权权
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也向大家请教个问题
如果Lagrangian包含广义坐标的高阶导数项，从最小作用量原理出发，我们可以很直接地得到包含高阶微商的Euler-Lagrange方程；
那是否存在与之对应的Hamilton理论呢？意思是, 如果Lagrange方程阶数上升了, Hamilton方程如何做相应的修改? 还是...最好能不改.
不忧不惧
| 发表时间：2004-11-12, 22:03:48 |
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卢昌海
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Re: 也向大家请教个问题
在 Lagrangian 带高阶导数时可以引进新的变量取代部分导数项（带最高阶导数的项除外），从而将 Lagrangian 约化为仍只带广义坐标（新引进的变量也包括在内）及其一阶导数的 Lagrangian。这样做的代价是必须引进表示新变量与原广义坐标导数之间关系的约束条件。但通过合理选择新变量可以使约束条件也只带广义坐标及一阶导数，从而使整个 Lagrangian （包括 multiplier 项）不包含高阶导数。
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2004-11-13, 11:57:51 |
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Milnor
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Re: 也向大家请教个问题
这个合理选择是有定理保证的吧？
| 发表时间：2004-11-13, 16:06:35 |
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卢昌海
发表文章数: 1617
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Re: 也向大家请教个问题
这是很容易做到的，只需引进一串新变量，使每一个都是前一个的一阶导数，直至总导数阶数为原 Lagrangian 中的最高导数阶数减一即可。比如 L=L(q, q', q'', q''', q'''')，则引进 X=q', Y=X', Z=Y'，从而新 Lagrangian 为：L(q, X, Y, Z, Z') - λ(X-q') - ξ(Y-X') - η(Z-Y')。含更高阶导数就引进更多新变量。
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2004-11-13, 20:02:54 |
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Milnor
发表文章数: 37
武功等级: 野球拳
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Re: 也向大家请教个问题
Oh, just add more 广义坐标.
| 发表时间：2004-11-13, 22:38:46 |
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权权
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Re: 也向大家请教个问题
sounds good~~
不忧不惧
| 发表时间：2004-11-13, 22:54:59 |
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西门吹牛
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Re: 也向大家请教个问题
呵呵，这真是个好地方！我从这些讨论中获益不少，但愿大家一起多多交流有无！
象上面这个问题，以前我还真没有仔细想过，就算去想，也未必有答案。
我记得有人为了研究引力量子化，什么五花八门的想法都有，例如有在拉格朗日中试图引进高阶导数项的，照上面这么说，就没有什么意义了。我当时只是考虑：引入高阶导数项，会不会影响理论的可重整性？
一舞剑气动四方,天下英雄莫能挡
形踪飘忽疑无影,冷面郎君傲雪霜
| 发表时间：2004-11-14, 23:19:36 |
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权权
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Re: 也向大家请教个问题
我想到这个问题的起因是这样的, 以前和一位师兄讨论如何从对称性出发生成物理学,当时我们想了个最简单的例子,要求物理学定律的形式在时空的平移, 时空的反演, 伽利略变换下保持不变, 这里我们所谓的物理学定律就特指Hamilton方程, 果然得到了经典力学的Hamiltonian.
于是我们就想, 把Hamilton方程作为出发点是不是太特殊了一些. 虽说Hamilton方程和Lagrange方程是等价的, 只差个Legendre变换, 但对于Lagrangian含广义坐标高阶导数这种可能性仍然不太放心.
于是有此一问.
我想, 如果能仅仅从对称性出发, 包括时空的平移, 旋转, 反演变换下的不变性, 也包括一些更不显然的对称性, 诸如Lorentz变换下的不变性(Galileo变换下的不变性), 规范变换下的不变性, 能够大致构造出物理学体系的Lagrangian或者Hamiltonian, 把物理学定律的形式限制到一个很小的范围里, 难道不是一件美事吗? 呵呵, 不过这可能需要更多的群论知识, 下学期好好学~~~
不忧不惧
| 发表时间：2004-11-15, 00:53:14 |
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sage
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Re: 也向大家请教个问题
我想, 如果能仅仅从对称性出发, 包括时空的平移, 旋转, 反演变换下的不变性, 也包括一些更不显然的对称性, 诸如Lorentz变换下的不变性(Galileo变换下的不变性), 规范变换下的不变性, 能够大致构造出物理学体系的Lagrangian或者Hamiltonian, 把物理学定律的形式限制到一个很小的范围里, 难道不是一件美事吗? 呵呵, 不过这可能需要更多的群论知识, 下学期好好学~~~
well, people have tried very hard to do that for the last century. symmetry principle does get us pretty far. However, it does not give us everything. there are too many possible symmetries you could impose. in the end, nature has to tell us which symmetry it prefers. physics laws cannot be derived just from symmetries.
| 发表时间：2004-11-15, 11:34:46 |
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权权
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Re: 也向大家请教个问题
完全确定自然不可能，至多只能说限制物理学定律可能的形式
不忧不惧
| 发表时间：2004-11-15, 18:11:39 |
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可见光
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Re: 也向大家请教个问题
有些对称性在经典物理中如同说废话，没有什么意义，但到了量子力学那里，就有了实质性的物理意义。
生活充满七彩阳光，是为可见光
| 发表时间：2004-11-16, 00:11:53 |
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sage
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武功等级: 天山六阳掌
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Re: 也向大家请教个问题
有些对称性在经典物理中如同说废话，没有什么意义
why? for example?
| 发表时间：2004-11-16, 00:28:53 |
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星空浩淼
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Re: 也向大家请教个问题
我帮可可回答一下吧:-)
例如全同粒子对称性，只有在跟波函数打交道的量子力学中才有意义。没有几率幅的叠加干涉规律，全同粒子对称性就无用武之地，毕竟在经典力学那里没有“交换作用”那样的东西存在。而在量子力学那里，全同粒子对称性产生了交换作用这样的动力学效应，它导致分子结构共价键的形成，也是有序－无序型铁电现象的自发电偶极化的形成机理......
持之以恒就是胜利
| 发表时间：2004-11-16, 01:40:04 |
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卢昌海
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Re: 也向大家请教个问题
:: 我记得有人为了研究引力量子化，什么五花八门的想法都有，例如
:: 有在拉格朗日中试图引进高阶导数项的，照上面这么说，就没有什
:: 么意义了。我当时只是考虑：引入高阶导数项，会不会影响理论的
:: 可重整性？
通过引进新变量在形式上把带高阶导数的 Lagrangian 改写成只带一阶导数，并不会改变带高阶导数的体系的动力学行为有别于只带一阶导数的体系这一事实。因此不会使引进高阶导数的做法失去意义。
引进高阶导数项会影响理论的可重整性，因为高阶导数项的能量（量纲）幂次较高，相应的耦合常数的能量幂次就较低，一旦这一幂次为负，理论就丧失了可重整性。因此可重整理论所带导数的阶数都不高。
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2004-11-16, 10:13:33 |
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西门吹牛
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武功等级: 空明拳
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Re: 也向大家请教个问题
谢谢昌海兄的回答，你让我弄得更清楚了:-)
一舞剑气动四方,天下英雄莫能挡
形踪飘忽疑无影,冷面郎君傲雪霜
| 发表时间：2004-11-17, 03:45:19 |
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