yinhow
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回轩轩
比如，在spin1/2的情况下，自旋S有x，y，z三个分量，（pauli矩阵）它们两两之间满足反对易关系。那么，对spin3/2呢？是不是也是3个分量？这这…………（咯先生的书p112）据说不满足两两之间反对易关系。
这是不是一个群论的问题呀。
从su（2）----》sl（2，c）的4维不可约表示？
这就看你自旋是怎么定义的. 我的理解是:
角动量的对易关系式是[L_i,L_j]=ie_(ijk)L_k
可以找到一个Casmir, 与所有的生成元对易, 它作用在某个表示的对象上, 得到一个量, 称为自旋. 用表示和量子的语言来说, 生成元对应矩阵, 矩阵作用的对象是波函数, 这个波函数承担自旋.
我们正好能找到一个两维表示,Pauli矩阵,对易关系式是和角动量的一样的, 算得自旋是1/2.
还有一种表示是球谐函数, 自旋为整数.
表示可以直乘起来, 得到自旋为1/2, 1,3/2 ,2,....
譬如自旋为1有两种表示, 一是球谐函数, Y_11, Y_10, Y_1-1
一是三重态: (++), (+-)+(-+)/Sqr(2), (--)
可以推广到更高自旋和其它维度欧氏空间的角动量上.
这儿说的都是角动量的"自旋". 还没有涉及到相对论的电子的"自旋"
| 发表时间：2004-11-05, 04:44:27 |
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可见光
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Re: 回轩轩
“可以找到一个Casmir, 与所有的生成元对易, 它作用在某个表示的对象上, 得到一个量, 称为自旋”
yinhow哥哥这个地方好象没有说清楚:-).通常有两个Casmir，即四动量的平方（等于质量的平方）和角动量的平方（或者质量的平方与角动量的平方之积）。角动量平方的本征值为j(j+1),当角动量是自旋时，j通常称为自旋，其实它是自旋投影量子数。力学量算符的全体本征态支撑出一个该力学量算符的矩阵表示空间。力学量常常对应某种对称变换的生成元，因此也可以说力学量算符的本征态完全集支撑生成元的表示空间，也是生成元满足的李代数的表示空间。。。
唉！我可能也说得不大准确。
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| 发表时间：2004-11-05, 08:05:23 |
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yinhow
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Re: 回轩轩
(李)群生成元的Casmir有可能不止一个.你说的是不同(李)代数的Casmir.或者说是Poincare群的两个Casmir, 一个对应质量, 一个对应自旋
| 发表时间：2004-11-05, 08:53:28 |
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可见光
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Re: 回轩轩
yinhow哥哥说得对！由于上面讨论角动量，是彭加勒群的生成元，所以我就不自觉地说有两个卡戏迷尔。
你看不到我的眼泪，因为我在水里
| 发表时间：2004-11-05, 09:03:04 |
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轩轩
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Re: 回轩轩
因为我还没有正经学过lie群,所以脑子很糊涂,以下东西权做涂鸦.各位同志,无则加勉.
Poincare群的两个Casmir, 一个对应质量, 一个对应自旋
poincare群的lie代数是10维度的,他有10个生成元.3个rotation,三个boost,4个translation.为什么前者的casimir L^2具有离散的本征值．而后者的casimir为四动量的自我缩并，结果却是质量的平方，注意到，质量的平方是可以很任意的，也就是说，可以有连续的本征值．
我有一个模糊的印象
casimir等于负的laplace算子=群上的cartan-KILLING形式.
群上的调和分析和lie代数的分类理论真的好重要啊.
我们何以知道，对poincare群,不再有其他的casimir？
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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| 发表时间：2004-11-05, 22:49:47 |
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yinhow
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Re: 回轩轩
群上的调和分析和lie代数的分类理论真的好重要啊.
群上的调和分析, 纯数学上也很重要.
我们何以知道，对poincare群,不再有其他的casimir？
我想一是数学上有个定理, 可以判断有多少个. 一是按定义硬算, 假设它是二次项:
C=M(i,j)A(i)A(j), 这里M(i,j)是矩阵, A是生成员. 要求[C,A(k)]=0, 对于任何一个生成员都满足,可以把M算出来.
| 发表时间：2004-11-06, 03:44:18 |
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