yinhow
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单位圆和Salem number
根据记忆所写, 有不清楚的地方可以参考文献
单位圆分解定理是出现在李杨的相变理论中的. 配分函数是易逸度的函数, 系数是粒子数N和体积V的函数, 具有对称性, 所以它的根分布在单位圆上. 当粒子数N趋向于无穷大但保持密度N/V固定时, 根在单位圆上的分布有一个测度g(\theta), 如果知道了这个测度g的具体形式, 就可以算出热力学量如内能和压强. 但只有对于两维ISING模型和格子气, 测度g才能算出来, 热力学量也于椭圆函数联系起来. 如果有一个根趋向于实轴, 就表示相变.
数学上有Salem number, 它是一个对称整系数项式P的根, 它落在单位圆外, 它的共厄落在单位圆内, 其他所有的根要么落在圆周上.要么成对出现. 定义一个Mahler测度M(P), 是所有落在单位圆外根的模的乘积. 未解决的问题是最小的Mahler测度是多少? 它还与纽结理论中的Alexander多项式联系起来, 如果P(x)=1,或P(x)=1, 那么P是某个纽结的lexander多项式. 它还于数欲中的Artin L函数联系起来, Artin L函数在s=0的一阶展开系数正比于Salem number的对数.
物理和数学结合起来, 问题有:
(1)Salem number所属的多项式P是哪个统计模型的配分函数?
(2),当根的数目趋向于无穷大时, Mahler测度是何种形式?
(3)用这个多项式P算出的热力学量会和什么特殊函数联系起来?
参考文献:
[1]EKNATH GHATE AND ERIKO HIRONAKA, THE ARITHMETIC AND GEOMETRY OF SALEM NUMBERS, BULLETIN (New Series) OF THE
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 38, Number 3, Pages 293{314
[2]Physical Review, Vol 87, No.3, 404-409, 410-419
| 发表时间：2005-01-08, 03:51:22 |
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轩轩
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Re: 单位圆和Salem number
数学上有Salem number, 它是一个对称整系数项式P的根, 它落在单位圆外, 它的共厄落在单位圆内, 其他所有的根要么落在圆周上.要么成对出现。
什么叫对称整系数多项式？？？对称？？ 系数对称？？ 这个topic很有意思，因为它与扭结有关系：） 。
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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可见光
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Re: 单位圆和Salem number
真是学术有专攻，yinhow哥谈的东东，我大多看不太懂，看来功力太浅。
我记得电磁理论中，求解势场时，有所谓镜像法。对于球面，球内离球心为r的一点，与球外离球心为R的一点，如果Rr=球半径的平方，则这两点互为镜像点（是这样吗？）。如果两个镜像点和球心一起所在的平面置于平面M上，球为单位球，在M平面上投影为单位园，那么这两个镜像点相对于这个单位园，是不是上面所谓的两个互为共轭的“对称点”呢？换句话说，这里的“共轭”不是指复共轭吧？
上面这个东东好像很有趣哦！
生活充满七彩阳光，是为可见光
| 发表时间：2005-01-09, 06:17:25 |
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可见光
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Re: 单位圆和Salem number
实变、泛函分析什么的，我舅舅懂一点，我从他那里只知道“测度”的一个模糊概念，反正就好像是尺寸、体积、大小等概念的推广吧，再就是可数无穷集合的测度为零，因此测度不为零的集合，它的势至少跟实数集合相等。不过，可能同一个对象在不同定义下的测度，具体大小不同，适用范围也不同吧。
我觉得大家提供好话题时，如果太过专业，尽量顺便把其中的各种专业术语大致解释一下，有利于大家参与讨论吧。
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| 发表时间：2005-01-09, 06:31:54 |
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Tom
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Re: 单位圆和Salem number
整系数:系数是整数
对称：若是x,y的多项式，则当x=y,y=x时，多项式不变.
| 发表时间：2005-01-09, 09:14:06 |
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西门吹牛
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Re: 单位圆和Salem number
yinhow兄怎么嘎然而止了，希望sage兄和yinhow兄在这里多介绍一些好东东，轩轩和tom兄多多参与讨论，贡献一点聪明才智，大家都受益。你看人家星空和可可舅甥俩，不管自己懂不懂，先议论一番再说，即是文不对题，也奉献上了自己所知道的那一份心得，让大家参考和共享。可惜本人理论基础欠缺，无法在这里跟大家讨论的火热，只好默默地向大家学习了。:-)
一舞剑气动四方,天下英雄莫能挡
形踪飘忽疑无影,冷面郎君傲雪霜
| 发表时间：2005-01-12, 01:10:41 |
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可见光
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Re: 单位圆和Salem number
是啊！yinhow哥的东东为这里吹进了一股新鲜空气，让我们见识更多的新知识。虽然不完全看得懂，但多少都能学到一些。
才子大多心高气傲，尤其是在“恰同学少年”时代，更是“指点江山，激扬文字”者有之，“滚滚红尘，惟我独尊”者有之。可yinhow哥好像为人低调，谦虚谨慎。当然，我觉得年轻人有时候张扬一点好，富有挑战性和ambition，给自己加担子，才能激发创造能力和大丈夫气概。
生活充满七彩阳光，是为可见光
| 发表时间：2005-01-12, 06:42:16 |
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yinhow
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Re: 单位圆和Salem number
不好意思, 这个帖子是我偶尔翻阅以前的读书笔记, 结合轩轩的问题写出来的. 笔记上不外乎两类东西, 一是数学公式, 一是几个关键词, 过了几个月再看, 茫然不知所云. 看来要加上原始文献.不然真的是天书了, 连原编者也不知道记的是什么东西.
| 发表时间：2005-01-12, 06:53:56 |
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yinhow
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Re: 单位圆和Salem number
多谢西门兄和可可MM的鼓励. 我的本意是比较物理中三大派别处理相变问题的不同角度.
李杨是完全纯理论的, 关键在于配分函数的解析性上. 平均场理论同样可以得到定性的结论, 如何精确化就靠各人的数学功底了.
一种是计算角度的, 给定了原子(分子)之间的势能具体形式, 就可以计算出成千上万个原子整体的势能, 一般势能曲面上有很多个局域极小点, 但只有一个是全局最小的, 对应系统相变所选取的状态. 这种方法主要是模拟盐在水中的溶解和结晶过程.
一种是实验的, 譬如在失重状态下, 用强激光融化Ai-Ni-Zn合金, 形成一个液态金属球, 然后降温,
发现在凝固点以下几百度还是液态, 但是结构变了, 出现正十二面体的排列结构.
另我上文中所用的"测度"一词比较含糊, 不确切的说, 就是积分元, 譬如SU(2)群上的积分, 矩阵模型里对于矩阵本征值的积分(要乘一个因子), 泛函里面的"积分"等等. 我记得手怔性反常的一个数学来源是泛函积分元在手怔变换下会多出一个因子来.
对称是指多项式从前往后和从后往前的系数读起来是一样的.
| 发表时间：2005-01-12, 07:11:25 |
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yinhow
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Re: 单位圆和Salem number
最近看到过的两篇文献中, 也出现了与SALEM数有关的东西. 譬如说在ASM/FPL模型中(下面我稍微解释以下)出现了对称的多元多项式, 如P_3(2,t)=1+2t+t^2+2t^3+t^4, 我想会不会是SALEM数的产生多项式.
ASM是指Alternating sign matrices, 矩阵元素只能是零, 正一, 负一, 每一行(列)加起来等于一. FPL是指fully-packed loop. 一个圆柱, 上下圆周上有N个点切割成同样的长度, 上面圆周的分割点和下面圆周的分割点连起来, 连线在圆柱面上, 不能相交. 把上下圆周看成同一个圆周,这些连线就可以看作是闭合的圈圈(loop), 这个模型就称为O(1) loop gas. 有人发现ASM和FPL可以一一对应起来. FPL的转移矩阵的本怔矢量就是对称的多元多项式.
| 发表时间：2005-01-12, 07:33:33 |
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yinhow
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Re: 单位圆和Salem number
另一个模型是外磁场下的一维自旋链模型, 主要是求长度为L的部分链在基态下与其余部分的纠缠度, 如定义熵为s(\rho)=-Tr[\rholn\rho], 其中\rho是其余部分trace掉的密度矩阵. 文献发现在大L和小L的表达式可以用无限维的Toeplitz矩阵的行立式表示, 当L趋向与无穷大的时候, 同时保持L与总的长度之比为定值, 发现熵正比与长度L. 如果推广到两维, 熵就正比与面积,
这于黑洞熵正比于视界面积类似, 或许有更深刻的物理联系.
我们说Toeplitz矩阵由(\Theta)产生, 如果f(\Theta)的Foutier级数系数为f(n), 那么T_{i,j}=f(i-j)
| 发表时间：2005-01-12, 08:10:34 |
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yinhow
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Re: 单位圆和Salem number
这里的“共轭”不是指复共轭吧
是指两个点和原点在同一条直线上, 它们到原点的距离乘起来等于一(单位圆周的半径的平方)
| 发表时间：2005-01-12, 08:13:26 |
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yinhow
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Re: 单位圆和Salem number
这里的“共轭”不是指复共轭吧
是指两个点和原点在同一条直线上, 它们到原点的距离乘起来等于一(单位圆周的半径的平方)
上面回复有错误. 如果对称多项式有一个根是Z的话, 1/Z也是它的根. "共轭"可能指这一对根.
这样它们和原点就不在一直线上.
| 发表时间：2005-01-12, 22:29:55 |
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可见光
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Re: 单位圆和Salem number
谢谢yinhow哥的讲解！
原来共轭点还真跟电磁理论中的互为镜像的点是一个意思。
你谈到的“测度”跟我说的“测度”是同一个数学含义。
生活充满七彩阳光，是为可见光
| 发表时间：2005-01-13, 01:00:47 |
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可见光
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Re: 单位圆和Salem number
这里的共轭还是含有“复共轭”的意思，因为Z的模为1的时候，1/Z即是Z的复共轭。
不过这里的共轭含义可能比“复共轭”更广泛。比如单位园内离圆心为r的点，与园外跟圆心距离为R的点，如果满足Rr=1(单位园半径的平方），则这两点是互为镜像的两个点。求静电势有镜像法，互为镜像的点势相同。
如果境面不是单位园，而是复平面上的水平实轴X，则模为1的Z点，它相对于水平实轴X的镜像点是其复共轭点1/Z（如果一个在X轴上面，则另外一个必在X轴下面，其Y坐标相同）。
生活充满七彩阳光，是为可见光
| 发表时间：2005-01-13, 02:48:30 |
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kanex
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Re: 单位圆和Salem number
我觉得，大家可以合作建一个术语wiki，那么就不会被专业名词困扰了 ：）
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-01-14, 08:15:30 |
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