星空浩淼
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科普一把：群与群表示
（给出这个帖子，首先是想让大家看看我写得好不好，准不准确；其次才是传授科普知识。）
1）预备说明（可以先跳过这一段）：从矢量到高阶张量的推广，如同从线→二维面→三维面→…→体的推广一样，通常“线矢量”可以用一维的基矢展开，“二维面矢量”用二维基矢展开（即用二阶张量基展开）…如此类推。——由于二阶反对称张量可以表达成一阶赝张量（即赝矢量），所以我们通常看到的“二维面矢量”还是用一维基矢展开的。张量可以表达成旋量，但反之就不一定，例如半整数自旋的旋量就无法表达成张量，这说明旋量更为基本。在张量的现代表述中，都是表达成用张量基展开的形式。另外，事实上，N次微分形式，不过是N阶反对称协变张量的表达式而已。描述旋量的分量指标，常常是某种角动量及其组合，角动量跟旋转有关，所以旋量这一称呼有些顾名思义。
2）群与群表示：群其实就是一堆“操作、变换作用”的集合，集合中的每个元代表一种操作，群元之间定义的乘积表示执行了一个操作再接着另外一个操作，对乘积和群元的要求要满足群的定义。有了操作，还需要被操作的对象，这些被操作的对象集合，就是群作用的空间，也是群的表示空间——有时候，也直接把表示空间中的元素称为群的什么什么表示，但实际上群的表示不是指这个。群元代表的“操作”，要通过它对被操作的对象所产生的变换作用来体现，这样，群好比是灵魂，被操作的对象好比是肉体，灵魂投胎到不同的肉体上，就有了不同的具体的人，这个人就是灵魂的表示，肉体就是灵魂的表示空间。同一个群，在不同的表示空间，就有了不同的表示。也即同一个群元，在不同的操作对象上，所体现出来的变换作用也不同，这种不同的变换作用，就是群元的不同的具体表示。常常说，某某空间负载群的一个什么什么表示，这句话是顾名思义的。
例如Lorentz群，如果对Dirac场进行Lorentz变换，Dirac场是表示空间，相应的变换矩阵集合，对应Lorentz群的Dirac旋量表示。对时空四矢进行变换，变换矩阵集合就是通常所讲的SO(3,1)表示，此时时空四矢集合就是表示空间。但要注意的是，如果把时空坐标四矢中的X,Y改为W(±)＝X±iY（i是虚数单位），其他不变，那么在Lorentz变换下的变换矩阵就不同于原来的，而是对应矢量的旋量表示下的变换矩阵——例如对光极化方向的描述，既可以看它沿X,Y轴的偏振分量大小（此时是矢量描述），也可以看它的左圆极化和右圆极化分量大小（此时是旋量描述）。其他的如此类推。再例如，对于单粒子体系，把三维动量矢量和三维空间坐标矢量直和在一起，构成6×1列矩阵（即相空间元素），在Lorentz变换下，变换矩阵集合对应Lorentz群的辛表示。另外，群的表示是群元到群表示的一个同态映射，而不仅仅是其中所包含的同构映射（后者称为忠实表示），即在有些表示空间，几个群元对被操作对象的操作作用是一样的，此时这几个群元在表示上不可分辨，于是群元和群表示之间是多对一的关系（双值表示则非常特殊，是一对二的关系，严格说来此时已经不叫做表示了）。所有群元都对应一个单位矩阵表示，则是平凡表示。所以说，平凡的，好像也是没有什么意思的。
李群作用于某表示空间中各元素时的变换矩阵，通常可以表达成指数形式，例如exp(itA)，其中t是群参数，A是所谓的生成元，生成元矩阵满足的一些对易关系，给出了原李群的李代数。人们还可以通过生成元，来对群表示以及相应的表示空间进行分类，例如通常研究的表示空间是由某波场支撑成的Hilbert空间（相应的波场也常常称为群的什么什么表示，其实它是负载群的某个表示的表示空间），因此要研究我们这个世界存在那些物质，可以通过研究Lorentz群的所有可能的表示来完成。但要注意，相同的李代数可以对应不同的群（即群的几何流形不拓扑同胚）。
3）举个例子粗糙说明。Lorentz群的无穷小生成元对应张成表示空间的波场的四维自旋张量S，它满足李代数。为了标记Lorentz群的不同旋量表示，可以把无穷小生成元的纯空间分量（即自旋矩阵）和时空分量（即Lorentz boost生成元）分别记成L和K，再记J(±)＝L±iK （i是虚数单位），用（J（+），J（－））来标记Lorentz群的不同旋量表示。这时候，电磁场的规范四势，作为时空四矢，可以负载Lorentz群的SO(3,1)表示；而作为旋量，用（J（+），J（－））来标记Lorentz群的表示时，对应(1/2/,1/2)表示。同样电磁场张量负载Lorentz群的张量表示，而用（J（+），J（－））来标志Lorentz群的旋量表示时，电场和磁场分别负载Lorentz群的（1，0）和（0，1）表示。顺便一提的是，用电场的三个分量和磁场的三个分量(后三个分量乘以一个虚数单位)构成6×1列矩阵，此时Lorentz群在这种六分量的旋量空间上，有了一个直和表示(1,0)＋(0,1)。对于自旋为1的矢量场，在Lorentz群下的无穷小生成元矩阵，不是可逆矩阵，因此它们虽然可构成李代数，但不够成通常意义下的代数，而是构成环。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-03-10, 23:31:42 |
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可见光
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Re: 科普一把：群与群表示
“在张量的现代表述中，都是表达成用张量基展开的形式。另外，事实上，N次微分形式，不过是N阶反对称协变张量的表达式而已。”
我来帮舅舅补充一下：我们通常所说的张量，其实是张量在用张量基展开下的分量。而N阶反对称协变张量，还可以按照N阶外代数的反对称基展开（N次微分形式是其中的特例）。
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| 发表时间：2005-03-11, 00:36:28 |
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轩轩
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Re: 科普一把：群与群表示
群好比是灵魂，被操作的对象好比是肉体，灵魂投胎到不同的肉体上，就有了不同的具体的人，这个人就是灵魂的表示，肉体就是灵魂的表示空间。
这^^^^^^^^^^^^^^^^^^^66666科普?有点有趣
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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
super star
| 发表时间：2005-03-11, 02:11:16 |
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可见光
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Re: 科普一把：群与群表示
又发现一个bug:“J(±)＝L±iK ”
应该是J(±)＝1/2（L±iK ）。另外“W（±）=X±iY”右边应该有一个根号2分之一
舅舅过去在教我的过程中，为了便于我尽快理解和掌握，常常会给我打一些妙趣横生的比方，随着我逐渐掌握，他再纠正原来的一些不太严格的比方，让我有一个更为严格更为全面的理解和掌握。但这些比方在开始所起的桥梁作用还是很大的。
比如那“灵魂肉体”之说，舅舅纯属是打个比方，为了说明引入群表示的含义和意图而临时引入的拐杖，随后的说明，就逐渐趋于严格，不需要这个很不严格的比方了，但这个比方对于初学群论的人而言，是很有用的。舅舅说，他有一年去川大物理系，看到一些理论物理研究生，都抱怨群论难学，尤其是学完群论都还搞不清“群表示”到底是干吗来着的。
生活充满七彩阳光，是为可见光
| 发表时间：2005-03-11, 04:11:35 |
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yinhow
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Re: 科普一把：群与群表示
(1) (1/2/,1/2)直乘(1/2,1/2)=(0,0)+(1,0)+(0,1)+(1,1)
4乘4=1+3+3*+9
(2)如表示作用的基可以定义内积的话, 可以要求表示是夭正的.
(3)"表示"可以做推广, 譬如a*b=c, 取对数, 变成loga+logb=logc, 还有ab=qba, 可惜定义一个函数f(a), 使得: f(b)f(a)=f(a+b), f(a)f(b)=f(b)f(-ba)f(a), 还有SW map, 从对易转换到非对易.
(4)有限群, 一般给出的是几个基本的关系式, 最好是能找到具体的矩阵表达式, 如
<a,b;a^2=b^3=[a,b]^4=(ab)^3=1, [a,b]=aba^(-1)b^(-1)
a={{0,0,1},{0,1,0},{1,0,0}}
b={{0,1,0},{1,0,1},{1,1,0}}
| 发表时间：2005-03-12, 04:10:02 |
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yinhow
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Re: 科普一把：群与群表示
由于二阶反对称张量可以表达成一阶赝张量（即赝矢量):
假定在无限小LORENTZ变换下四维矢量的变换是:
x^a=A_(ab)x^b
假定存在一个自对偶的反对称张量, G(12)=G(3), G(31)=G(2), G(23)=G(1), G(01)=-iG(31)等等.
按定义G在无限小LORENTZ变换下是
G_(ab)=A_(ac)A_(bd)G^(cd)
如何证明{G(1),G(2),G(3)}是在三维转动变换下的矢量?
正在计算中, 还没想出好的思路来.
| 发表时间：2005-03-12, 19:58:22 |
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yinhow
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Re: 科普一把：群与群表示
这时候，电磁场的规范四势，作为时空四矢，可以负载Lorentz群的SO(3,1)表示；而作为旋量，用（J（+），J（－））来标记Lorentz群的表示时，对应(1/2/,1/2)表示。
具体的表象转换?
我记的一个说法是, 对于(A,B)表示, 总角动量是J=A+B, A+B-1, Abs(A-B), 如果它们是半整数, 才称为旋量表示.
| 发表时间：2005-03-12, 20:05:30 |
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可见光
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Re: 科普一把：群与群表示
1）第一个问题，根据定义来，只需证明{G(1),G(2),G(3)}按照三维空间转动变换即可。或者说，在Lorentz变换x^a=A_(ab)x^b下（a,b,=0,1,2,3)，有G(i)=A_(ji)G(j)(i,j=1,2,3，注意是A_(ji)不是A_(ij)，矢量变换跟坐标变换相差一个转置）。
2）旋量表示的方法不是唯一的。四维时空中，常常由四维角动量张量不同分量组合出旋量指标，也就是舅舅给出的这种。在旋量表示下的量称为旋量，而不是自旋是否是半整数。对于自旋为整数的量，此时相当于张量的旋量表示。其实我舅舅上面讲的很清楚，还举了个例子：光子沿Z轴方向运动，极化矢量可以用沿X和Y轴的e(1),e(2)基矢展开,此时对应极化矢量（一阶张量），描述两个与运动方向垂直的偏正方向矢量；也可以用基矢e(±）＝e(1)±ie(2)展开（根号2分之一因子没有写出），此时是原极化矢量的旋量表示（一阶旋量），描述两个与运动方向垂直的左旋圆极化和右旋圆极化矢量。e(±）＝e(1)±ie(2)称为基矢e(1),e(2)的旋量基。在矩阵表示下，e(1)＝（1 0），e(2)＝（0 1），则e(±）＝（1 ±i). 这里为了书写方便，把列矩阵写成行矩阵。
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| 发表时间：2005-03-13, 03:29:25 |
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yinhow
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Re: 科普一把：群与群表示
2）旋量表示的方法不是唯一的。
这个就关系到什么叫旋量了. 象上文所说, e(1),e(2)称为矢量, 线性组合成e(+),e(-)称为旋量.
| 发表时间：2005-03-13, 04:36:03 |
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yinhow
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Re: 科普一把：群与群表示
物理上的体现有:
(1)左手性旋量和右手性旋量, 手怔反常
(2)optical vortex, 从截面看, 电场矢量在每一点是不同相的, 这样能流是螺旋状的
http://www.aip.org/pnu/2005/split/721-3.html
(3)负折射率材料中, 电场和磁场是左手性的, 能流与波矢是反反向的.
| 发表时间：2005-03-13, 21:40:55 |
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可见光
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Re: 科普一把：群与群表示
左手性材料理论好像出来得很早，是前苏联人（？）在一个不起眼得的杂志上发表的。没有想到几十年过去了，突然之间红起来了。看来有些理论也要经得起寂寞的考验，并不是立杆见影。
生活充满七彩阳光，是为可见光
| 发表时间：2005-03-14, 01:38:49 |
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