yinhow
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单位圆和复动力系统
如果一个圆盘上存在一个映射, 还是映射到自身, 那么就可以用复动力系统的理论来分析它. 我又忘了在哪儿看到的, 看到了我再补上去.
| 发表时间：2005-01-13, 05:51:11 |
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轩轩
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Re: 单位圆和复动力系统
这个map有一个不动点,叫布牢伟而不动点.就是一定存在至少一点a被map为a.
函数叠代的不动点有周期,出现周期性就与混沌有关系
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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可见光
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Re: 单位圆和复动力系统
“函数叠代的不动点有周期,出现周期性就与混沌有关系”
当某个参数取值发生变化时，如果周期发生变化，就出现周期倍分岔现象。当周期最后变为无穷大时（此时系统有点类似于处于各态历经ergodic状态），就对应混沌状态。
有没有通过周期三倍分岔...直到N倍分岔的途径来进入混沌？好像还没有发现除二倍分岔之外的方式。
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| 发表时间：2005-01-13, 06:30:59 |
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轩轩
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Re: 单位圆和复动力系统
ergodic怎么翻译??
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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| 发表时间：2005-01-13, 07:30:13 |
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可见光
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Re: 单位圆和复动力系统
ergodic，各态历经，遍历
生活充满七彩阳光，是为可见光
| 发表时间：2005-01-13, 09:32:30 |
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yinhow
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Re: 单位圆和复动力系统
以前轩轩有个问题, 如果f(x+2)f(x)=f(x+1)+1, 那么f(x+5)=f(x)是周期是5的函数.
反过来, 把函数展开:f(x)=a(0)+a(+1)z^x+a(-1)z^(-x)+a(2)z^2x+a(-2)z^(-2x)
这里a是待定系数, z^5=1, 如果函数满足叠代方程, 那么待定系数a有什么限制?
| 发表时间：2005-01-13, 21:04:57 |
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yinhow
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Re: 单位圆和复动力系统
来个简单直观的模型, 一个小球在光滑的地面上滑动,界面是锐角三角形, 碰撞是完全弹性的, 那么小球的轨道是周期性的还是Chaotic? 垂足三角形是周期性的, 是否是唯一的周期性的轨道??
| 发表时间：2005-01-14, 00:13:19 |
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轩轩
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Re: 单位圆和复动力系统
函数展开:f(x)=a(0)+a(+1)z^x+a(-1)z^(-x)+a(2)z^2x+a(-2)z^(-2x)
为什么能这样展开？？完备吗？
下面一个问题我不知道，好象有几何光学解释
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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| 发表时间：2005-01-14, 07:18:22 |
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yinhow
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Re: 单位圆和复动力系统
函数展开:f(x)=a(0)+a(+1)z^x+a(-1)z^(-x)+a(2)z^2x+a(-2)z^(-2x)
为什么能这样展开？？完备吗？
相当于Fourier级数展开
| 发表时间：2005-01-14, 21:06:47 |
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yinhow
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Re: 单位圆和复动力系统
取f(z)=z^2, 经过反复叠代, 单位圆里面的点趋向于原点, 单位圆外面的点趋向于无穷远点,就说
原点和无穷远点是两个吸引子, 吸引区域的分界线就是单位圆, 所谓的Julia Set. 其他形式的函数, Julia Set出现千奇百怪的图象.
| 发表时间：2005-01-14, 21:25:13 |
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可见光
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Re: 单位圆和复动力系统
“来个简单直观的模型, 一个小球在光滑的地面上滑动,界面是锐角三角形, 碰撞是完全弹性的, 那么小球的轨道是周期性的还是Chaotic? 垂足三角形是周期性的, 是否是唯一的周期性的轨道??”
这个问题还可以改成一束光在几个境面之间来回反射，假定光束在传播中不衰减不扩散。如果光线在反射中永远不能回到某个初始状态，那么这个反射系统就处于混沌状态。
假定有一个手镯状的东东，一个蚂蚁在手镯上爬行，使得在绕手镯圆柱转动的同时，还绕手镯大园旋转圈。如果两种转动频率之比是一个无理数，那么蚂蚁在爬行中永远不能回到初始出发的位置，于是蚂蚁运动是混沌的。
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| 发表时间：2005-01-14, 23:08:49 |
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轩轩
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Re: 单位圆和复动力系统
假定有一个手镯状的东东，一个蚂蚁在手镯上爬行，使得在绕手镯圆柱转动的同时，还绕手镯大园旋转圈。如果两种转动频率之比是一个无理数，那么蚂蚁在爬行中永远不能回到初始出发的位置，于是蚂蚁运动是混沌的。
！！
是不是这个无理数有一个上下限，出了这个限制，就不是混沌了？
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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星空浩淼
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Re: 单位圆和复动力系统
一个星期没有来这里，发现yinhow兄发了不少好话题。
前面yinhow兄和可可所举出的简单例子，虽然方便于直观理解，但也容易给不太熟悉的人带来误导。
首先周期倍分叉（岔），一般地应该理解为相空间中的周期倍分叉图像。在经典力学中，相空间中的每一个点，代表系统的一个状态（描述了系统中每个组分在某一时刻的动量和空间位置）；如果是量子力学，则每个大小为Planck常数的相格对应系统的一个状态（相格内各个点的量子态是全同不可分辨的，当然如果考虑自旋等自由度，在计算量子态数是还要乘一个因子）。因此，相空间中的周期倍分叉图像，描述了系统状态演化的周期倍分叉现象；当系统的某个参数达到某个值的时候，系统就可能处于非周期的无穷演化状态，即混沌状态。而且混沌现象有时候是“阵发性”的，比如，参数A在[0,1]之间时，系统演化周期为二；参数A在[1,1.5]之间时，系统演化周期为四;参数A在[1.5,1.7]之间时，系统演化周期为八；...参数A>5之间时,系统演化周期为无穷大，即进入混沌状态——但是，有可能会发现，参数A在[22,28]之间时，可能又进入一般有限周期状态，而到了[51,66]之间时，再次进入混沌状态。如此类推。
再说轩轩问的那个问题。手镯那样的物体，涉及两个园，一个园是手镯实体的园状，另一个园是手镯中间的园孔（我们套手的地方）。蚂蚁运动时，既绕手镯实体转，又绕手镯那个大园孔转，当转动的角频率之比是无理数时，那个蚂蚁就永远无法回到初始出发的位置。只有在有理数时，才能在转若干圈之后又回到初始出发的位置。
系统可以在有限体积的相空间中无限不重复地演化下去（即处于混沌状态），这是因为一个有限体积的空间，包含有不可数无穷多个点（每个点对应系统的一个状态）。
如果我们的宇宙不是混沌的，而且假如热寂学不可能成立的话，理论上我们或许可以有来世，即宇宙总有一天回到某个初始状态，但是，由此初始状态再次出发，所进行的演化方式演化路径可能跟上次由此出发时的完全不同——你的来生可能比爱因斯坦还牛，可能娶了一个大美女作老婆...
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-01-15, 01:12:17 |
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sage
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Re: 单位圆和复动力系统
如果我们的宇宙不是混沌的，而且假如热寂学不可能成立的话，理论上我们或许可以有来世，即宇宙总有一天回到某个初始状态，但是，由此初始状态再次出发，所进行的演化方式演化路径可能跟上次由此出发时的完全不同——你的来生可能比爱因斯坦还牛，可能娶了一个大美女作老婆...
I don't think this is true in classical physics. With precisely the same initial condition, we will always end up with the same result. Chaos is the sensitivity of small perturbation of initial condition only.
| 发表时间：2005-01-15, 01:46:10 |
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yinhow
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Re: 单位圆和复动力系统
假定有一个手镯状的东东，一个蚂蚁在手镯上爬行，使得在绕手镯圆柱转动的同时，还绕手镯大园旋转圈。如果两种转动频率之比是一个无理数，那么蚂蚁在爬行中永远不能回到初始出发的位置，于是蚂蚁运动是混沌的。
:两种转动频率之比=ma/nb, 可以回到出发点, 其中a,b是两个圆的周长, m,n是整数.
| 发表时间：2005-01-15, 02:25:16 |
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可见光
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Re: 单位圆和复动力系统
回yinhow哥：
“两种转动频率之比=ma/nb, 可以回到出发点, 其中a,b是两个圆的周长, m,n是整数.”
角频率（角速度）之比只是你上面的m,n之比，不是ma/nb，后者是线速度之比。你想想，当一秒钟之内，蚂蚁沿一个园转一圈时（角频率为2Pi),如果同时沿另一个园转了1/8圈（角频率为Pi/4），则只要转8圈就能复原；然而，如果同时沿另一个园转了Pi圈，那么永远也回不了原处。
回sage大哥：
你说的有道理，舅舅最喜欢顺便很不严格地发散性思维一下（我跟他养成同样习惯）。混沌现象有多种，但有几大共性特征：对初值的极端敏感性；相图的几何分形和分维性（自相似性或无标度性）；不重复性。
但量子混沌理论至今仍然有争论，有人甚至认为，根本不存在“量子混沌”这件事。但sage大哥如果研究宇宙学中的混沌现象，可能是很有趣的。
我跟舅舅都觉得非线性物理对于了解生命的本质，是必不可少的入门路径。
生活充满七彩阳光，是为可见光
| 发表时间：2005-01-15, 04:07:03 |
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sage
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Re: 单位圆和复动力系统
但量子混沌理论至今仍然有争论，有人甚至认为，根本不存在“量子混沌”这件事。但sage大哥如果研究宇宙学中的混沌现象，可能是很有趣的。
what is quantum chaos?
| 发表时间：2005-01-15, 15:11:32 |
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可见光
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Re: 单位圆和复动力系统
what is quantum chaos?
非线性物理（分形、分维、混沌等）都是经典力学框架中的理论。人们希望推广到量子力学范围时，探讨相应的新物理规律。量子混沌的钻研就是来自如此，那跟经典力学中的混沌理论似乎很不同，或者说似乎没有相应的量子力学推广。好像有人分析原子能级分布的混沌现象，算是量子混沌的一个例子；光学混沌现象可能也是一个例子吧。我对量子混沌不熟悉。
生活充满七彩阳光，是为可见光
| 发表时间：2005-01-16, 23:24:05 |
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