快刀浪子
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简析量子力学的对应原理(zz)
简析量子力学的对应原理
白彤东
对应原理从被提出至今虽已七十余年，但对它的理解与讨论仍未间断。在物理学内部，它的正确性近来受到了挑战。
一、历史的回顾及对应原理的表述
对应原理最早由杰出的丹麦物理学家N.玻尔提出，萌芽见于1913年12月20日玻尔的一篇《论氢光谱》的演讲。在最初完成于1917年的《论线光谱的量子论》的论文中，作者提出了量子力学和经典力学之间类似性的一种假设，“对应关系”、“对应原理”两个名词则出现于玻尔在1920年发表的一篇演讲中。（〔1〕，第4页）在他1923年的一篇报告中，玻尔指出：“在这篇发言中，利用关于各元素光谱的研究和关于电场和磁场对谱线的效应的研究中得来的例子，证明了这条对应原理已经怎样得到了足够的支持，以致我们似乎在更加复杂的情况中也有理由用它作为一种指南。”（〔1〕，第5页）正如玻尔所说，对应原理在被推广后，便成为“20年代早期的量子论进展的主要指南，而且后来也被纳入了量子力学之内。”（〔1〕，第26页）
对应原理在早期被玻尔叙述为“在大量子数的极限下在量子的统计结果和经典辐射理论之间得到一种联系的可能性。”（〔1〕，第584页）而较为现代和完善的说法可从一些当代量子力学教科书中找到，如“量子物理学的定律必须这样来选择：在涉及很多量子的经典极限中，量子力学的定律作为平均结果应导致经典方程。”（〔2〕，p31）还有如：在可以把普朗克常数h看成零的情况下，量子力学则会归结为经典力学。”（〔3〕，第180页）由此可见，对应原理与多数物理学原理相比较，有着一个突出的特点，即它是关于不同层次的科学理论之间关系的一条原理。
二、对应原理所面临的挑战
近十多年，浑沌学逐渐兴起。正是在这门新兴的理论中，对应原理的正确性遭到了挑战。早在六十年代中叶，量子力学的奠基人之一海森伯就异常敏锐地指出量子力学的线性特征与经典力学的非线性特征间存在着一种不和谐，并且在量子力学通过取极限来与经典物理学相容的过程中（这一极限包括令t→∞和令h→0）， 对时间与普朗克常数取极限不可交换。〔4〕在浑沌理论发展起来以后， 一些科学家指出：量子浑沌（Quantum chaos）是不存在的，相反，经典物理存在着浑沌， 这意味着：经典力学，而不是量子力学，是非决定论的和不可逆的。”〔5〕而美国物理学家J. 福特等人进一步指出，以“量子猫”（Quantum cat）为例，无论h多小（h→0意味着经典极限），“量子猫”都不表现出浑沌特征，不趋向于浑沌的“经典猫”（Classical cat）。 因而对应原理失效。〔6〕尽管浑沌理论是一门较新的理论， 它引出的这一问题仍待讨论，但这些问题提醒我们，应该对量子力学的对应原理，及其成立或失效的结果进行细致的分析。
三、对应原理的意义
粗略地看，对应原理的成立似乎是很自然的，因为经典物理在广泛的领域中得到了证实，那么若对应原理不成立，则量子力学与大量经典理论可解释的现象是矛盾的。这个结论似乎具有灾难性，它似乎在否定着量子力学。但事实上，任何程度、范围内的物理学，在广义上讲，都是唯象理论，即：试图描述和概括的是物理学的某些有限领域内的实验事实”的理论。〔10〕量子力学的产生正是意欲解释经典力学解释不了的现象，在它的早期形式——玻尔的旧量子论中这种唯象的特征更为明显，而且这类现象主要集中于微观领域。因此，我们完全可以认为（至少在逻辑上）量子力学是这些领域内的唯象理论，这样，量子力学完全可以与经典理论不相容，因为我们可以把不与量子力学相容的理论归于其适用范围之外。
由以上分析可以看出，对应原理的失效的真正后果是使量子力学失去了普遍性。换句话说，对应原理正是：“量子力学是普遍的，而不仅是微观层次的唯象理论”这一思想的物理学表达。汤川秀树主编的《量子力学Ⅰ》一书在叙述对应原理前说道：“量子力学是在囊括了经典力学的基础上发展起来的。”（〔3〕第180页）威切曼也指出：“不应该以为‘量子物理学’是某种与宏观世界毫无关系的东西。实际上，整个物理学都是量子物理学；如我们今天所知，量子物理学的定律是关于自然最普遍的定律。”（〔7〕，p.2）依笔者拙见科学理论的建立无非是人为自然“立法”的过程，我们不能期望着人可以为如此复杂的自然建立唯一的一套法律。具体到量子力学，这就意味着我们不能期望宏观客体与微观客体遵循同一套力学体系。从10米到米绝不仅意味着尺度的缩小，它还可能意味着理论的“跃迁”，或一种不连续性。强相互作用及相关理论只在极小尺度上有意义这个例子可能有助于让我们理解这一点。在经典物理学中，研究者通常将一个“大”的复杂的物体分割成许多“小”的、简单的组成部分来分别加以研究，之后再用机械因果律组合起来，从而知道有关复杂物体的信息，量子力学的研究者们保留了这种分割方法，但是在分割与组合时采用量子力学的因果律。（〔2〕，
【编者按】.144—172）若对应原理成立， 则意味着这种经过量子力学修正的分析方法仍是可行的。若它失效，则可能是在其失效的特定领域内这种分割方法不能成立。如果说对应原理含有“大量子数极限”的条件，那么这种分析方法也必有此条件，而在“系统行为关键性地依靠少数量子的跃迁时，这种将世界分割成部分的抽象便不被允许了。”（〔2〕，p.167）
四、提出对应原理的原因
科学革命时期，新思想出现在对原体系的修补中，它也许最终会导致旧体系的瓦解。玻尔作为一个修补破缺时新思想的发现者，他和他的理论就带有新旧两面性：一方面是他的理论即旧量子论仍未抛弃位置、动量等经典概念和轨道运动等经典描述，另一方面，他的理论与经典理论是根本对立的，而经典理论的大厦在当时又占有根本不可怀疑的地位，这就使他必须让量子论符合于经典理论（而不是今天我们所看到的相反过程）。为了统一这种新旧两面性，更明确的是要将量子论的新芽接到经典理论的老树上，玻尔很自然地提出了对应原理。但到了后来，这一原理又变成了一个毁灭者，摧毁了经典理论普适性的根基，而将量子力学推上了这个宝座，为量子力学摆脱羁绊迅速发展作出了贡献。
提出对应原理的另一个原因是对沿用经典语言的要求：物理学家在为自然立“法”时，要依赖科学语言。他们深受这种语言熏陶，接受过使用这种语言的严格训练，经典语言便是这些语言中最重要的一种。让物理学家完全放弃经典语言是对他们不利的，因为这使他们几乎完全丧失了立“法”的工具，在自然面前重归一种蒙昧状态并使几百年人们对经典语言的积累工作付之东流。另一方面，任何一个人也不可能超越他原有的一切，彻底地用新的方式去面对世界。并且，由于宏观与微观并没有清晰的分界，而大量的经典理论所描述的现象也是考察量子力学的方便工具。因此，物理学家们希望一定程度上沿用经典语言，希望用已有工具经适当改进以供他们利用，并在新的天地中施展本领。对应原理恰可以为他们这种沿用提供合法性。对经典语言的依赖可以为量子力学中极强的分析力学的痕迹所证实。
乱石穿空，惊涛拍岸，卷起千堆雪。
江山如画，一时多少豪杰。
| 发表时间：2004-10-27, 11:02:25 |
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星空浩淼
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Re: 简析量子力学的对应原理(zz)
好文章。
我觉得不是对应原理出了问题，而是如何实现“对应”时出了问题。例如经典力学中的三体问题是非线性现象，在量子力学中多体问题也是非常复杂的，常常采用了近似方法，这种近似可能会破坏从量子力学用对应原理还原到经典力学时所必须的完整信息。另外单纯的经典物理有着跟纯量子力学效应完全无关的规律，即忽略量子力学效应时仍然存在的规律，比如混沌。但是量子力学是向大尺寸方向兼容的，原则上它可以包含经典力学所有内容。
量子力学满足线性叠加原理与宏观经典的非线性现象之间并不矛盾——因为这里线性叠加原理是指波函数（几率幅）满足线性叠加原理，而进入可观测范围的，是几率幅的二次形式（几率密度）和算符的平均值（也要涉及几率幅的二次形式），二次形式可以产生非线性的观测结果。另外在存在相互作用时，量子力学方程也是高度非线性的，传统中常常采用微扰方法和绝热近似来进行近似计算，这种近似可能会破坏从量子力学用对应原理还原到经典力学时所必须的完整信息。
在非线性物理中，除了天体运行规律方面的（万有引力作用），其他都是物质电磁相互作用方面的。至于强、弱相互作用则几乎没有研究过（或许已经有人研究色作用中的混沌现象？）。因此不妨只考虑基于电磁相互作用的非线性物理。原则上，所有电磁相互作用规律可以用QED给出，那里只有两个非线性的物理方程（电磁场中的Dirac方程和有源的Maxwell方程，其中源里面含有Dirac场算子的二次形式）。多粒子的方程可以类似写出。一切的一切，如此而已，此时所有基于电磁相互作用的非线性物理内容，原则上皆包含其中。而利用对应原理进行处理它，不过是从中剔除纯量子力学效应的东西，剩下与经典力学共同拥有的东西，即量子力学与经典力学的交集。
总之，宏观经典力学不过是量子力学的子集，前者被后者兼容。后者原则上总是可以通过对应原理蜕变成前者。
持之以恒就是胜利
| 发表时间：2004-10-27, 12:09:30 |
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星空浩淼
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Re: 简析量子力学的对应原理(zz)
补充一下（后面还跟昌海兄当年的心得有关）
原文说
“4〕在浑沌理论发展起来以后， 一些科学家指出：量子浑沌（Quantum chaos）是不存在的，相反，经典物理存在着浑沌， 这意味着：经典力学，而不是量子力学，是非决定论的和不可逆的。”
其实，即使量子混沌真的不存在，这个也不是能表明对应原理失效的理由。首先，不能想当然地认为，量子混沌在经典极限下过渡到经典力学混沌，而量子混沌不存在，所以对应原理不再成立。量子混沌与经典混沌根本就属于不同的概念和物理内容。量子混沌并不是经典混沌在量子化之下的对应物。量子力学系统可以没有量子混沌，但它可以和它的经典极限的经典系统一起同时拥有经典混沌，即它同时拥有它的子集所拥有的性质，尽管它也不拥有它的子集（经典系统）所没有的量子混沌性质。换句话说，混沌是经典力学的性质，它跟纯量子力学效应无关。但是量子力学同时包含了经典力学性质和纯量子力学效应的。
因此我认为，这篇文章反映了一些搞哲学的人对自然科学的无知或者一知半解。
我见过昌海兄（在网站主页）记载当年对混沌理论中的“随机性”概念的质疑。其实这个现象有一定共性，因此下面我再说几句，作为跟大家进一步交流：
混沌现象对初始条件的敏感度远远超过了人们的测量误差范围，并且根据量子力学，测量精度存在原则性的限制，当混沌现象对初始条件的敏感度超出了这个原则性的限制时，我们无法给定必要精度下的初始条件（即无法给出能准确地预言未来的初始条件）。一个方程，没有了初始条件，当然就不能利用这个方程来预言未来，因为不能给出定解。而且误差会累积的。这就是混沌现象里面所谓的“内在随机性”或非决定性，这跟通常物理学中的随机和非决定的概念完全是两回事。因此这个概念误导和迷惑了许多初学非线性物理的人。这跟我们这个地球上科学的发展轨迹有关——碰巧非线性物理不是“正宗”的物理学家们开始研究的，而且发展又特别快，结果那里自成体系，形成了一个跟传统物理相对独立的独立王国：有自己独立的语境、名词和术语，有自己独到的研究方法，例如叠代、相空间分析方法。
不一定准确，强烈欢迎感兴趣的都来参与讨论！
持之以恒就是胜利
| 发表时间：2004-10-27, 12:55:29 |
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sage
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Re: 简析量子力学的对应原理(zz)
I agree with Xing Kong.
It always bothers me when people say chaos has something intrinsically new. Actually, I think what is new is really the sensitivity to the boundary conditions. Given an unambiguous boundary condition, the result is definitely predicted.
In terms of fundamental principles, there is nothing comparing with classical mechanics. It is the limitation of our computation or method of measurement (like in quantum mechanics).
| 发表时间：2004-11-03, 17:24:48 |
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快刀浪子
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Re: 简析量子力学的对应原理(zz)
在混沌问题上，很多人都同意你们的观点，把混沌中的随机性称为伪随机性
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江山如画，一时多少豪杰。
| 发表时间：2004-11-05, 03:00:21 |
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