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轩轩

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瞬子和孤子有什么关系

据说
在场论中
孤子包括扭结和瞬子……
？

它们都是些什么？

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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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sage

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Re: 瞬子和孤子有什么关系

well. it is a long story.

soliton is solution of classical equation of motion which is also static (sort of).

instanton is solution of classical equation of motion of Euclidean space-time. the instanton action is related to the vacuum tunneling amplitude in Minkowski space-time. Therefore, it could be understood (sort of ) as instantaneous.

发表时间：2004-11-16, 00:32:43

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星空浩淼

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Re: 瞬子和孤子有什么关系

我就说一点点基础的“低端”部分，希望昌海兄和sage兄纠正并谈谈进一步的“高端”部分:-）.
我按照自己的逻辑顺序，没有拘泥于“正统”，如果看到中间有疑问，可能看完之后就没有疑问了，除非是跳着看。

在场论中，孤子按照形成的“机理”有拓扑性孤子和非拓扑性孤子之分。
理想的平面波是在空间中无限延伸的，而一般地，由不同频率成分的平面波叠加而成的波包，由于色散而在空间中逐渐弥散，因此也不能完全在空间中局域。如果由于某种原因使得色散效应被抵消，从而波包形状被保持下来，此时便形成了一个孤子。在某些介质中就存在抵消色散效应的非线性效应，从而能形成非拓扑性孤子，例如水波孤子和光学孤子等。另外一种情形是，由于拓扑效应使得波包不会扩撒，从而形成拓扑性孤子，例如扭结。但两种都涉及非线性。

在理论物理中，“空间中局域”与应用科学中含义有些不同，后者就是指有场限的能量只分布在一个“小”空间范围内，而前者是指场有限的能量分布，在空间趋于无穷远时场趋于真空值，即孤子能量分布只要在无穷远处为零就叫做孤子（真空能作为本底），即使分布的空间范围很大很大。其实理论物理是准确的，应用科学是直观的近似的，前者包含后者。

当在空间沿不同方向趋于无穷远时，场趋于不同的真空值（即真空是简并的），此时的孤子称为扭结，此时存在一种守恒的量子数——拓扑荷，但它跟任一对称性变换下的不变性无关，不是Noether荷，它与场在无穷远处的边界条件有关。

至于瞬子，则不但在空间上局域，而且在虚时间上局域，即对应四维欧氏空间中的孤子。——这如何理解呢？想象一个粒子在做量子隧道穿透（不过这里量子隧道穿透常常对应不同真空之间的穿透，穿透的“粒子”不一定是通常意义上的粒子），此时若沿用传统定义，这个穿透是在虚时间中发生的，因为速度是虚数，而隧道势垒的空间长度是实数。当粒子在穿透前和穿透之后（即在隧道外边时），就是通常的“粒子”；但是在隧道穿透过程中，它相当于一个瞬子。量子隧道穿透过程只存在一瞬间，因此瞬子只存在某一个时间段内，有一个从产生到消失的存在过程，存在于时间轴上的某一局部线段内。从外面来看，瞬子还是在实时间中存在于一个时间段内。因此瞬子不但在空间中局域，也在时间中局域。

不一定准确，下面就有sage兄和昌海兄纠正和接着谈...

持之以恒就是胜利

发表时间：2004-11-16, 01:12:43

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星空浩淼

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Re: 瞬子和孤子有什么关系

呵呵，我刚发完帖子，发现sage兄已经发了一个帖子。不过sage兄回答得未免太简洁了点:-).
我记得自己以前在这里有过类似讨论，如果sage兄的回答“过得了关”，轩轩不会再次提这个问题了，除非他以前没有耐心看。不过我却超级罗嗦。

忙碌中途溜进来看看，没想到回个帖子还是挺花时间的:-)，不知轩轩跟L的进展如何，喜欢看轩轩这方面的文章，可能是你们罗曼史的将来见证.

持之以恒就是胜利

发表时间：2004-11-16, 01:24:45

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轩轩

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Re: 瞬子和孤子有什么关系

举个简单例子
是不是说
在2维球面上，自由的无源电磁场，它有瞬子解？是monopole？

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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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发表时间：2004-11-16, 21:55:57

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sage

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Re: 瞬子和孤子有什么关系

在2维球面上，自由的无源电磁场，它有瞬子解？是monopole？

I do not think there is instanton solutions. I think instanton solutions are classified by the fundamental group (with the dimension the same as the boundary of the manifold) of the gauge group. the boundary of a sphere is null. therefore, therefore, I think it could only have trivial solutions.

发表时间：2004-11-17, 00:23:59

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西门吹牛

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Re: 瞬子和孤子有什么关系

在2维球面上，自由的无源电磁场，它有瞬子解？是monopole？

我觉得问这个问题表明还是没有理解瞬子概念，前边的回帖可能白辛苦了:-)。
首先自由的无源电磁场是横波，波前是二维平面，因此不可能存在于2维球面上；不过在极端情形下可以沿球面传播（但波本身还是三维的），此时先作为行波，如果波长合适，最后成为稳定的驻波（碰巧我在纽约时曾经有一个博士生问我这个问题：是行波还是驻波？）。波包或驻波跟静态孤子是两个概念，更不是瞬子（但孤子可以看成一种特殊的波包）。即是电磁场能够在这种情形下形成孤子甚至瞬子，也不可能是monopole。这些东西无论用何种语言来理解，万变不离其宗。用场的拉格朗日来描述，有孤子或瞬子解存在时，那里含有非线性作用项。自由的无源电磁场是平凡的，而且属于最平凡的那种；二维球面的边界也是平凡的。

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发表时间：2004-11-17, 01:28:02

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西门吹牛

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Re: 瞬子和孤子有什么关系

修改：“自由的无源电磁场是横波，波前是二维平面”→“自由的无源电磁场是横波，波前是二维曲面”（曲面包含平面在内）

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发表时间：2004-11-17, 01:31:19

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轩轩

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Re: 瞬子和孤子有什么关系

没有学过场论，真的很难理解其中精妙啊：）

能不能举几个例子来讲

谁是谁不是？？？

电荷，monopole，黑洞，这样的东西很具体，感觉就在那里。那里是场的奇异点。你要说瞬子，是什么对应于使得作用量取到最小值。

还有一个感觉是，场论中的lagranian，或者作用量，最小偶合拉的，但天知道到底是怎么来的，会不会显得不够自然。

扪心自问，告诉你一个电子，你如何写出其作用量来？

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发表时间：2004-11-17, 02:38:55

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yinhow

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Re: 瞬子和孤子有什么关系

在两维球面上, 计算发现一个无源U(1)规范场的解是:
F_(01)=F_(02)=0, F_(12)=Bsin\theta
这里B是常数.

其实上面几个帖子(不包括轩轩的)都默认了这样一个条件, 无论是孤立子还是瞬子, 背景时空都是平直的.

弯曲时空中要同时考虑两类方程, EINSTEIN方程和YM方程, 联合起来求解, 王永久先生的书上有详细探讨.

这就是做广义相对论和其他领域的区别, 他们首先想到的是时空是几维的, 符号差是多少, 弯曲否?
其他领域的, 无论是场论还是光学, 时空限定是四维MINKOWSKI空间.

发表时间：2004-11-17, 03:14:37

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轩轩

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Re: 瞬子和孤子有什么关系

yin兄
你可能把指标写错了

应该是这样吧：
F_(11)=F_(22)=0, F_(12)=Bsin\theta

问题的关键是

这样的解答不能在球面上整体存在

有没有物理上的意义？

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发表时间：2004-11-17, 03:19:49

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yinhow

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Re: 瞬子和孤子有什么关系

规范场强的指标是反对称的

指标在上面的话有奇点, 在下面就能在球面上整体存在.

这样的解答不能在球面上整体存在, 有没有物理上的意义？
这个是TOY MODEL, 强加给它一个物理意义也许有吧, 我现在说不出来.

发表时间：2004-11-17, 03:25:35

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西门吹牛

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Re: 瞬子和孤子有什么关系

轩轩别着急，以你的进度，要不了两年就走在我们前面。只是到那时我们有问题请教你的时候，可不准翘辫子哦！:-)
有些问题你提得太大，都不知从何说起，但是当你课程学到那些地方时，一切的一切自然就明朗化了。毕竟老师用一个学期用一本书来跟你讲，远比这里的几个帖子强.可能这里更适合于比较具体一些的问题讨论。
在我看来，最小作用量原理（变分原理）几乎就是一切。最小耦合原理可能成为一个公理吧。当最简单的选择就OK了的时候，人们就用不着去考虑更麻烦的。从协变微分（或绝对微分）的含义到规范场的思想，去理解最小耦合原理，你可能感觉就要自然一些。你学微分几何，对绝对微分应该有充足的理解。

扪心自问，告诉你一个电子，你如何写出其作用量来？

这个要看什么环境下的电子，如果同时考虑它在时空中的运动、与电磁波的相互作用、参与弱相互作用和引力相互作用...里面包含的项就多了。我不知道，是先写出运动方程再写出作用量来来得容易，还是反过来容易，或者运动方程往往是我们先知道的，而作用量则是马后炮式地给出的？

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发表时间：2004-11-17, 03:37:47

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西门吹牛

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Re: 瞬子和孤子有什么关系

由于轩轩以自由的无源电磁场为例，我们当然只能在现实时空中进行考虑。

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发表时间：2004-11-17, 03:43:11

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yinhow

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