轩轩
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相对论三论（原创）
（一）
广义相对论一直被誉为最美丽的理论，爱因斯坦也被认为是人类历史上最伟大的科学家，他一个人苦心孤诣地研究工作，为我们打开了认识神秘宇宙的大门。当然，与爱因斯坦的广义相对论有竞争的理论，为数据说也多如牛毛，最重要的可能是brans-dieke的标量张量理论，在他们那里，牛顿万有引力常数不再是一个常数，而是一个关于距离的函数，这个想法是很自然的。
广义相对论中，最基本的是时空流形M和它上面的度量 g＿ab．Ｍ在没有g＿ab的时候，上面是没有距离概念的，也就是没有过去和未来．Ｍ仅仅是一个拓扑的空间，你可能把想象成一个４维的自行车内胎或者篮球皮，等等等等，一般来将，上面具有光滑的微分结构，至于上面有多少光滑的微分结构，一般地说，在最简单的平坦minkowski流形上，有无穷多个微分结构．其他的４流形，应该是只有一种微分结构的．
对于一个象我一样的门外汉差不多的新手来说，上面讲的是偏难的．过于浮夸的东西，可能这些连爱因斯坦也不懂得的．
但时代不一样，现在为了把广义相对论量子化，最基本的一条原则是什么？
大师们的答案是一致的，他们如是讲：
＂广义相对论具有微分同胚不变性．＂
对于外人来讲，读到这一点，往往有鲁迅第一次读到赫胥利的那种感觉，陋室之内，面朝南山，觉得思想独特，视觉新颖．
度量在微分同胚变化之下，是相互等价的，似乎是相互规范等价的．规范这种东西不是可观测的．谈起来难免有点数学．因为微分同胚变化组成一个无限维群，所以感觉这个的时候，总是一个主丛样子的东西．下面一个底流形Ｍ，左上方画一结构群，Ｍ正上方画一丛，其间百转千回，我就不知道了．但，原则还是一个．＂广义相对论具有微分同胚不变性．＂这相当于是一个总的纲领，该纲领在局部的看，是坐标系变化下的广义协变性．
抛开这一个微分同胚不说，其他的有趣问题是很多很多的．
我感到有兴趣的是，比如给你一个流形Ｍ，它上面要赋予一个度量爱因斯坦度量g＿ab，显然，这不是任意的，有的人以为既然有微分同胚不变性，就云山舞绕地可以乱给度量．这个问题相当与一编华美的论文，不是我这样的新手能够讲的，我唯一知道的是，它与一个叫hitchin－thorpe的不等式有关系．
在第一论要结束的时候，把以前写的一个东西ps上去：
广义相对论与Riemann几何是我的专业，但我学的也不好啊。我觉得现在基本的东西有几个，不一定对，说的不对的地方全不算：
1。要用几何语言学相对论，这样的话，你可能会理解wald和hawking，penrose的文章，比如人家讲什么event horizon，其实背后是有几何定义的，其他很多，膨胀啊，扭转啊，反正要学整体微分几何的。不学几何，你可能会搞不清楚什么叫稳态时空，什么叫静态时空。梁先生的书是这样路子的。
2。有一个不变量叫距离（line element），ds^2.
3。一个理论具有的不变量，我们才能做东西。如何全是变的，那我们还能有等式列方程吗？
4。lorentz号差使得我们区别于数学（Riemann几何），有了null矢量。
5。时空是绝对的！
6。一切有可能是经典极限，或者全是错的。虽然狭义相对论有很多实验可以检验是对的。
MAYBE I WILL WRITE SOMETHING WHEN I AM FREE AND IN GOOD HEALTH。
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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Re: 相对论三论（原创）
相对论三论
(二)
给定一个4维度的流形和一个度量，如果度量满足g-ab=kR-ab，其中R-ab为ricci曲率，k是常数，那么这样的度量就称为爱因斯坦度量，（假如流形具有最大对称性，那它就具有这样的性质。）我写到这里的时候，由衷的感受到一天马行空的智慧，风起云涌的历史感。
花开两头，往往各表一枝。对于M与g-ab的拓扑限制，不再多讲。当M上g-ab已经给定，并且满足爱因斯坦方程，那么我们还能干些什么？
前人的工作，浩如烟海，从shwarschild到kerr，再到penrose等人…………
新近有流行的膜宇宙理论，要把我们的M嵌入到高维空间中去。假定嵌入不改变g-ab，于是就是一个等度量嵌入。
假定操场上的篮球表面是一个2维世界，那里生活的精灵，对于它们来说，相对于外面的人类世界，自己的世界何尝不是一个膜呢？每每想到这里，只能无限慨叹，引用一个文章来表达：
“支公好鹤。住剡东峁山，有人遗其双鹤。少时，翅长，欲飞。支意惜之，乃铩其翮。鹤轩翥，不复能飞，乃反顾翅，垂头，视之如有懊丧意。林曰； ‘既有凌霄之姿，何肯为人作耳目近玩！’养令翮成，置使飞去。”(《世说·言语》)
所以，人类也可能是久居在樊笼之中。在等待着成长，飞翔！
假如膜宇宙理论是真实的。我们要怎么样才能走向更广大的空间呢？？
到额外维度去！
nash有一个等度量嵌入的定理，说的是，一个n维流形，必然能等度量地嵌入到一个n（n+1）/2维平坦流形之中。这样讲来，n=4的时候，无论我们目前的宇宙拓扑多复杂，它一定能被嵌入到10维平空间之中。这是最差的结果，最好的结果是它可以被嵌入在5维空间之中。膜宇宙理论一般是把我们的宇宙嵌入在5维ADS5空间之中。
对于这个理论，泛泛而谈是不够的，但它告诉我们，我们的宇宙可以被嵌入，或者说，爱因斯坦方程的解可以被嵌入在高维空间里。也许事实正是如此。
ps上以前写的：
膜宇宙理论札记（原创）
1。lisa randall 在哈佛得到博士学位，是一个大美女，她后来在哈佛做正教授，膜理论起因于string理论，但lisa randall 和Johns Hopkins 大学的Raman Sundrum，提出了他们自己的模型。一般称为RS膜宇宙模型，有2种。
2。RS膜宇宙把我们的宇宙看成是ADS5 中的超曲面。
3。超曲面的嵌入应该与很多嵌入定理有关系，从gauss的曲面论，到campbell的嵌入定理，whitney的，nash的，不知道与小平邦彦的有没有关系。
4。引力可以在bulk里传播，其他的规范作用不能，string的解释是引力子对应与closed string。
只有开弦才能长在膜上。
5。引力是5维中的null 矢量，它可以在4维超曲面上投影，得到有质量的4引力子。
6。膜宇宙的额外维可以是不紧致的，我们只所以看不到这个额外维度是因为我们的实验条件和能量限制。比如在操场上有2个篮球，这个2dimension篮球皮里面就是2个宇宙，它们里面生活的生物很难发现外面的其他宇宙？。
7。这个理论是kk理论的一个变种。它的目标有2个，一个是解答能隙问题，一个是解释暗物质。
8。5dimension外耳张量在膜上的投影是一个起额外作用的能动张量。5爱因斯坦方程约化到4维度有新的东西出现。这是修正的主要原因。当然，ADS5 是共形平直的，外耳退化，我们其实允许其他形式的bulk。
9。膜上的真空能可能被称为膜的tension。
10。各种bulk可以用来尝试做很多问题，包括instanton，holography。
11。…………………………………………
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Re: 相对论三论（原创）
（三）
是否每一个流形都可以配上一个lorentz号差的度量？或者说存在整体定义的时间？时间作为一个矢量场整体存在，矢量场整体无奇点，指数为０．poincare的指数定理说，指数和等于欧拉数．所以一个流形都可以配上一个lorentz号差的度量，必然要求它的欧拉数为０，
比如封闭的ＲＷ宇宙，拓扑是Ｒ Ｘ Ｓ^3,由kuneth公式，它的欧拉数为０.
比如ＡＤＳ４宇宙，拓扑是Ｓ１ Ｘ Ｒ^3 ,它的欧拉数亦为０．虽然它有闭合类时线，可以从未来回到故去，这样的宇宙，真是很美妙，虽然它也许仅仅是一个人类智慧的toy．它还是一个最大对称性的宇宙，也就是存在n（n＋１）／２killing场，n＝４的时候，就是１０个killing场．注意到这个数目与nash的嵌入定理的要求是那样一致，让我不由得想搞清楚里面到底有没有联系．
相对论的入门知识很多，以上大概的讲到一些，主题集中在流形和度量的限制上．假如再考虑时空的整体是否可定向，也许要学whitney的示性类．但很显然，一个mobius带里面的２维生灵，是如何研究它们的广义相对论的呢？毕竟mobius带不是可定向的．这样的问题，全是作为一个新手会想到的．我把它们记录下来，也许对其他的入门者有用处，这不是专业论文，也无所谓贻笑大方了．
生命短暂，艺术长存。广义相对论是一门不朽的艺术，大多数人只能匆匆领略其间的风景，人生便如白云苍驹过隙。时间总是不够的，一些书好象永远都没有时间看完，于是只能当参考书给列出来
wald《General Relativity》
Hawking & ellis《the large structure of spacetime》．
相关的两部电影
＜终结者２＞
＜楚门的世界＞
其他的很多是雷同的．写到这里，我还是战战兢兢，恐怕写的太草率．我本来不想写的，据说伟大的作品全是未成品．终乃与草木同朽
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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