快刀浪子
发表文章数: 1200
武功等级: 天山折梅手
(第五重)
内力值: 546/546
什么是随机事件
谭天荣
内容提要：本文指出：一个事件之所以是随机事件，不是因为它不能预测，而是因为我们发现了某种统计规律，该事件是服从这一统计规律的大量事件中的一个事件；概率计算是从统计的前提得出统计的结论，而不是从"无知"得出"在实践中得到光辉的验证的结论"。
1. 引言
本文将考察波普尔关于随机事件的含义和概率计算的实质的论点。
在《科学研究的逻辑》一书中，波普尔写道：随机事件的特征是一种特殊的不可计算性，这使得人们经过许多次不成功的尝试后倾向于相信，一切已知的理性预测方法用于这些事件必定失败。可以说，我们感觉到除了先知以外没有一个科学家能够预测它们。然而正是这种不可计算性使我们得出这样的结论：概率理论能够应用于这些事件。
概率计算使我们从不可计算性达到可计算性（即达到某种计算的可应用性），这一结论有点悖论性质。我们如何解释这个事实：我们可从无知中得出在实践中得到光辉的验证的结论呢？我将这一问题称之为机遇理论的基本问题，甚至频率理论直到现在还不能对这个问题提供一个令人满意的解答。
（上面引用的基本上是波普尔的原话，但为了与上下文一致，我不得不稍作词句上的修改。在这种情形下，我不用引号。）
下面是我对波普尔的这一论点的评论。
2. 随机事件与统计规律
在日常生活的用语中，我们可以把"事件"分成"必然事件"、"不可能事件"和"随机事件"三种，必然事件是概率为1的事件，不可能事件是概率为0的事件，而随机事件则是概率大于0小于1的事件。所谓"机遇理论"或"概率理论"就是考察随机事件的理论。那么，按照这种日常生活的理解，一个事件怎么会是一个随机事件呢？让我们先看一个例子。
掷硬币是典型的随机事件：把一枚硬币一再地随手一掷，这枚硬币一会出现正面，一会出现反面；但是，当掷的次数增多时，出现正面的次数与出现反面的次数将趋于相等；在任意给定的场合，当掷的次数足够多时，就可以认为出现正面的次数与出现反面的次数是相等的（即可以忽略出现正面的次数与出现反面的次数之间的微小差别）。这一经验事实可表成：在大量掷硬币的事件中，硬币出现正面的相对频率是1/2。在这种意义下，我们说"单次掷一枚硬币，它出现正面"的概率是1/2。为什么这一事件有确定的概率1/2呢？因为有"在大量掷硬币的事件中，硬币出现正面的相对频率是1/2"这一经验事实，这一经验事实乃是一个统计规律。因此，在这个例子中，统计规律乃是一个事件成其为"随机事件"的前提。
波普尔提到一个类似的例子--掷骰子，他认为'这一次掷骰子出现5点'这一事件之所以是随机事件，是因为掷骰子的结果不能预测。波普尔承认骰子的运动遵循牛顿力学定律，不能预测的是它的初始条件。为了保证掷骰子的结果不能预测，波普尔还特别说到防止我们测量骰子运动的初始条件"游戏规则"。例如骰子必须是均匀的；它必须在一个封闭的容器中"好好摇动"，等等。
如果考虑另一个例子，我们将发现，波普尔的这种思考诚然细致入微，却不得要领。设想有一位射手练习打靶，他发射的每一发子弹都落在靶上某处。或许，迄今为止还没有人专门研究骰子运动的动力学规律，但子弹的运动的动力学规律--弹道学，却是人们精心研究过的。一颗子弹从发射到落在靶上的运动过程，服从弹道学的规律，这种运动过程似乎不能说是除了先知以外没有一个科学家能够预测的，也不曾有人刻意制订某种游戏规则以保证它的初始条件的不可预测性。但是，一颗子弹落在靶上某处仍然是一个随机事件。为什么呢？这是由于有如下经验事实：如果这位射手连续射击，发射了一千发子弹，每一颗子弹都射在靶上，则一种与弹道学规律迥然不同的另一种规律起作用了。这一千发子弹的落点在靶上形成一种颇为规则的分布。如果这位射手再一次射出一千发子弹，还会形成一个大同小异的分布。
如果我们在靶上给出一个坐标系，使得靶上的一个位置对应坐标(x, y)，则大量子弹的落点在靶上的分布，可以由一个二元函数F(x,y)来描写：如果靶上一共有N颗子弹，s是靶上一个位于(x, y)附近的一个足够小的区域，其面积也记作s，则该小区域内的落下的子弹数大致为n=NF(x, y)s。在这种意义下，我们说这位射手射出的单发子弹落在s中的概率为n/N=F(x, y)s。这个概率既不是1也不是0，而是某一介于1与0之间的数值。因此我们说这发子弹落在s中是一个随机事件。
当射手发射子弹时，他瞄准的是靶心，由于眼睛和手的偏差，由于风向或其他干扰，这颗子弹偏离了靶心。诚然，这些导致子弹偏离靶心的上述主观的和客观的因素是难以预测、难以控制的。但是，这发子弹落在s中是一个随机事件这一结论所表现的不是因为使它偏离靶心的各种因素不能预测，而是因为我们发现了大量子弹落点的统计规律。
在这里，概率计算的前提是F(x,y)这一统计分布函数，这是一个统计的前提，结论是单发子弹落在s中的概率是F(x,y)s，这是一个统计的结论。我们由此得出一般结论：概率运算是从统计的前提得出统计的结论，而不是从"无知"得出"在实践中得到光辉的验证的结论"。
波普尔非常关注概率在物理学中的应用，在这里，随机事件的含义与概率运算的实质表现得格外明显。
以分子运动论为例，用f(v)表示麦克斯韦速率分布函数，a表示置于某一容器中的气体的一个分子，则事件"分子a处于速率间隔[v,v+dv]"的概率是f(v) dv。如果没有麦克斯韦速率分布函数所表示的统计规律，就根本谈不上f(v)dv这一概率，而我们就不会遇到"分子a处于速率间隔[v,v+dv]"这一随机事件。分子运动论从这一统计前提导出了许多统计的结论，其中之一是给出气体分子的平均自由程。
吉布斯正则系综是概率在物理学的应用获得极大成功而又没有多少争议的例子。在这里，统计规律表现为一个基本假设，它是描写大量分子的状态分布的函数。加上某些辅助假设，这个函数可导出热力学的全部定律，还能导出某些热力学之外的结论，例如热力学量的涨落。有了这一统计规律，一个由大量分子组成的系统处于某一微观状态才成其为随机事件。在这里，概率运算是从表现为基本假设的统计前提得出种种表现为可以观测到的统计结果。
最后，我们提一下量子力学。以电子衍射过程中单个电子在屏幕上的落点为例，由于迄今为止，我们没有发现单个电子的动力学规律，甚至有没有这样的规律还是一个争论中的问题，因此，"单个电子落在屏幕上某一位置"这一随机事件就显得是"除了先知以外没有一个科学家能够预测的"的事件。或许，波普尔正是在这里引出他这一如此独特的论点。然而，量子力学的应用虽然获得了不容置疑的成功，它的基本概念却还处于剧烈争论的阶段。我们认为，要弄清"随机事件"这样的极为初等的概念的含义，不宜诉诸像量子力学这样过分专门而又处于争论中的科学分支。
3. 随机事件与统计资料
随机事件并不是总以某一统计规律为前提。例如，如果我们说"'张三得肺结核的概率'是0.02"，那么，在这一命题有意义的限度内，它是指
第一，张三属于某一人群G；
第二，人群G有2％的人得了肺结核。
既然"张三得肺结核"这一事件的概率是0.02，既不是1也不是0，"张三得肺结核"就是一个随机事件。显然，张三是否得肺结核这一问题决不是除了先知以外没有一个科学家能够预测的，我们也从来没有试图对这一问题作过"理性预测"。因此，我们所考察的这一随机事件，更没有波普尔所说的特征。
如果说射手打靶时大量子弹形成规则分布是一个统计规律，那么张三所属的人群得肺结核的比例是2％就只能说是一种"统计资料"，说不上是什么规律。
有时候，概率计算的前提一部分是统计资料，一部分是统计规律。下面，我们举概率论教程中常见的例子。
设在市面上流通的某种金币中有百万分之一是假币，这种假币的两面都是正面，而a是一枚这样的金币，若一再地把a随手一掷，一连出现100次正面，则它以后会出现反面的概率为10^-24。证明如下。
令A表示"a是假币"，B表示表示"a是真币"，则A与B的概率分别为：
Pr(A)=10^-6； Pr(B)=1-10^-6。
如果a是假币，则每次掷它只能出现正面，从而它一连出现100次正面的概率为1。如果a是真币，则它出现正面的概率为1/2，从而一连出现100次正面的概率为(1/2)^100。用C表示"a一连出现100次正面"，则上面的结果表成：
Pr(C|A)=1； Pr(C|B)=(1/2)^100。
a一连出现100次正面之后，它是真币的概率表成Pr(B|C)，根据Bayes公式，有：
Pr(C|B)=Pr(B)·Pr(C|B)/( Pr(A)·Pr(C|A)+Pr(B)·Pr(C|B))=(1-10^-6)×(1/2)^100/(10^-6×1+(1-10^-6)×(1/2)^100)≈10^-24 。
当且仅当a是真币时，它有可能出现反面，因此，a在第100次出现正面之后还出现反面的概率是10-24。
上面的计算有两个大前提：
第一，某一金币集合有百万分之一是假币，其两面都是正面。
第二，将一枚真的金币随手一掷，出现正面的概率是1/2。
在这里，第一个前提则是统计资料，第二个前提则是统计规律。从这两个前提我们几乎可以肯定，如果a一连掷100次都出现正面，则它一定是假币，从而几乎可以肯定，以后再掷这枚金币，只会出现正面，不会出现反面。这个结论肯定会得到证实，或许，它可以算得上是波普尔说的从概率计算"得出在实践中得到光辉的验证的结论"的例子。但是，这一结论的前提并不是"无知"，而是上述统计资料与统计规律。诚然，从统计资料与统计规律只能得出具有统计性质的结论，即得出由概率表示的结论。但是，当某些概率非常接近1或0时，就能对单个事件作出"几乎肯定"的预测。
4. 随机运动与规则运动
在《科学发现的逻辑》一书的《定律与机遇》一节中，波普尔写道：
"人们有时听说，行星的运动服从严格的定律，而一粒骰子的掷下是碰运气，或受机遇支配。我认为区别在于这个事实：迄今我们已能成功地预测行星的运动，但还不能预测掷骰子的个别结果。"
下面，我们把波普尔这里说的服从严格的定律的运动称为"规则运动"，而把受机遇支配的运动称为"随机运动"。行星的运动是规则运动，而一颗骰子的运动则是随机运动。波普尔认为，区别在于规则运动是可以预测的，而随机运动则是不可预测的。波普尔承认，这种划分有一定的主观性，例如，"可以设想，仪器设备精良的物理学家，能观测其它人预测不到的一次掷骰子的结果。"
波普尔还说："与这种主观观点相反，人们有时支持一种客观的观点。就这种观点利用事件本身是指决定的还是不决定的这种形而上学观念而言。"
下面，我们提出第三种划分标准。
还是以射手打靶为例，单颗子弹的运动服从牛顿力学定律，从而是规则运动。但是，大量子弹的运动服从运动统计规律，在这种意义下，单颗子弹的运动却是随机运动。因此，单颗子弹的运动既是规则运动又是随机运动。
当我们考察气体的大量分子的运动的统计规律时，单个分子的运动就是随机运动。但是，在经典统计力学的前提下，单个分子的运动服从牛顿力学的动力学定律，在这种意义下，它的运动是规则运动。另一方面，人们或许都承认天体的运动是规则运动，但是，当我们考察例如一个像银河系这样的包括千百万个天体的"宇宙岛"的整体运动的统计规律时，单个天体的运动就是一种随机运动了。因此，单个分子的运动和单个天体的运动都既是规则运动又是随机运动。
现在，我们用另一种用语表达上面的结论。无论是分子，天体还是子弹的运动，都服从严格的动力学规律，在这种意义下，它们的运动是规则运动。但是，当我们考察大量分子、大量天体或大量子弹的统计规律时，单个分子、单个天体或单颗子弹的运动就成了随机运动。或者说，它们的运动具有随机性。由此我们得出结论，随机性并不是某种运动的固有属性；它是一种相对统计规律而言的性质，一种满足动力学规律的规则运动，相对于统计规律就成了随机运动，正如单个事件相对于大量事件的统计规律就成了随机事件一样。
冷风如刀，以大地为砧板，视众生为鱼肉。
万里飞雪，将苍穹作洪炉，熔万物为白银。
| 发表时间：2005-03-16, 01:55:04 |
 作者资料
|
Arithmetic
