Milnor
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问昌海兄
好久没来这里了,最近听说个Deformation Quantization据说与非交换几何有关,我大致听了下介绍,不大清楚他们究竟想干什么?能简单介绍一下吗?
| 发表时间：2005-03-07, 03:59:02 |
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星空浩淼
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Re: 问昌海兄
既然你听过介绍，首先你应该先给我们介绍介绍才对。量子代数、Deformation Quantization、量子群、非交换几何这些东东好像都是有关的。
我这里倒是有个想法想跟各位（尤其是昌海兄、sage兄、yinhow兄、NO-GO兄，轩轩、THANXmm，以及这个帖子的楼主）请教一下：
一般的李群参数是参数(c数），我自己想，在量子力学那里，有些参数可能要换成算符(q数），这时得到的群是否才是真正意义上的“量子群”？——我大致知道通常所谓“量子群”不是这个意思上的（或者本来跟这个意思还是有些等效的关系，只是我不知道？）。此时群的矩阵表示中，矩阵元的乘法都是非交换的（注意我说的是“矩阵元”不是矩阵本身，矩阵本身的乘法一般当然是非交换的），这也是非交换几何的一个定义之一。我所知道的非交换几何定义另外一个就是可可在另一个帖子中提到的：不是关于点的几何。
虽然临时有变导致我没有按计划系统学微分几何，我还是学了半个月的微分几何，一天学几章，学到辛几何那一章了——这是我的目的所在：我对量子力学的相空间描述情有独钟，为了研究时间问题也逼迫我必须学微分几何。
我很高兴看到这次可可独立自学地球也照样转了，特此借此地方表扬我的宝贝外甥女一下！
发现这里最近也讨论了不少好话题。我今年虽然因为特殊可能来得少些，但还会常来的。:-)
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| 发表时间：2005-03-07, 09:03:52 |
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卢昌海
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Re: 问昌海兄
不好意思，Deformation Quantization 我也不了解。Milnor 兄可否先把听来的东东介绍一二？
星空兄所说的把群参数由 c 数换成 q 数，我觉得不会产生本质上新的东西。因为那些 q 数本身通常又可以用矩阵表示，因此最终的效果不过是把群表示中的矩阵扩大而已，或许扩大后的矩阵不再表示原先用 c 数表示的群，但也不过就是一些用矩阵表示的新变换而已，那些新变换如果仍构成群，则同样逃不出群表示理论的范畴。这与量子力学之初将坐标与动量从清一色的 c 数变成 q 数所产生的本质区别是不可同日而语的。
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| 发表时间：2005-03-07, 11:35:40 |
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可见光
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Re: 问昌海兄
关于把群参数由 c 数换成 q 数，我觉得昌海大哥也许考虑简单了。有一本世图出版的“几何物理学导引”，其中有一章简要介绍非对易几何，那里就讲到让矩阵元之间的乘积也变成非对易的，此时就进入到跟非对易几何密切相关的Hopf代数的内容。原文还说“量子群”的叫法是一个历史错误，不过是Hopf代数而已。不过假如我舅舅的思路正确，那叫“量子群”还是有道理的。
我来个“活学活用”，对舅舅的想法进行胡乱思考：
把群参数由 c 数换成 q 数，对于群表示矩阵而言，正如昌海大哥所言，这将导致矩阵由原来的矩阵，变成原来矩阵与矩阵元对应的“内部空间”矩阵的张量积，假如原来的矩阵作用于一个底空间流形，则矩阵元对应的“内部空间”就相当于在底流形上插上纤维，即由底流形变成了纤维丛，将原来的底流形上每一点赋予一个纤维结构。
Deformation Quantization 可以看文献hep-th/0110114以及其后的文献，跟量子力学的相空间表述有关。可惜我也不懂，还没有到这个火候。看来这将是我舅舅的“必修课”。
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| 发表时间：2005-03-08, 03:17:18 |
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Milnor
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Re: 问昌海兄
那天是Alan Weinstein给我讲的大约20分钟,还没听出怎么回事(还是比较数学化的,变来变去),就让我自己看他的文章了.
"Noncommutative Geometry and Geometric Quantization" 可惜还没看. :(
现在Mina的弦论作业很多,只能疲于奔命了.
量子群我至今还不懂,没看过,似乎侯爷的书里有些Noncommutative Geometry.
一定要抓紧看了.
| 发表时间：2005-03-08, 03:17:23 |
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Milnor
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Re: 问昌海兄
to changhai大哥,
by the way, 前面叫我Milnor兄,实在是不敢当,无论如何我估计这里大概我最小了.
我大约要比你晚进负担10年左右,听过你许多的传奇故事,呵呵.
| 发表时间：2005-03-08, 03:50:37 |
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星空浩淼
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Re: 问昌海兄
“把群参数由 c 数换成 q 数，对于群表示矩阵而言，正如昌海大哥所言，这将导致矩阵由原来的矩阵，变成原来矩阵与矩阵元对应的“内部空间”矩阵的张量积，假如原来的矩阵作用于一个底空间流形，则矩阵元对应的“内部空间”就相当于在底流形上插上纤维，即由底流形变成了纤维丛，将原来的底流形上每一点赋予一个纤维结构。”
呵呵，可可这个的确是胡乱猜测，首先如果不同的矩阵元变成内部空间上不同的矩阵时，最后结果就不是什么“张量积”，除非所有矩阵元替换成同一个矩阵（可以相差一常数倍数因子）。
张量积常常对应平凡情形。例如量子纠缠态一般就不对应张量积（不知道量子信息理论是否存在几何描述，而让某一类纠缠态空间集合对应某个非平凡的纤维丛？）
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| 发表时间：2005-03-08, 10:02:17 |
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卢昌海
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Re: 问昌海兄
我有可能低估了将群元 q 数化可能带来的新东西。我只是觉得，无论那是什么东西，它都可以等价地用比原先更高维的 base space 中的普通（即以 c 数为参数的）变换来表示。不过即使如此，也还是有许多物理的内容可以衍生出来。就象把时空从四维变成五维这么“简单”的维数变化也曾被用作统一引力与电磁相互作用的尝试。另外，倘若那 q 数的表示是无穷维的，情形将更复杂。
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米师弟提到的称谓，不好意思，在这里我几乎是凡男同胞就称“兄”，以前还闹过把愚人 MM 称为愚人兄的笑话（也怪她，谁叫她女孩子家却选一个黑帮老大的头像？:）。我总觉得“弟”这个称呼有点肉麻（不过“师弟”是例外），因此明知多数人都比我小，也胡乱称兄。:)
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| 发表时间：2005-03-08, 10:10:05 |
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星空浩淼
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Re: 问昌海兄
呵呵，看我们发上面帖子的时间间隔，我跟昌海兄同时在线啊！
由于都是网名不知实际深浅，网上称兄是最恰当最普适的，比“先生”亲近。所以我觉得不必按照年龄来。
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| 发表时间：2005-03-08, 10:22:24 |
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yinhow
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Re: 问昌海兄
另外，倘若那 q 数的表示是无穷维的，情形将更复杂。
我最近做的一个小TOPIC, 有点类似, 出来这样的表达式
exp[1/2 a_i M_ij a_j], 其中M是无限维对称矩阵, 如果a是BOSE算符, M是无限维反对称矩阵, 如果a是FERMI算符
| 发表时间：2005-03-08, 20:18:29 |
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可见光
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Re: 问昌海兄
另外我觉得：将群元矩阵的矩阵元 q 数化之后，那q 数如果描述成矩阵的话，可能对应另外一个空间的矩阵，这样，即使对应张量积这种“平凡”情形，也可能有如下两种不平凡的结果，增添了新的物理内容：
1）原来的群变成两个作用于不同空间群的直积群，就好比Lorentz群变为Lorentz群与色空间中规范变换群的直积群一样；
2）原来的群由一个空间的表示变成另一个空间的表示，好比非相对论量子力学中，考虑电子自旋时，就在原来的空间波函数上外乘一个自旋波函数，这样Lorentz群由原来的标量表示变为旋量表示。
实际情形比这个复杂。比如是以上两种情形的混合。无论哪一种情形，都增添了新的物理内容。
昌海哥举的例子“四维时空变五维时空”，这是用直和的方式扩充空间，当然这只是提供一个理解方式，实际上，这里涉及的空间扩充，更包含直积（又称张量积、外积）的方式扩充。好比有四张四种颜色的牌，增加一张另外一种颜色的牌，变成五张五种颜色的牌，这是直和方式扩充；如果把四种颜色的牌中，每一种颜色变成用数字1到13标志的13张牌，这对应直积的扩充方式，即颜色空间与数字空间的直积，变成54张牌，每一张牌此时得用两种空间的指标来标志：颜色和数字。
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| 发表时间：2005-03-08, 21:35:17 |
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露露