可见光
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关于黎曼猜想之12
昌海大哥写到黎曼猜想之12，开始联系到物理，感觉越发神奇了，真是不可思议啊！
有一段文字：
“如上所述， 假如 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点将与某个厄密算符的本征值一一对应。 我们知道厄密算符可以用来表示量子力学体系的哈密顿量， 而厄密算符的本征值则对应于该量子力学体系的能级。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立， 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点将对应于某个量子力学体系的能级， 非平凡零点的全体则对应于该量子力学体系的能谱。 我们把这一特殊的量子力学体系称为 Riemann 体系， 把这一体系的哈密顿量称为 Riemann 算符。”
这个说法不知是否比较狭义？由于力学量必须是可观测量，因此其本征值必须是实数的，从而相应的算符必须是厄密算符；反之，我们说，厄密算符可以用来表示量子力学中的力学量算符，体系的哈密顿量只是其中的一种，为什么只是单单就指定哈密顿量呢？
当然，可能把这种厄密算符只“处理”为哈密顿量而不失一般性，而且哈密顿量决定了体系的演化特征，地位非同一般，尽管将厄密算符只专门对应某个哈密顿量，这样做对于原来的数学问题不一定对应得最直接最简单。
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| 发表时间：2004-12-18, 00:46:15 |
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sage
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Re: 关于黎曼猜想之12
I think H is the natural choice.
first, we do not want anything that is classified by a compact symmetry group. in this case, everything will be determinded by group theory, such as angular momentum.
then, we probably don't want anything depends on angle. a discrete angluar distribution is kind of strange since it seems to contain arbiturary partial waves. Therefore, things like p1.p2 appear to be less likely.
then, it appears that H is a natural choice, although others might be possible.
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卢昌海
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Re: 关于黎曼猜想之12
呵呵，可可好细心。的确，量子体系的能级只是物理学中由厄密算符本征值所描述的许许多多物理量中的一种。从 Pólya 给 Odlyzko 的回信中看，他当初并没有把问题限定为量子体系的能级，甚至于并没有限定为是量子体系中的物理量。后人之所以把注意力集中到量子体系的哈密顿量上可能是由于随机矩阵理论在物理学中最初是针对原子核能级而发展起来的。原则上其它物理量也是可能的（不过正如 sage 兄所分析的，它们中的一些可以通过对称性等方面的考虑而排除掉）。
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| 发表时间：2004-12-18, 08:33:56 |
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可见光
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Re: 关于黎曼猜想之12
两位大哥说的有道理！
first, we do not want anything that is classified by a compact symmetry group. in this case, everything will be determinded by group theory, such as angular momentum.
then, we probably don't want anything depends on angle. a discrete angluar distribution is kind of strange since it seems to contain arbiturary partial waves. Therefore, things like p1.p2 appear to be less likely.
不过，sage大哥说离散角分布是个奇怪的东西，我觉得不奇怪啊。角动量在给定方向上的投影量子化，意味着角动量方向与给定方向夹角的离散化分布，这也是通常所说的所谓“空间量子化”。
对于 a compact symmetry group，它的生成元本征态存在一个自然的边界条件——即单一性条件。例如空间转动群生成元（角动量算符）的本征态ψ（θ），必须满足在同一个角度位置上取同一个值，从而ψ（θ）＝ψ（θ＋2π），这种周期性边界条件带来角度分布上的量子化，但总的分布数量有限，总共只有360度的角用来瓜分。
对于a non-compact symmetry group，它的生成元本征值好像只有存在某种外在的力学约束时，才会呈离散化分布，并且这种分布数量可能没有上限。可能正因为如此sage大哥才认为应该对应a non-compact symmetry group的生成元（例如哈密顿量，间接对应时间平移群生成元）更合理些吧！
BTW,我有一个想法——时空量子化应该有两层意思：1）物质在时空中的分布呈现某种离散化。即时空是通过运动着的物质来体现的，没有离开物质的绝对时空框架（这是按照马克思哲学观点来理解的）；2）时空自身的“颗粒化”、离散化，与运动其中的物质没有关系。如果是后者，一些跟无穷有关的逻辑悖论或许的要重新分析了。
也许引力量子化的困难反映了时空量子化只能停留在第一种意义上？
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| 发表时间：2004-12-21, 03:45:25 |
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卢昌海
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Re: 关于黎曼猜想之12
:: 如果是后者，一些跟无穷有关的逻辑悖论或许的要重新分析了。
时空量子化并不意味着跟无穷有关的逻辑悖论需要重新分析。因为数学并不局限于物理观测所及的范围。比如虽然我们不会在物理测量中得到虚数，但在数学中可以通过数系的拓展提出并研究虚数的概念。即使对于我们以前讨论过的 Zeno 悖论那种看似与物理时间的连续性紧密相关的悖论，如果仅仅用物理时间不能无穷分割来反驳它，也是很欠缺的。因为多数悖论的实质在于推理，而非前提，尽管其前提可能是理想化，从而在物理上无法实现的。
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| 发表时间：2004-12-21, 20:11:21 |
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sage
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Re: 关于黎曼猜想之12
不过，sage大哥说离散角分布是个奇怪的东西，我觉得不奇怪啊。角动量在给定方向上的投影量子化，意味着角动量方向与给定方向夹角的离散化分布，这也是通常所说的所谓“空间量子化”。
Angular momentum quantization does not mean that a observable will be a discrete function of angle. Imagine we do some scattering experiments, the angular momentum is quantized because (roughly ) SO(3) is compact. However, the scattering amplitude is always a continuous function of angle. This has nothing to do with quantization of space-time which presumably have something to do with the quantum gravity.
对于 a compact symmetry group，它的生成元本征态存在一个自然的边界条件——即单一性条件。例如空间转动群生成元（角动量算符）的本征态ψ（θ），必须满足在同一个角度位置上取同一个值，从而ψ（θ）＝ψ（θ＋2π），这种周期性边界条件带来角度分布上的量子化，但总的分布数量有限，总共只有360度的角用来瓜分。
my point is that since compact group's generator is already determined by group theory, it probably cannot represent the infinite series of prime numbers like the zeros of riemann zeta function.
对于a non-compact symmetry group，它的生成元本征值好像只有存在某种外在的力学约束时，才会呈离散化分布，并且这种分布数量可能没有上限。可能正因为如此sage大哥才认为应该对应a non-compact symmetry group的生成元（例如哈密顿量，间接对应时间平移群生成元）更合理些吧！
quantization of something means: first, this thing has to be dynamical. Spacetime in the conventional or classical sense is not dynamical. it provides the background for other "stuff", even the other stuff could be quantum fields. Quantization of the space-time means space-time is not only dynamical, it also obey the rules of quantum mechanics. This is famously hard due to the renormalization problem...
quantization is in principle different from discretization.
| 发表时间：2004-12-21, 22:26:19 |
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可见光
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Re: 关于黎曼猜想之12
感谢sage大哥的详细讲解，像是让我上了一堂课，让我受益匪浅！
小女子我功力有限，需要大家多多指导，谢谢！^_^
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| 发表时间：2004-12-22, 00:49:16 |
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星空浩淼
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Re: 关于黎曼猜想之12
对于有关无穷的悖论，我同意昌海兄的看法。对于逻辑难题的思考，的确男女有别:-)
Angular momentum quantization does not mean that a observable will be a discrete function of angle. Imagine we do some scattering experiments, the angular momentum is quantized because (roughly ) SO(3) is compact. However, the scattering amplitude is always a continuous function of angle. This has nothing to do with quantization of space-time which presumably have something to do with the quantum gravity.
关于可可和sage兄的讨论，尽管sage兄说的对，但我感觉这其中有某些混淆:-).
首先，as well known,角动量量子化那里有两种量子数：总量子数和投影量子数（后者又称为磁量子数),前者相当于角动量的大小量子化，后者相当于角动量的方向量子化。矢量有大小和方向两种自由度，角动量则在两种自由度分布上都量子化了。sage兄所举的例子the scattering amplitude is always a continuous function of angle，这只能表明线动量的方向是连续的，不能用来观测角动量的方向量子化现象——事实上，整个磁物理学，就是利用角动量的大小和方向量子化现象来干活，在那里当然存在相应的可观察效应。而且散射态和束缚态往往有别。例如在束缚态下呈现量子化现象的，在散射态下可能不再量子化了。
另外，在原子物理那里，原子核外电子云的分布，就体现了空间方向量子化的特征。
尽管量子化和离散化在物理概念上是有别的，但在实际操作上，我们很难分开它们。例如当我们发现电阻是离散的时候（而且还不是用自然数来离散，是用分数来离散），我们就判断我们发现了某种新的量子化现象——分数霍尔效应。当然，认为引力量子化的理由是认为任何东西应该同样遵从量子力学规律，例如要满足海森保不确定性原理。此时的“量子化”更应该理解为“量子力学化”。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2004-12-22, 04:33:52 |
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sage
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Re: 关于黎曼猜想之12
首先，as well known,角动量量子化那里有两种量子数：总量子数和投影量子数（后者又称为磁量子数),前者相当于角动量的大小量子化，后者相当于角动量的方向量子化。
correct. my point is that if you measure the position of anything, it is a continuous function of angle. a real discretization of space-time will mean that we have some wave-function which is a delta-function in angle. It will contain all the partial waves and will be hard to prepare as a pure state. the eigen-value of angular momentum is discrete. However, all the spherical harmonics are continous function of angle.
矢量有大小和方向两种自由度，角动量则在两种自由度分布上都量子化了。sage兄所举的例子the scattering amplitude is always a continuous function of angle，这只能表明线动量的方向是连续的，不能用来观测角动量的方向量子化现象
No. it is partial wave expansion in terms of spherical harmonics. it is always constinuous in angle. angular momentum is still (and always) quantized.
——事实上，整个磁物理学，就是利用角动量的大小和方向量子化现象来干活，在那里当然存在相应的可观察效应。而且散射态和束缚态往往有别。例如在束缚态下呈现量子化现象的，在散射态下可能不再量子化了。
另外，在原子物理那里，原子核外电子云的分布，就体现了
空间方向量子化的特征。
I don't know what you mean by direction quantization. I think you do not mean a quantization of space-time.
very roughly speaking, any observable defined on compact space (or a generator of compact lie group) will be discrete just from boundary conditions. however, this has nothing to do with quantization of space-time itself.
| 发表时间：2004-12-22, 12:15:41 |
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星空浩淼
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Re: 关于黎曼猜想之12
白天看到sage兄睡得晚，晚上轮到我了:-)
correct. my point is that if you measure the position of anything, it is a continuous function of angle. a real discretization of space-time will mean that we have some wave-function which is a delta-function in angle. It will contain all the partial waves and will be hard to prepare as a pure state. the eigen-value of angular momentum is discrete. However, all the spherical harmonics are continous function of angle.
我觉得delta-function 只是一个纯理想情形。而，例如一个Gauss分布倒能描述实际情况。粒子在某一处或某个方向上出现概率最大，以此为中心，向两边概率呈指数衰减；然后在另一个角度上又是如此重复，这才是实际的量子化空间分布描述。概率幅当然是自变量的连续函数（否则可能麻烦大了:-)），但函数取值可以是周期性变化的，量子化分布是通过函数值来判断，而不是是否作为自变量的连续函数来判断。
very roughly speaking, any observable defined on compact space (or a generator of compact lie group) will be discrete just from boundary conditions. however, this has nothing to do with quantization of space-time itself
赞同sage兄说的。上面说的主题其实并非谈论时空量子化。可可只是顺便请教“时空量子化”是不是有那样两种不同的含义（并且是否取第二种）。一些量子力学教材上，就是将角动量投影量子化直接称为“空间量子化”，或者将物质波包在空间中的离散化分布称作“空间（分布）量子化”，这跟引力量子化中涉及的时空量子化当然完全是两回事。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2004-12-22, 13:22:02 |
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sage
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Re: 关于黎曼猜想之12
概率幅当然是自变量的连续函数（否则可能麻烦大了:-)），
not necessarily. Probability amplitude is just a representation of state |psi>. <n|psi> qualifies as a probability amplitude with a variable n which can be discrete. Fundamentally, we don't discretize x, therefore, <x|psi> will always be continuous.
赞同sage兄说的。上面说的主题其实并非谈论时空量子化。可可只是顺便请教“时空量子化”是不是有那样两种不同的含义（并且是否取第二种）。
| 发表时间：2004-12-22, 23:55:13 |
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星空浩淼
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Re: 关于黎曼猜想之12
sage兄说的是。
下面补充一点：
由于测不准关系，所谓一个个离散能级往往也是理想化的。实际上，例如原子核外电子所处的能级往往延展成一个具有能量范围的“能带”（“能带”宽度与能级寿命成反比），这导致能级跃迁概率不为零（因为至少存在由于真空涨落引起的自发辐射）。
同样，角度与角动量之间由于不确定，使得空间量子化分布是用波包而不是用Dirac得尔塔函数来描述。相位与粒子数之间不确定，导致粒子数不是完全确定的，存在粒子的产生与湮灭。
不过角度－角动量不确定关系、相位－粒子数不确定关系，在理论描述上，还存在争论。比如相位量子化问题，有一种方案就是采用量子代数的循环表示。
其实，时间和能量不确定关系尽管现在比较认同Mandelstam–Tamm的表述，还是争论不休。
这些都是将角度、相位、时间当作算符时惹的祸。
我个人观点是：只有差值可以作为力学量算符，绝对值不行。通常所谈论的能量和动量，其实是差值不是绝对值，满足质壳这一约束关系。同样，时间坐标和三维空间坐标通常是作为四个独立的自由度，只有它们的差值，即时空间隔，才满足类似于质壳那样的约束关系（用固有时间隔替代质量），此时只有三个是独立的。只有时间间隔才能作为力学量（Pauli论述时间不能作为力学量算符的理由是：如果这样，能量谱就不是正定的，即粒子的能量本征值可以为负、直至负无穷大）
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2004-12-26, 11:29:31 |
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