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轩轩

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第十章宇宙学之一

第十章宇宙学之一
（1）
爱因斯坦把他的方程写出来以后，开始考虑的一件事情是如何从他的方程得到我们生活其中的宇宙。爱因斯坦的雄才大略在这一件事情上体现得淋漓尽致。这种气质在科学家中是极其少见的，赫胥利《天演论》第一句也有过类似的气质：“赫胥黎独处一室之中，在英伦之南，背山而面野，槛外诸境，历历如在机下。乃悬想二千年前，当罗马大将恺彻未到时，此间有何景物？计惟有天造草昧……” 爱因斯坦也是这样，他要在斗室之中，通晓天地之变，阴阳之道，但他用的是数学方法做《天演论》。

广义相对论一直被誉为最美丽的理论，爱因斯坦也被认为是人类历史上最伟大的科学家，他一个人苦心孤诣地研究工作，为我们打开了认识神秘宇宙的大门。当然，与爱因斯坦的广义相对论有竞争的理论，为数也多如牛毛，排除一些地道的民间科学家的理论，这些理论之中，最重要的是班斯和迪克的标量张量理论，在他们那里，牛顿万有引力常数不再是一个常数，而是一个函数，这个想法是很自然的。函数也就是标量场，在广义相对论中，标量场神出鬼没，成就了一批又一批的文章。

广义相对论中，最基本的是时空流形M和它上面的度量 g＿ab。Ｍ在没有g＿ab的时候，上面是没有距离概念的，也就是没有过去和未来。Ｍ仅仅是一个微分拓扑空间，可能把它想象成一个４维的自行车内胎或者篮球皮，等等等等。Ｍ上面具有光滑的微分结构。至于它上面有多少光滑的微分结构，这个问题就过于艰深了。一般地说，在最简单的平坦Minkowski流形上，有无穷多个微分结构。这个工作是得到Fields奖的。

聪明而细心的看客马上会问，那么，Ｍ上的所有微分同胚变换是不是构成一个李群？答案是肯定的，但是，这个李群是无限维的，这有一点不象su（2）那样简单了，su（2）李群是3维的。这个问题背后有冗长的不厌其烦的计算和深刻的数学。在这里，注意力是集中的，我们要关心的是宇宙学。

但是，宇宙是有时间的，为了定义时间，抛弃热力学时间箭头抑或电磁辐射时间箭头。在相对论里，度量 g＿ab的号差是Lorentz的，也就是说，把度量看成一个4乘4的矩阵，在线性代数里面，有一个惯性定理，这个定理说，在相似变换下，矩阵的正负特征值的个数是不变的。度量是Lorentz的，相当说，特征值有一个是负的，其他三个是正的，写成（-，+，+，+）。其中，负号代表时间。

是否每一个流形都可以配上一个Lorentz号差的度量？或者说存在整体定义的时间？时间作为一个矢量场整体存在，矢量场整体无奇点，指数为０．Hopf-poincare的指数定理说，指数和等于欧拉数。所以一个流形可以配上一个lorentz号差的度量，必然要求流形Ｍ的欧拉数为０。
Ｍ的拓扑结构对g＿ab的限制，这样的问题连爱因斯坦也没有考虑过。粗浅地说，这样的问题就好象是一个金饭碗，但你会解决这样的问题时候，这往往意味着你已经长大成人了，可以出去讨生活了，并且在一定程度上可以自我保证衣食无忧了。

（2）

w.pauli很年轻的时候，曾经一系列介绍相对论的文章，集中为写过一本书，叫《相对论》。这本书现在已经被人淡忘，往事不要再提，人生已多风雨。我有一本他的书，每每看到这本由内而外发黄的书，１９２０年的Pauli研究生在油灯下笔耕不辍的情景就跃然眼帘，让人不由得想起四字镏金大字：英雄时代！
在本书中，相对论建立的1905年到1970年代霍金提出黑洞辐射，这短短的一甲子左右的光阴，我称之为“英雄时代”。这段时间中，量子力学也诞生了一大批人类精英。
特仿人民英雄纪念碑的碑文一则：
　　八九十年以来，在爱因斯坦理论中牺牲的英雄们永垂不朽！

　　三四十年来，在Hawking和penrose的奇性理论中牺牲的人民英雄们永垂不朽！

　　由此到廿一世纪初年，从现在起，为了理解广义相对论，争取人类精神独立和自由幸福，在历次斗争中牺牲的英雄们永垂不朽！

Geroch等在１９７３年曾经证明了一个定理，说的是，如果时空（Ｍ，g－ab）是整体双曲的，那么，在拓扑上必然有Ｍ＝ＲＸＥ，其中，Ｅ是一个３流形，是类空的。这个定理的意思是说，假如你要有一个定义良好的初值问题，那么，时空的拓扑必须要是一个ＲＸＥ。其中Ｒ就是时间，用参数t表征，每一个等t面是cauchy曲。这个定理，最直白的意思，就是想要给出了唯一的时间演化，“已知现在的情况，能够唯一确定未来。必须要有一个拓扑限制”，在这个意义上，这个定理对算命先生极其有利。但是可惜的是算命先生不是谦虚好学之人，多数不知道偏微分方程理论背后的巨大天机。
在宇宙学上，人们往往不考虑违背Geroch1973年的这个定理的奇异的宇宙，例如拓扑为Ｔ４或者Ｓ４。因为人们相信，在宇宙之中，存在良好的因果关系，可以很好地处理初值问题。

（3）
哥白尼原理，也叫宇宙学原理，它说：我们的宇宙，在空间上是均匀的，各向同性的。这一个原理是有一定实验根据的，那就是微波背景辐射。当然这个背景也不是绝对均匀的。但在数学上，这样的空间就是具有最大对称性空间。
人类生活在其中的宇宙，浩瀚神秘，每当仰望星空，很多人都会好奇，宇宙，到底是有限还是无限的，宇宙是不是自相似的具有分形结构，是否天圆地方，是否有沉睡在宇宙深处的黑暗能量，外星球有没有象人类同样的孤寂和智慧。在中国古代，就有《天问》的说法，问天问地，十分好奇的一种心态。
目前的观测似乎说明，我们的宇宙3维空间部分具有最大对称性。单连通3流形具有最大对称性的，只有3种，E3，S3，H3。这个分类的结论与Thurston有联系。Thurston把单连通3维的几何体分成8种，前面的3种就是E3，S3，H3，允许6个独立killing场，具有最大对称；后面的5种分别为S2×S1, H2×S1, Sol, Nil 和 SL(2,R)，允许3个独立killing场，具有均匀性（spatially homogeneous），但不具有各向同性。所有这一切的前提，全是研究单连通流形。至于不是单连通的，或者其他情景，只能让人归结到poincare猜想。这个问题是非常有趣的，顺带地，毕达哥拉斯最早知道，正多面体只有5种，这相当于冰山的一角，推广到高维空间，问有多少个超正多面体。冰山暴露出来，一定让很多人大吃一惊，这样的冰山，可以化神气的泰坦尼客为腐朽，把繁华变成南柯一梦。
话说回来，我们的宇宙，在空间上是什么样子的呢？真的是E3，S3，H3的其中一种吗？罗伯逊和沃克RW度量描述了这3种情况。RW度量的给出，纯粹是从对称性的考虑和宇宙膨胀的事实中写出来的。这个RW度量不是真空爱因斯坦方程的解。

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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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发表时间：2005-01-25, 08:56:56

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kanex

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Re: 第十章宇宙学之一

看来轩轩这段时间很有空，写文章确是耗时间的

什么时候有空上qq呢，呵呵

江畔何人初见月`江月何年初照人`

发表时间：2005-01-25, 23:03:59

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可见光

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Re: 第十章宇宙学之一

现在开始涉及高深部分，轩哥可要尽量讲详细透彻一点啊！我好从中多学习。人物名字尽量用英文，不同文献翻译不同，不如不翻译。

“广义相对论一直被誉为最美丽的理论...当然，与爱因斯坦的广义相对论有竞争的理论，为数也多如牛毛，这些理论之中，最重要的是班斯和迪克的标量张量理论...”

尽管如此，广义相对论来得最自然，除了两个看来似乎是“显而易见”的基本假设，没有引入其他任何启发性的假设，总的感觉是整个儿从第一原理出发严密推导出来的，堪称逻辑演绎之典范，给人以无懈可击的美感。一个理论，引入的前提假设越少、越简单（而不是专业般的晦涩难懂），就越有可信度。

“但是，宇宙是有时间的，为了定义时间，抛弃热力学时间箭头抑或电磁辐射时间箭头。在相对论里，度量 g＿ab的号差是Lorentz的，也就是说，把度量看成一个4乘4的矩阵，在线性代数里面，有一个惯性定理，这个定理说，在相似变换下，矩阵的正负特征值的个数是不变的。度量是Lorentz的，相当说，特征值有一个是负的，其他三个是正的，写成（-，+，+，+）。其中，负号代表时间。”

时间问题在物理学中始终是一个难题。因此轩哥好好收集材料、研究一下，即使专门拿出一章来谈论这个问题也不为过（记得历史上研究时间问题的一些科学家最后不是疯了就是自杀了，老爱死前则说时间是一种幻觉。时间问题在宗教里面都有研究）。

关于度量 g＿ab的号差是（-，+，+，+），还是（＋，－，－，－），这好像纯粹是一个人为约定的问题吧，如果这样，轩哥在这里应该顺带说明一下。

生活充满七彩阳光，是为可见光

发表时间：2005-01-25, 23:24:07

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kanex

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Re: 第十章宇宙学之一