轩轩
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闲话矩阵
闲话矩阵
这几天挺闲的，前几天读梁实秋的《雅舍小品》，看了一点，才知道这个世界上还有散文。我不想写《女人》或者《孩子》，因为这些题目对我来讲是太大了，我只想闲话一下数学上的矩阵。因为我没有雅舍可住，所以文笔也是松散而没有一点意义的。写着写着，可能会突然冒出一句：all is
vanity。
矩阵这样的东西以前是很奇怪的，对20岁上下的年轻人来讲。对矩阵的了解，很少有真知灼见。
如果一个人20岁，对矩阵相当熟悉，这是一件很不得了的事情。好象是哈代还是谁，如此评价华罗庚，说华摆弄矩阵就象平常人玩弄整数那样容易。这实际上是在说明华的水平之高，不是你我所能企及的。
矩阵就是一堆数字放在一起。这样的一堆数字组成了成年人的数学世界。很多人从小的时候就学习整数加法，然后大学入门以后学习矩阵加法，人生循规蹈矩。我从来没有见过小学里开始学矩阵乘法的人，所以从来觉得人生代代无穷己。
普通人从数字开始认识世界，我上大学的时候，第一次碰到一个东西，叫做张量，这个东西一点也不直观。如果告诉你某某张量，你很可能丈二和尚摸不着头脑，虾米是张量？我后来搞了半天，终于明白了一点，原来，2阶的张量，就是矩阵。在广义相对论里，有很多张量，微分几何学也在一段时间内被称为“一群人沉醉于玩弄上下标”。矩阵，就是带了指标的一些东西。
矩阵是神秘的，如果在大街上随便拦住一个人，问他一个矩阵能够对角化的条件，多数你会碰壁。假如真有人告诉你如何如何，那你有可能是在哥廷根这样的地方。我对这样的东西，一直是学了以后忘记，忘记了已经再学，因为它好象不是那么直观，比如1+1=2。要记起来很方便，忘记了也有人可以请教。后来有人告诉我说，一个矩阵要对角化，就是它和它的转置共厄相互对易。可惜，为什么是这个样子，要一念之间把它证明出来，我是不会了。
我在远远的地方看，矩阵好象是一块巨大的石头，不同的视角看它模样还不一样，等我走近一看，这分明就是一高山。等我进入山林，我顿时迷路。
很多人从sl（2，z）矩阵开始做东西，但我却迟迟没有办法深刻成那样子。我有时候甚至在想什么叫旋量，dirac遇见一个非线性的开根号，他告诉你说，根号在实数范围内好象开不出来，那我们拿两个矩阵，硬生生地把他开出来。我看到这里，每每大汗淋漓。心里大叫一声：牛比，看这个dirac方程，不是池中物。其实我一直很不奇怪这样子，因为我不知道为什么可以那样子。某一个时间我还是会开根号的，就是拿牛顿二项式来开，也就是说，用泰勒展开。但这样的展开式子，总是有无穷多个项的。
数学是奇怪的，在我看来，笛卡儿发明的座标系是一个大的创造，它把一部分小学智商的人区别出来，而我觉得矩阵也是一个大的创造，我不想查它是谁第一个发明的拉，但我相信，发明矩阵的人，一定和笛卡儿一样，试图在人堆里找出一批中学智商之人。
我一直在一中蒙昧的情景下学习矩阵。在里面迷糊了很久，到现在还是没有开窍。但我的生活中到处全是矩阵的影子，从相对论到量子力学，一本书里面如果没有一个矩阵那丫压根就不是一本正经的书。有的人说群表示论的书里面可能没有矩阵。那他错了，那是一本全部是用矩阵写成的书，连标点符号都是矩阵的。
凯勒-哈密顿定理告诉我一件事情，那就是一个矩阵本身可以象一个数一样代进它的本征方程并且满足。这样的时候让我觉得矩阵是美丽的，按照周杰伦的话来说可能上美索不大米亚平原布拉格广场塌塌米的稻香。反正是很美丽的的啦。这个给所有的人一个暗示，于是很多人开始关心这样的问题，这个定理对无限维矩阵是否成立。要是成立的话，微分方程的本征谱马上也会朝矩阵扑上来。
是的，矩阵似乎又是万能的。
于是，在所有的繁华凋零，总有一些人在思考矩阵这样的事情，有一个叫M理论的理论，据说，其M也是matrix，就是矩阵的意思。少数人会把它翻译成子宫。无论如何，这个时候矩阵显然是非常伟大的。
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
super star
| 发表时间：2004-08-27, 08:29:35 |
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yinhow
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Re: 闲话矩阵
In 1912 Hermann Weyl posed the following
problem: given the eigenvalues of two n product n
Hermitian matrices A and B, how does one
determine all the possible sets of eigenvalues
of the sum A + B?
.Honeycombs and Sums of Hermitian Matrices
http://www.ams.org/notices/200102/fea-knutson.pdf
If you know the eigenvalues of two Hermitian matrices, can you describe
the possible eigenvalues of the sum matrix? The authors explain the role
of combinatorial gadgets called honeycombs in a recent proof of the
description conjectured by Alfred Horn in 1962
| 发表时间：2004-08-28, 09:15:15 |
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yinhow
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Re: 闲话矩阵
这几天就为证明矩阵行立式的一个性质而头疼"
If M is a n*n matrix. and M=A+B, where A=1/2(M-M^(T)),
B=1/2(M+M^(T))=L^L, where M^(T) is the transport of M and L is a vector.
The element of matrix B is: B(m,n)=L(m)L(n)
Then we have:
Det(1-M^2)/Det(1-A^2)=1/(1-(Tr(B/1-A^2))^2)
| 发表时间：2004-09-01, 07:35:38 |
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可见光
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Re: 闲话矩阵
两位哥哥，矩阵有那么恐怖吗？
二阶张量有矩阵表示（矩阵则不一定是张量；我觉得广义矩阵和矩阵的广义逆比较神奇），其实三阶张量照样有“三维立体矩阵”表示（通常矩阵是“二维的”，数字在二维平面上排列），依此类推。
描述半整数自旋的场旋量，好象没有对应的张量表示；描述整数自旋的场旋量，都有对应的张量表示。反过来说，张量都有对应的旋量表示——张量是旋量，但旋量不一定是张量。
我的理解是，张量对应一种本征态，把该张量的各个分量进行重新组合，组合成自旋投影算符的本征态是，原来的张量就变成了对应的旋量表示。例如自由电磁场的两种相互垂直的极化矢量基（与电场方向一致），经过组合后，可以变成左、右圆极化矢量，它对应自旋投影为-1，+1的旋量基。
yinhow哥哥的这个问题，只有把所有求矩阵迹运算的性质和求行列式运算的性质罗列到一张纸上（好象还有求矩阵逆？），以及对称和反对称阵矩的所有性质，都弄清楚，可能要参考好几本教材，然后再去着手证明。如果结论是已知的，干脆直接引用得了。:-)
你看不到我的眼泪，因为我在水里
| 发表时间：2004-09-02, 03:54:22 |
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yinhow
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Re: 闲话矩阵
MM你不知道, 这个结论教科书上找不到, 我是在以下文献中发现的, 我没看懂作者是怎么推出来的:
Group Theoreticla Calculation of Trace and Determinants occuring in Dual Theories
D. Bruce, E.Corigan, D.Olive
Nuclear Physics B95(1975), 427-433
| 发表时间：2004-09-02, 05:00:46 |
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可见光
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Re: 闲话矩阵
“If M is a n*n matrix. and M=A+B, where A=1/2(M-M^(T)),
B=1/2(M+M^(T))=L^L, where M^(T) is the transport of M and L is a vector.
The element of matrix B is: B(m,n)=L(m)L(n)
Then we have:
Det(1-M^2)/Det(1-A^2)=1/(1-(Tr(B/1-A^2))^2) ”
如果列矢量L是任意的，这个证明可能是有些难。所以弄清文章里面列矢量L是不是有所指，很重要。
“Group Theoreticla Calculation of Trace and Determinants occuring in Dual Theories
D. Bruce, E.Corigan, D.Olive
Nuclear Physics B95(1975), 427-433 ”
这个杂志不好查，多半也超出我的范围。如果你给我舅舅寄一份过去，等他有空时也许能有什么建议:-)
你看不到我的眼泪，因为我在水里
| 发表时间：2004-09-04, 04:29:28 |
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yinhow
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Re: 闲话矩阵
L 是任意的矢量. 两维的情况下可以计算证明, 推广到高维现在还没想出来.
| 发表时间：2004-09-04, 09:10:38 |
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yinhow
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Re: 闲话矩阵
yinhow哥哥的这个问题，只有把所有求矩阵迹运算的性质和求行列式运算的性质罗列到一张纸上（好象还有求矩阵逆？），以及对称和反对称阵矩的所有性质，都弄清楚，可能要参考好几本教材，然后再去着手证明。如果结论是已知的，干脆直接引用得了。:-)
谢谢可可MM的提示, 真的要用到所有矩阵迹运算的性质和求行列式运算的性质. 你要感兴趣的话,
你舅舅哪儿有一份"证明", 可以向他要.
| 发表时间：2004-10-03, 08:40:02 |
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