轩轩
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欧几里得空间的dirac算子
dirac矩阵是具有minkowski号差的时空里定义？能否在欧几里得号差（+，＋，＋，＋，＋）的空间上定义？
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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yinhow
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Re: 欧几里得空间的dirac算子
不管数学上的严格定义(譬如Clifford代数), 是可以的. 只要满足:
1,反对易出来度规,2,夭正
这是平直空间的. 再通过e(a,\miu)转换到弯曲空间.这样符号都是正的DS空间也能定义.
| 发表时间：2004-11-09, 03:24:29 |
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轩轩
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Re: 欧几里得空间的dirac算子
正的DS空间是不是球面？
欧几里得空间的dirac算子存在，dirac方程也存在？有什么意义？
指标定理，热方程，拓扑性质，……需要时间漫漫漫漫学啊。呵呵。
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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| 发表时间：2004-11-09, 04:11:09 |
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可见光
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Re: 欧几里得空间的dirac算子
dirac矩阵是具有minkowski号差的时空里定义？能否在欧几里得号差（+，＋，＋，＋，＋）的空间上定义？
问题答案应该是肯定的。minkowski时空号差，决定了这个时空里面的时空四矢的号差。而引入dirac矩阵原始目的是为了线性化squr（E^2-p^2-m^2)。在欧几里得空间，E^2-p^2应该换成（E^2+p^2）或-（E^2+p^2），因此新的dirac矩阵会有所不同。但“质量”变成什么样子，我不知道。
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| 发表时间：2004-11-09, 05:09:12 |
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yinhow
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Re: 欧几里得空间的dirac算子
会不会是虚质量??
| 发表时间：2004-11-09, 05:19:42 |
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可见光
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Re: 欧几里得空间的dirac算子
同意yinhow哥的猜测.毕竟质量是静止能量.时间换成虚时间，能量变成虚的，那么质量也应该变成虚的。
纯Yang-Mills理论只有在四维欧几里德空间才有静态孤子解(即瞬子解).由于四维闵可夫斯基空间中的量子场论等价于四维欧几里德空间中的经典场论，所以这种瞬子解是有意义的。我不知道瞬子在“常规”描述下，是不是有一个等效的虚质量——尽管在瞬子理论中，瞬子能量好像被“处理成”实数的。如果是，上面的看法无疑是对的。
哎，我也要忙去了。
生活充满七彩阳光，是为可见光
| 发表时间：2004-11-09, 06:35:35 |
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yinhow
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Re: 欧几里得空间的dirac算子
由于四维闵可夫斯基空间中的量子场论等价于四维欧几里德空间中的经典场论:
这句话看不懂.
| 发表时间：2004-11-09, 08:40:36 |
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yinhow
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Re: 欧几里得空间的dirac算子
纯Yang-Mills理论只有在四维欧几里德空间才有静态孤子解(即瞬子解):
出于什么机制呢? 高维(低维)和弯曲空间为什么不行?
RN度轨就是四维弯曲时空U(1)规范场和引力耦合的特殊解(黑洞)
最新一期的数学译林有M.F.Atiyah的一篇文章, 题目是Dirac Equation and Geometry, 其中说道:
Euclid自己挥舞这直尺和圆轨, 如此轻巧熟练地在几何图形的王国里游荡. 我们在正交群表示理论中只有借助于旋量才能达到这个水平. Euclid几何必定以某种方式与旋量表示有着深刻的联系.
按: 其实SW方程就是明证.
| 发表时间：2004-11-09, 23:22:45 |
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sage
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Re: 欧几里得空间的dirac算子
纯Yang-Mills理论只有在四维欧几里德空间才有静态孤子解(即瞬子解):
出于什么机制呢? 高维(低维)和弯曲空间为什么不行?
why? there are instanton solutions in higher dimensions. Also, instanton is called instanton precisely because they are time-dependent solutions (not stable ) in Minkowski space (obtained by taking the solitonic solution in Euclidean space solution and wick-rotate)
RN度轨就是四维弯曲时空U(1)规范场和引力耦合的特殊解(黑洞)
| 发表时间：2004-11-09, 23:50:49 |
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可见光
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Re: 欧几里得空间的dirac算子
sage大哥回答得好呀！
上面我说纯Yang-Mills理论只有在四维欧几里德空间才有静态孤子解(即瞬子解)，并没有说高维空间不可以存在。
在空间中局域的波是通常的孤子概念，如果还在时间上局域，则是瞬子（这个可以顾名思义）。瞬子可以描述不同真空之间的隧道穿透解。
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| 发表时间：2004-11-10, 01:18:48 |
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yinhow
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Re: 欧几里得空间的dirac算子
上面我说纯Yang-Mills理论只有在四维欧几里德空间才有静态孤子解(即瞬子解)，并没有说高维空间不可以存在。
小姑娘真调皮. 我查了一下, 据说有人证明了这样的结论:
只有在4维空间加N维时间的平直时空中, 纯YM理论才有静态孤子解.
S.Deser,Physics Letter 64, B463(1976)
RN度轨就是四维弯曲时空U(1)规范场和引力耦合的特殊解(黑洞)
我又混淆了两个概念.
一个是拉氏作用量L(泛函)取极值时候的解, 解可以解释为black hole, monopole, vortex...
一个是能量H(泛函)取极值时候的解, 解可以解释为soliton.....
一般L和H是不等的, 举个最简单的例子, 1+1维的经典力学
L(t,x)=1/2(dx/dt)^2-V(x),H(t,x)=1/2(dx/dt)^2+V(x),
时间做虚变换的时候, 有
L(it,x)=-H(t,x)
延拓到Euclied空间做泛函积分时, 拉氏作用量取极值相当于能量H取极值
| 发表时间：2004-11-10, 05:49:45 |
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yinhow
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Re: 欧几里得空间的dirac算子
一个是能量H(泛函)取极值时候的解, 解可以解释为soliton.....
又错了, 应该还是EL方程的解, 不过要能量H(泛函有限.
| 发表时间：2004-11-10, 05:54:45 |
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可见光
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Re: 欧几里得空间的dirac算子
再讨论下去就超出了我目前的水平范围^_^。下一步我只有看你们、sage大哥和昌海大哥讨论的份，跟你们学习学习。那昌海大哥许久不来指导指导，我要抗议:-)
“只有在4维空间加N维时间的平直时空中, 纯YM理论才有静态孤子解.'
在这里，传统中好像有两种处理办法：1)把四维欧氏空间看作五维闵氏时空中的子空间；2）把四维欧氏空间看作通常的四维闵氏时空，但要把时间分量延拓到虚数时间坐标分量。
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| 发表时间：2004-11-10, 06:34:19 |
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西门吹牛
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Re: 欧几里得空间的dirac算子
回yinhow兄之“一般L和H是不等的”（与yinhow兄一同回顾）：
1）勒让德变换是把一组旧变量的函数换成一组新变量的函数时的一个特殊变换。这个东东非常重要。热力学中让人头晕的诸多概念，象什么熵、焓、自由能什么的，其实就是勒让德变换联系的。
2）拉格朗日是广义坐标、广义速度和时间的函数。当用广义动量替换其中的广义速度时（其他不变），拉格朗日就变成哈密顿量。二者之间就是由勒让德变换联系的。因此经典力学就有牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿量力学三种描述方式。
3）由经典力学到量子力学存在一个过渡手续（例如用量子对易括号替代泊松括号等等）。由经典场论到量子场论也是类似过渡（正则量子化涉及无穷多广义坐标－广义动量共轭对，即无穷多个自由度，此时把场量看作场算子，并当作广义坐标，再由正则方程算出广义动量，让它们满足坐标和动量之间的那种对易关系。路径积分量子化不必把场量看作场算子，涉及的量仍然是经典量），因此量子场论存在拉格朗日力学和哈密顿量力学两种描述形式。现在的场论，多用拉格朗日形式描述，例如利用场的拉格朗日密度不变性研究场的对称性；在路径积分量子化中用拉格朗日形式描述。在正则量子化中，采用哈密顿量形式描述。
4）拉格朗日量和哈密顿量既然是两个不同的物理概念，自然地，它们一般不相等。哈密顿量（密度）常对应系统的总能量（密度）——比如不显含时间时；在对称变换下，它一般不能保持不变；而拉格朗日密度在对称变换下的不变性，几乎就是理论对称性的一种定义（严格定义是作用量不变性，它是对拉格朗日密度进行时空坐标的四重积分）。
5）由此可见，分析力学是整个物理大厦的基础。当我们有一个整体的知识构架时，就有一个看问题的大局观念。
我搞的东西是纯应用的，但有时候需要具备一些理论素养，因此以前让星空兄教了我以上东西，只怕我这里没有完全掌握他所教的。有人教的确比自己学快多了，不会只见树木不见森林，而是有整体把握。可惜星空兄现在时间精力常常不够用，再加上自己经历挫折，过去耽误太多，如今生活事业压力很大，我此时却帮不了他...我跟他岁数差不多，但我比他幸运多了，尽管论才我远不及他。
一舞剑气动四方,天下英雄莫能挡
形踪飘忽疑无影,冷面郎君傲雪霜
| 发表时间：2004-11-10, 08:58:44 |
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yinhow
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Re: 欧几里得空间的dirac算子
我们开个新话题讨论吧.
| 发表时间：2004-11-10, 22:25:18 |
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