繁星客栈 - 听雪轩 (教育哲学论坛)

快刀浪子

发表文章数: 1200
武功等级: 天山折梅手
　　　　　(第五重)
内力值: 546/546

植物中的神秘数字

植物中的神秘数字

·方舟子·

扑克牌上的“梅花”并非梅花，甚至不是花，而是三叶草。在西方历史上，
三叶草是一种很有象征意义的植物，据说第一叶代表希望，第二叶代表信心，
第三叶代表爱情，而如果你找到了四叶的三叶草，就会交上好运，找到了幸福。
在野外寻找四叶的三叶草，是西方儿童的一种游戏，不过很难找到，据估计，
每一万株三叶草，才会出现一株四叶的突变型。

在中国，梅花有着类似的象征意义。民间传说梅花五瓣代表着五福。民国
把梅花定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和，具有敦五伦、重五常、敷五教
的意义。但是梅花有五枚花瓣并非独特，事实上，花最常见的花瓣数目就是
五枚，例如与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等
就都开五瓣花。常见的花瓣数还有：3枚，鸢尾花、百合花（看上去6枚，实际
上是两套3枚）；8枚，飞燕草；13枚，瓜叶菊；向日葵的花瓣有的是21枚，有
的是34枚；雏菊的花瓣有的是34、55或89枚。而其他数目花瓣的花则很少。为
什么花瓣数目不是随机分布的？3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...这些数目
有什么特殊吗？

有的，它们是斐波纳契数。斐波纳契（1170-1240）是中世纪意大利数学家，
他不是在数花瓣数目，而是在解一道关于兔子繁殖的问题时，得出了这个数列。
假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在
第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此
这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死
亡，在一年后总共会有多少对兔子？

在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子；在二月底，雌兔
产下一对兔子，共有2对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有
3对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一
对兔子，共有5对兔子；……如此这般计算下去，兔子对数分别是：1, 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...看出规律了吗？从第3个数目开始，
每个数目都是前面两个数目之和。

植物似乎对斐波纳契数着了迷。不仅花，还有叶、枝条、果实、种子等等
形态特征，都可发现斐波纳契数。叶序是指叶子在茎上的排列方式，最常见的
是互生叶序，即在每个节上只生1叶，交互而生。任意取一个叶子做为起点，
向上用线连接各个叶子的着生点，可以发现这是一条螺旋线，盘旋而上，直到
上方另一片叶子的着生点恰好与起点叶的着生点重合，做为终点。从起点叶到
终点叶之间的螺旋线绕茎周数，称为叶序周。不同种植物的叶序周可能不同，
之间的叶数也可能不同。例如榆，叶序周为1（即绕茎1周），有2叶；桑，叶
序周为1，有3叶；桃，叶序周为2，有5叶；梨，叶序周为3，有8叶；杏，叶序
周为5，有13叶；松，叶序周为8，有21叶……用公式表示（绕茎的周数为分子，
叶数为分母），分别为1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, ……这些是最常见
的叶序公式，据估计大约有90％植物属于这类叶序，而它们全都是由斐波纳契
数组成的。

你如果观察向日葵的花盘，会发现其种子排列组成了两组相嵌在一起
的螺旋线，一组是顺时针方向，一组是逆时针方向。再数数这些螺旋线的数目，
虽然不同品种的向日葵会有所不同，但是这两组螺旋线的数目一般是34和55、
55和89或89和144，其中前一个数字是顺时针线数，后一个数字是逆时针线数，
而每组数字都是斐波纳契数列中相邻的两个数。再看看菠萝、松果上的鳞片排
列，虽然不像向日葵花盘那么复杂，也存在类似的两组螺旋线，其数目通常是
8和13。有时候这种螺旋线不是那么明显，需要仔细观察才会注意到，例如花菜。
如果你拿一颗花菜认真研究一下，会发现花菜上的小花排列也形成了两组螺旋
线，再数数螺旋线的数目，是不是也是相邻的两个斐波纳契数，例如顺时针5条，
逆时针8条？掰下一朵小花下来再仔细观察，它实际上是由更小的小花组成的，
而且也排列成了两条螺旋线，其数目也是相邻的两个斐波纳契数。

为什么植物如此偏爱斐波纳契数？这和另一个更古老的、早在古希腊就被
人们注意到甚至去崇拜它的另外一个“神秘”数字有关。假定有一个数φ，
它有如下有趣的数学关系：

φ^2 - φ^1 -φ^0 =0

即：

φ^2 -φ -1 =0

解这个方程，有两个解：

(1 + √5) / 2 = 1.6180339887...
(1 - √5) / 2 = - 0.6180339887...

注意这两个数的小数部分是完全相同的。正数解（1.6180339887...）被称
为黄金数或黄金比率，通常用φ表示。这是一个无理数（小数无限不循环，没法用
分数来表示），而且是最无理的无理数。同样是无理数，圆周率π用22/7，自然
常数e用19/7, √2用7/5就可以很精确地近似表示出来，而φ则不可能用分母为
个位数的分数做精确的有理近似。

黄金数有一些奇妙的数学性质。它的倒数恰好等于它的小数部分，也即
1/φ = φ-1，有时这个倒数也被称为黄金数、黄金比率。如果把一条直线AB用
C点分割，让AB/AC = AC/CB，那么这个比等于黄金数，C点被称为黄金分割点。
如果一个等腰三角形的顶角是36度，那么它的高与底线的比等于黄金数，这样的
三角形称为黄金三角形。如果一个矩形的长宽比是黄金数，那么从这个矩形切割
掉一个边长为其宽的正方形，剩下的小矩形的长宽比还是黄金数。这样的矩形称
为黄金矩形，它可以用上述的方法无限切割下去，得到一个个越来越小的黄金矩
形，而如果把这些黄金矩形的对角用弧线连接起来，则形成了一个对数曲线。常
见的报纸、杂志、书、纸张、身份证、信用卡用的形状都接近于黄金矩形，据说
这种形状让人看上去很舒服。的确，在我们的生活中，黄金数无处不在，建筑、
艺术品、日常用品在设计上都喜欢用到它，因为它让我们感到美与和谐。

那么黄金数究竟和斐波纳契数有什么关系呢？根据上面的方程：φ^2 -φ -1 =0，
可得：

φ = 1 + 1/φ
= 1 + 1/ (1 + 1/φ)
= ...
= 1 + 1/( 1 + 1/( 1 + 1/( 1 +...)))

根据上面的公式，你可以用计算器如此计算φ：输入1，取倒数，加1，和取
倒数，加1，和取倒数，……，你会发现总和越来越接近φ。让我们用分数和小数
来表示上面的逼近步骤：

φ ≈ 1
φ ≈ 1 + 1/1 = 2/1 = 2
φ ≈ 1 + 1/(1+1/1) = 3/2 = 1.5
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+1)) = 5/3 = 1.666667
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+1))) = 8/5 = 1.6
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+1)))) = 13/8 = 1.625
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+1))))) = 21/13 = 1.615385
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+1)))))) = 34/21 = 1.619048
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+1))))))) = 55/34 = 1.617647
φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+(1+1)))))))) = 89/55 = 1.618182
...

发现了没有？以上分数的分子、分母都是相邻的斐波纳契数。原来相邻两个斐
波纳契数的比近似等于φ，数目越大，则越接近，当无穷大时，其比就等于φ。斐
波纳契数与黄金数是密切联系在一起的。植物喜爱斐波纳契数，实际上是喜爱黄金
数。这是为什么呢？莫非冥冥之中有什么安排，是上帝想让世界充满了美与和谐？

植物的枝条、叶子和花瓣有相同的起源，都是从茎尖的分生组织依次出芽、分
化而来的。新芽生长的方向与前面一个芽的方向不同，旋转了一个固定的角度。如
果要充分地利用生长空间，新芽的生长方向应该与旧芽离得尽可能的远。那么这个
最佳角度是多少呢？我们可以把这个角度写成360°× n，其中0＜n ＜1，由于左右
各有一个角度是一样的（只是旋转的方向不同），例如n=0.4和n=0.6实际上结果相
同，因此我们只需考虑 0.5≤n＜1的情况。如果新芽要与前一个旧芽离得尽量远，
应长到其对侧，即n = 0.5 =1/2，但是这样的话第2个新芽与旧芽同方向，第3个
新芽与第1个新芽同方向，……，也就是说，仅绕1周就出现了重叠，而且总共
只有两个生长方向，中间的空间都浪费了。如果0.6 = 3/5 呢？绕3周就出现重叠，
而且总共也只有5个方向。事实上，如果n是个真分数 p/q，则意味着绕p周就出现
重叠，共有q个生长方向。

显然，如果n是没法用分数表示的无理数，就会“有理”得多。选什么样的无理
数呢？圆周率π、自然常数e和√2都不是很好的选择，因为它们的小数部分分别
与1/7, 5/7和2/5非常接近，也就是分别绕1, 5和2周就出现重叠，分别总共只有7,
7和5个方向。所以结论是，越是无理的无理数越好，越“有理”。我们在前面已经
提到，最无理的无理数，就是黄金数φ≈1.618。也就是说，n的最佳值≈0.618，即
新芽的最佳旋转角度大约是360°× 0.618 ≈ 222.5°或 137.5°。

前面已提到，最常见的叶序为1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13和8/21，表示的是每
周有多少片叶子，如果我们要把它们换算成n（表示每片叶子绕多少周），只需用1
减去叶序，为1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21。它们是相邻两个斐波纳契数的
比值，是不同程度地逼近1/φ。在这种情形下，植物的芽可以有最多的生长方向，
占有尽可能多的空间。对叶子来说，意味着尽可能多地获取阳光进行光合作用，或
承接尽可能多的雨水灌溉根部；对花来说，意味着尽可能地展示自己吸引昆虫来传
粉；而对种子来说，则意味着尽可能密集地排列起来。这一切，对植物的生长、繁
殖都是大有好处的。可见，植物之所以偏爱斐波纳契数，乃是在适者生存的自然选
择作用下进化的结果，并不神秘。

2004.8.14.

（载《科学世界》2004年9月刊）

(XYS20040903)

◇◇新语丝(www.xys.org)(xys.dxiong.com)(xys.3322.org)(xys.freedns.us)◇◇

乱石穿空，惊涛拍岸，卷起千堆雪。
江山如画，一时多少豪杰。

发表时间：2004-09-03, 09:48:04

作者资料

M31

发表文章数: 121
武功等级: 逍遥拳
　　　　　(第五重)
内力值: 310/310

Re: 植物中的神秘数字

a(n) 满足a(0)=a>0, a(n+1)=Sqrt(1 + a(n) ) , n=1,2,3,... .
则
x = a(n) = 0.5 + Sqrt( 4a +1 ) / 2 , n -> ∞
if a==1,

x = Sqrt( 1 + Sqrt( 1 + Sqrt( 1 + ... ) ) )
x = 1.61803......

》》》

发表时间：2004-09-03, 10:13:59

作者资料

西门吹牛