轩轩
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什么是动力学对称性？
平方反比中心力场具有轨道封闭性。
这里面有一个所谓
Runge-lenz矢量
所谓动力学对称性书是怎么出现的？
如何预见一个动力学系统具有这样的动力学对称性？
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
是不是这样, 这个性质只有在这个闭合轨道上才成立. 我们由动力学方程得到这个轨道.
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sage
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Re: 什么是动力学对称性？
是不是这样, 这个性质只有在这个闭合轨道上才成立. 我们由动力学方程得到这个轨道.
No. it is a conserved quantity only for the kepler problem. namely, V=1/r.
| 发表时间：2004-11-06, 14:17:37 |
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轩轩
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Re: 什么是动力学对称性？
谐振子势场好象也是。
谁能再举个物理学里面的例子
那里存在着所谓动力学对称性
我印象中berry phase里也有 但我不明白为虾米
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
我刚好也想问: 谐振子势呢??
| 发表时间：2004-11-06, 21:09:21 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
Bertrand定理:只当中心力遵守平方反比律或胡克定律时，束缚运动粒子的轨道才是闭合的．
不过他没说明是几维的．
| 发表时间：2004-11-06, 21:15:21 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
四维球面上ＳＵ（２）规范场的经典运动方程？？
| 发表时间：2004-11-06, 21:17:46 |
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轩轩
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Re: 什么是动力学对称性？
L说她绕着我做圆周运动，这件事情让我陷入了无规则的思考。倘使轨道所在的空间是一个2维曲面，那么这似乎需要计算L的轨道的形状，这个问题是我从未做过。假如这个2维曲面是一个平面，那么问题也许会简单一点，否则我只好说，L在2维面上的轨道是一条测地线。 L在平面上运动，假如受到平方反比的吸引力，那么L的轨道是一个椭圆。这个kepler已经早就在伟大的行星运动三定理里面讲过了。 L假如受到一个r的-3次方的微扰，我不知道，轨道是不是稳定的。也许轨道将不再封闭为一个椭圆。在三维空间，我们把这件事情说成“水星近日点进动”。
神在适当的时候加以调节，在2维面上，任何势场内的轨道全能够封闭。（！）
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
经典场论中也有类似的情况, 所有使作用量变分为零的操作的集合成为S. 有两种情况.
一是场量任意, 但是场量的变分形式是限定的.(如规范变换)
一是场量只是满足EL方程的场量, 场量的变分形式也是特定的.
Bryce S Dewitt在场论中摆弄变分符号就象Dirac在量子力学中运用kra一样妙手偶得, 出神入化.
Bryce S Dewitt在量子引力研究上是老一辈人物, 同时代的有Veltman, Feymann.
| 发表时间：2004-11-07, 04:40:11 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
二维弯曲空间中的Kepler问题里面也出现了RL矢量(算符形式), 参考文献
[1]量子力学新进展(II), 量子力学中的非线性代数方法, 阮东, P359
[2]P.W.Higgs, Journal of Physics A12(1979)309
| 发表时间：2004-11-07, 04:48:57 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
哎, 学了量子, 忘了经典的了. 一个力学量(算符)与H对易, 那么它守恒(随时间不改变). 经典力学中是怎么判断的??
数学中给出一个李代数, 可以有定律和法则判断出有几个Casmir来
物理中给出一个拉氏量, 如何判断出有几个守恒量, 譬如说那个RL量.
有个可积模型, 有一套程序, 可以算出无穷多的守恒量来.
广义相对论中守恒量, 譬如说粒子的能量,是在测地线上定义的(不随proper distance改变).
如果有自旋的话, 有四个守恒量,m^2, s^2, E,J, 对应与质量, 自旋, 总能量, 总角动量.
还有,标量带电粒子在磁单极的磁场中运动, 这个RL量还守恒吗?
| 发表时间：2004-11-07, 09:08:02 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
不翻书, 自己想了一下, 应该是这样的:
F=F(p,q)
dF/dt={F,H}=dF/dq dH/dp- dF/dp dH/dq=0
那么F守恒.
| 发表时间：2004-11-07, 10:03:52 |
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星空浩淼
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Re: 什么是动力学对称性？
“平方反比中心力场具有轨道封闭性。
这里面有一个所谓
Runge-lenz矢量
所谓动力学对称性书是怎么出现的？
如何预见一个动力学系统具有这样的动力学对称性？”
关于动力学对称性有专门的定义，我这会儿忘了说不好，让昌海兄和sage兄回答要准确些:-)
关于Runge-lenz矢量，在讲解氢原子SO(4)对称性那里有讲到。第一次接触这个东东我吃了一惊：三维空间里面居然存在SO(4)对称性？！
我的理解是这样的（姑且借用一下轨道概念）：确定一个粒子的运动状态，必须要分析出它所有相关的自由度（或者说要找出力学量完全集），即决定运动状态的所有可以独立自由变化的量。只有这些量都确定了，一个粒子的微观状态才算确定。氢原子核外电子，首先它的能级是一个自由度，所以有决定能级的量子数；然后在同一个能级上，有不同的轨道角动量大小，以及同一个大小的轨道角动量的不同投影（即同一个大小的轨道角动量所在平面有不同法向取向），这样又有两个量子数；最后，在同一个大小的轨道角动量并且其轨道所在平面法向取向相同的情况下，椭圆轨道的长轴取向可以不同，因此需要进一步确定椭圆轨道的长轴取向，它便是Runge-lenz矢量！
我最近要忙一段时间，如果帖子回得少些（尤其是直接针对我的帖子），请见谅！
持之以恒就是胜利
| 发表时间：2004-11-08, 01:34:14 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
几何量:椭圆轨道的长轴a, 短轴b, 垂直于椭圆平面的单位矢量n(两个角度), 四个量.
物理量: 能量E, 角动量L(大小和方向), 四个量.
对于作用量, 可以得到两类不同的对称性(广义).
一是经典的, 变分得到EL运动方程, 解方程得到运动"轨道", 在这个"轨道"上发现更多的守恒量(对称性)(monopole, instanton, soliton, vortex, ....)
一是泛函积分(路径积分量子化), 得到对称性(夸克禁闭, 渐进自由, 能隙......).
它们有联系吗?
| 发表时间：2004-11-08, 07:06:43 |
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可见光
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Re: 什么是动力学对称性？
"几何量:椭圆轨道的长轴a, 短轴b, 垂直于椭圆平面的单位矢量n(两个角度), 四个量.
物理量: 能量E, 角动量L(大小和方向), 四个量."
不是这么考虑的。量子力学与经典力学不同。
首先我舅舅上面略去了与电子自旋相关的量子数说明，因为他想说的只是Runge-Lenz矢量的物理意义。
椭圆轨道的长轴与短轴垂直，只需要一个长轴矢量，或者椭圆轨道平面内与长轴成一给定角的任意矢量都可以。
垂直于椭圆平面的单位矢量，与Z轴成一给定角时，便对应轨道角动量的Z分量的一个给定投影量子数（轨道磁量子数），只要这个角度给定，与此量子数对应的的量子态是给定的，与另一个角度无关。换句话说，当轨道角动量方向绕Z轴进动时，量子态是不可分辨的，是全同的，视为同一个。角动量的方向由角动量的Z分量量子数标志，但无法进一步标志，因为在量子力学意义上不可分辨
这里没有物理量与几何量之分。
有时候，求解方程的力学量完备集其选择不是唯一的。不同的选择，其力学量完备集中力学量的个数必然相等，即具体确定同一个微观运动状态所涉及的自由度是相等的。
你看不到我的眼泪，因为我在水里
| 发表时间：2004-11-08, 09:52:48 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
我是指经典力学中几何和物理的对应, 量子力学(场论)中的几何效应是更大更深的一个话题.
| 发表时间：2004-11-08, 19:57:43 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
三维平直空间中确定一个椭圆需要五个自由度, 长轴a=(a1,a2,a3), 短轴b=(b1,b2,b3),共六个量, 但相互垂直有一个方程 ,共有五个量.
物理上我们有四个自由度, 能量E和角动量L, 还缺一个自由度.
这就是RL矢量的来源.
低维和高维空间的也一样吗??
| 发表时间：2004-11-08, 21:09:25 |
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轩轩
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Re: 什么是动力学对称性？
轨道可以封闭，但禁受不起速度上的微扰
力学量与受恒量的事情我意识到了
1.能量,角动量,动量,受恒,起源于4维平直时空的等度规变换群,10个killing场,
2.哈密顿系统 要用到辛流形 可能是约束系统
2是我昨天想到的.忽然大悟;0
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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可见光
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Re: 什么是动力学对称性？
我跟yinhow哥哥越讨论越糊涂了^_^。
SO(4)对称性有六个生成元，三个S和三个K，这个可以与四维时空旋转对称性类比，只是把其中的时间坐标轴换成空间坐标轴，即SO(4)相当于四维欧基里德空间中的转动群。四维时空旋转的三个S（转动）和三个K（Lorentz推动或时－空转动），到了SO(4)都是空间转动，S一样而K相差一个虚数单位。
轩哥换成一种几何语言说法。
“轨道可以封闭，但禁受不起速度上的微扰”
最多从一个能级到另外一个能级发生跃迁？
“1.能量,角动量,动量,受恒,起源于4维平直时空的等度规变换群,10个killing场”
上面这句话翻译成群论语言：彭加勒群的对称性有10个守恒量，即与该群对应的10个生成元：四动量（时空平移生成元）、角动量（三维空间转动）和三个Lorentz boost生成元。由于彭加勒群变换保持四维时空线元长度不变，因此不改变度规张量，这样彭加勒群等同于等度规变换群。
轩哥哥很擅长把简单问题复杂化，深奥化。对同一个物理规律，可以有不同学科的不同语言描述，有多个马甲。在不同描述语言之间相互翻译，对不同语言之间融会贯通，就会有不同层次不同深度和多个角度上的理解。
2.哈密顿系统 要用到辛流形 可能是约束系统
用几何语言，哈密顿力学就对应辛流形描述。
“2是我昨天想到的.忽然大悟”
轩哥不简单，虽然这个是已知的东西。可见轩哥重复了前人的，可别当作自己的新发现啊^_^
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| 发表时间：2004-11-09, 00:46:11 |
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轩轩
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Re: 什么是动力学对称性？
什么？？？
你在讲什么？
是不是我们两个人在你眼里全不如你？
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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| 发表时间：2004-11-09, 02:46:53 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
我跟yinhow哥哥越讨论越糊涂了^_^。
呵呵, 我讨论的主要还是经典的, 我是想从经典的角度上找出RL矢量的来源.
SO(4)动力学对称性曾先生的书上有研究, 量子化后, 角动量L, RL矢量A都是算符. 在能量本征态.下, 它们可以组合成SO(4)的生成元算符
1.这样彭加勒群等同于等度规变换群。
这个只有在平直时空中才成立
| 发表时间：2004-11-09, 02:55:39 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
如何预见一个动力学系统具有这样的动力学对称性？”
我想是独立的守恒量数目大于体系自由度数目时候会出现(经典意义上).
譬如说三维的kepler问题, 守恒量有E,L,A, 有两个限制条件, 独立数目是5, 但自由度是3
| 发表时间：2004-11-09, 03:14:59 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
轩轩兄弟不要生气, 讨论就是相互学习.
| 发表时间：2004-11-09, 03:18:20 |
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可见光
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Re: 什么是动力学对称性？
回轩哥哥：
看来轩哥哥是大大地误会我了！5555....
讨论问题就是讨论问题，主要是大家互通有无，取长补短，相互学习，围绕着一个问题展开讨论，大家一起就可以把问题从多个角度叙述得更清楚。大家一起讨论，相当于一个人同时在学几本书。我们既不是为了显示各人的水平和知道得多，也不是为了赌狠，而是为了求知。
这里微分几何你知道得要多些，而且你正在学习之中，每每把物理问题从几何角度重新论述一遍，让我们有一个更多的角度和更深入的认识，这很好啊！我从中学习到不少，所以我才说你每每总是把问题深奥化，这样让我们可以从一个更高的角度看同一问题。我上面的回帖是看了你的帖子之后才醒悟到的，事先我并不知道这个，而且我从中知道Killing场可能是什么东东，以前我没有听说过，这就是你带给我的新信息。
我舅舅过去经常重复前人的东西，所以重复了很正常，不是水平不够，我觉得是相反，起码证明了自己还是搞科研的料。
回yinhow哥：
首先感谢你没有误解我！还帮我说话。
我原以为我弄清楚了RL矢量，经过跟yinhow哥一讨论，我怀疑自己是不是真的弄懂了，所以才说我越来越糊涂了。
如何预见一个动力学系统具有这样的动力学对称性？
这个我不清楚，不知这里其他人有什么看法？
我想是独立的守恒量数目大于体系自由度数目时候会出现(经典意义上).
譬如说三维的kepler问题, 守恒量有E,L,A, 有两个限制条件, 独立数目是5, 但自由度是3 。
这个我同意你的看法。上面我没有说对。最简单的例子，当满足质壳条件时，尽管能量和动量各个分量一起共有四个守恒量，四动量中只有三个是独立的，自由度是3。不过你上面说的“独立数目是5, 但自由度是3”应该改成“独立数目是3, 因而自由度是3”。即守恒量个数不能跟自由度数混同。
我觉得讨论问题大家应该畅所欲言，不要如同在官场上做事，每时每刻老是担心这样说话对不对，会不会伤人自尊，那样就太累了。
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| 发表时间：2004-11-09, 04:54:36 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
可可MM受委屈了, 在下替轩轩赔礼道歉.
我术语搞混了, 把独立守恒量的数目和自由度混在一起了.
| 发表时间：2004-11-09, 05:19:05 |
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西门吹牛
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Re: 什么是动力学对称性？
yinhow兄的个性和为人果真跟星空兄有几分相似。
可可喜欢在他舅舅的朋友面前“放肆”，就仗着他们的友情。其实在生活中可可很乖、非常有教养的（虽然有时喜欢胡闹）。
一舞剑气动四方,天下英雄莫能挡
形踪飘忽疑无影,冷面郎君傲雪霜
| 发表时间：2004-11-09, 23:03:14 |
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轩轩
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Re: 什么是动力学对称性？
在下一时失察，请温mm包涵。王兄，也请你原谅。
我生气的原因跟当时的情绪有关系。当然这是不对的。
我看到
一些话，比如我把简单问题复杂化，或者讲，重复前人众所周知的结论来居天之功。这些使得我有点对自己的失败人生很懊恼，再后，文章发出去以后，我觉得好象爆炸一样，不可逆了。但愿不会一错再错。希望这不至于引起我们的不和睦。
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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| 发表时间：2004-11-10, 02:29:43 |
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可见光
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Re: 什么是动力学对称性？
轩哥哥是我不对，我前面那个话说一半留一半的，的确容易引起误会，对不起！给人带来伤害的感觉，不是“畅所欲言”的前提。我舅舅只会怪我，不会觉得你不对的。
“我有点对自己的失败人生很懊恼”
你这么年轻，还早着呢！你现在正走向黄金时期。几年后你将更有一个质的飞跃。更难得的，你综合能力很强，聪明，多才多艺，才气逼人。
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| 发表时间：2004-11-10, 06:21:43 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
经典力学中有些守恒量在量子场论中不一定守恒, 得到修正, 也称为反常. 譬如流守恒. 如果经典的拉氏量有共形不变性, 那么能动张量的迹为零. 但量子化后就出来一大堆复杂的式子, 奇怪的是它们与所在时空的Ricci曲率联系在一起. 可参见Duff的回忆性文章. 另一方面, 如果要保证Lorentz
对易关系式在量子化后也成立, Bose String所在的时空维数必须是26维. Polyakov从路径积分的
角度也得到了这个结论(可能我的说法不正确)
| 发表时间：2004-11-11, 07:09:24 |
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sage
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Re: 什么是动力学对称性？
经典力学中有些守恒量在量子场论中不一定守恒, 得到修正, 也称为反常. 譬如流守恒. 如果经典的拉氏量有共形不变性, 那么能动张量的迹为零. 但量子化后就出来一大堆复杂的式子, 奇怪的是它们与所在时空的Ricci曲率联系在一起. 可参见Duff的回忆性文章.
it is not strange it has something to do with Ricci scalar since it has to proportional to some scalar and Ricci is the simpliest one. What is a little more strange is that why it does not seem to proportional to other scalars. Actually, we do not know if they do since we have not seen enough examples of conformal field theory. there is a conjecture along those lines but has not been proven.
另一方面, 如果要保证Lorentz
对易关系式在量子化后也成立, Bose String所在的时空维数必须是26维. Polyakov从路径积分的
角度也得到了这个结论(可能我的说法不正确)
Not precisely. In order to complete gauge fix bosonic string so that it is unitary, the conformal symmetry on the string world sheet has to be non-anomalous. In the simple backgroud, this means D=26.
| 发表时间：2004-11-11, 17:49:45 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
谢谢SAGE的指正.
Actually, we do not know if they do since we have not seen enough examples of conformal field theory. there is a conjecture along those lines but has not been proven.
能说说这些猜想的大致内容吗?
| 发表时间：2004-11-11, 18:48:25 |
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yinhow
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Re: 什么是动力学对称性？
数学中给出一个李代数, 可以有定律和法则判断出有几个Casmir来:
这个是Racah的说法:对于秩为l的半单纯李群, 可以构造出l个独立的不变算子.
对于SU(2), SO(3),SO(4)来说, 只有一个两阶的Casmir算子.
| 发表时间：2004-11-18, 21:00:47 |
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轩轩
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Re: 什么是动力学对称性？
秩？？
伴随表示的秩吗？
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