龟又向前运动了1/2^n秒的路程到达a(n+1)。。。
现在，我们用S1(n)=a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)和S2(n)=a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)+a(n+1)来分别描述人和乌龟相对于原点（即人的初始位置）的位移，对应的运动时间为T(n)=1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1)。
当以上过程无穷进行下去时，相当于n趋于无穷大，此时总的时间T(n)趋于2秒钟，而人的位移和乌龟的位移趋于相等（即人赶上了乌龟）：S1(n)=S2(n)，或a(n)=a(n+1)=0。
（2）芝诺佯谬的分析
我觉得人们在芝诺佯谬面前感到困惑，同时包含了两个思维错觉：（A）正如昌海兄所说，将级数的无穷项数n（或无穷多个思维的操作步骤）错成了无穷的时间（“分析问题时的心理时间”)，而实际时间应该是T(n)趋于2秒钟；（B）总是认为a(n)比a(n+1)要差那么一点点（即人总是在乌龟之后：人处于位移S1(n)时，乌龟处于位移S2(n)=S1(n)+a(n+1)）。而按照级数收敛定理，n趋于无穷时，a(n+1)=0，S2(n)=S1(n)（即人终于赶上了乌龟）。
（3）等效模型
其实在芝诺佯谬中，乌龟可以去掉。考虑一个人在两秒中所跑过的总路程S，再将S按如下方式分解成无穷多项之和：人跑过一秒钟的路程a(1)加上人跑过1/2秒的路程a(2)加上人跑过1/4秒的路程。。。，即S=a(1)+a(2)+a(3)+.....。由于以上（2）中分析的原因，人们认为这个式子的右边无法还原成左边的S。这就是这个佯谬的本质所在。
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| 发表时间：2004-05-19, 23:38:21 |
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yinhow
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Re: 从渐近级数说起（4）
星空兄的有趣的例子有几个特征: 一是分母上是周期系列, 而且一个周期内所有的数加起来是零;
二是分母都是一. 我补充一下, 也举个例子,譬如说{1,-1,1,-1,0}, 但分母是自然数1,2,3,4,5...
求和是:S=1-1/2+1/3-1/4+0/5+....=Pi*Square[50-10*Square[5]]/25
可以推广到分母是自然数的N次方
| 发表时间：2004-05-23, 08:39:41 |
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yinhow
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Re: 从渐近级数说起（4）
可以参考下面的网址:
http://mathworld.wolfram.com/DirichletL-Series.html
| 发表时间：2004-05-25, 02:56:11 |
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yinhow
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Re: 从渐近级数说起（4）
物理用到的数学连数学家也无法想象, FIELDS奖几乎所有的工作都会涉及到, 如
Ahlfors, Kodaira, Serre, Atiyah, Grothendieck,
Hironaka, Novikov, Mumford, Deligne, Quillen,
Connes, 丘成桐,Donaldson, Faltings, Drinfeld,
Jones, Witten, Borcherds, Kontsevich.
| 发表时间：2004-05-25, 07:30:36 |
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星空浩淼
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Re: 从渐近级数说起（4）
谢谢英豪（yinhow)提供的信息！你在上网日记里面看到的东西也很有趣。
在国内的奇迹文库（qiji.cn）的逻辑类中，有“数学逻辑悖论奇景”一文献值得下载，我在大一时看过此书。楼顶文章最后的悖论即出自其中。
我前面的帖子里提到几种求和方法，可以用这些求和方法得到前面例子中的结果。
要爱上我你就别怕后悔，寂寞伴我行
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| 发表时间：2004-05-26, 10:32:33 |
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