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如何构造loop量子引力里的state,看这个

用户登陆 | 刷新 本版嘉宾: sage yinhow

轩轩

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如何构造loop量子引力里的state,看这个



Gelfand-Naimark-Segal construction
From Wikipedia, the free encyclopedia.
In functional analysis, given a C*-algebra A, the GNS construction establishes a correspondence between cyclic *-representations of A and certain linear functionals on A called states. The correspondence is shown by an explicit construction of the *-representation from the state. The content of the GNS construction is contained in the second theorem below, although the designation of construction usually just refers to the second part of that theorem.

[edit]
States and representations
A *-representation of a C*-algebra on a Hilbert space H is a *-morphism π from A into the algebra of bounded operators on H which is nondegenerate, that is the space of vectors π(x) ξ is dense as x ranges through A and ξ ranges through H. Note that if A has an identity, non-degeneracy means exactly π is unit-preserving.

A state on C*-algebra A is a positive linear functional f of norm 1. If A has a multiplicative unit element this condition is equivalent to f(1) = 1.

Theorem. The set of states of a C*-algebra A with a unit element is a compact convex set under the weak-* topology. In general, (regardless of whether or not A has a unit element) the set of positive functionals of norm ≤ 1 is a compact convex set.

Both of these results follow immediately from the Banach-Alaoglu theorem.

A representation π of a C*-algebra A on a Hilbert space H has cyclic vector ξ iff the set of vectors


is norm dense in H. Any non-zero vector of an irreducible representation is cyclic. However, non-zero vectors in a cyclic representation may fail to be cyclic.

Note to reader: In our definition of inner product, the conjugate linear argument is the first argument and the linear argument is the second argument. This is done for reasons of compatibility with the physics literature. Thus the order of arguments in some of the constructions below is exactly the opposite from those in many mathematics texbooks.

Theorem. Let A be a C*-algebra. If π is a *-representation of A on the Hilbert space H with cyclic vector ξ having norm 1. Then


is a state of A. Given *-representations π, π' each with unit norm cyclic vectors ξ, ξ' and having the same associated states, then π, π' are unitarily equivalent representations; moreover, the unitary operator U that implements the unitary equivalence can be chosen to map ξ to ξ'.

Conversely, given a state ρ there is a *-representation π of A with distinguished cyclic vector ξ such that its associated state is ρ


for every x in A.

The construction proceeds as follows: Assume A has a unit element. A can be equipped with a singular inner product


Here singular means that the sesquilinear form fails to satisfy the non-degeneracy property of inner product. However, we take the quotient space of the vector subspace A by the vector subspace I consisting of elements x of A satisfying ρ(x* x)=0. The vector space I is actually a left ideal of A, so the elements of A act on A/I as operators on the left. H is then taken to be the Cauchy completion of A/I, equipped with the quotient norm. The cyclic vector ξ is the image of 1 in A/I. In case A does not have a unit element, consider the C*-algebra A1 obtained from A by adjoining a multiplicative identity. Any state f on A extends uniquely to a state f1 on A1. Apply the previous construction to f1.

This construction is at the heart of the proof of the Gelfand-Naimark theorem characterizing C*-algebras as algebras of operators.

[edit]
Irreducibility
Also of significance is the relation between irreducible *-representations and extreme points of the convex set of states. A representation π on H is irreducible iff there are no closed subspaces of H which are invariant under all the operators π(x) other than H itself and the trivial subspace {0}.

Theorem. Let A be a C*-algebra. If π is a *-representation of A on the Hilbert space H with unit norm cyclic vector ξ, then π is irreducible if and only if the corresponding state f is an extreme point of the convex set of positive linear functionals on A of norm ≤ 1.

To prove this result one notes that given a self-adjoint operator T on H which commutes with all the operators π(x), and is such that 0 ≤ T ≤ 1 in the operator order,


is a positive linear functional on A (not in general a state) dominated by f. This map is easily shown to be a bijection. Now the representation π is irreducible iff the only operators which commute with all the π(x) are scalar multiples of the identity. Thus a necessary and sufficient condition π be irreducible is that the set of states dominated by f consist only of scalar multiples of f. This condition on f can be shown to be equivalent to f being an extreme point in the set of positive linear functionals of norm ≤ 1.

Extremal states are usually called pure states. Note that a state is a pure state iff it is extremal in the convex set of states.

The theorems above for C*-algebras are valid more generally in the context of B*-algebras with approximate identity.

[edit]
References
William Arveson, An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1981
Jacques Dixmier, Les C*-algebres et leurs Representations, Gauthier-Villars, 1969


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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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No-go

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



Oh, my... beyond my understanding.
Do you need to master C* algebra and more if you like to study loop gravity?


发表时间:2005-03-24, 12:21:37  作者资料

No-go

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



One question: the "loop" in loop gravity means what kind of thing?


发表时间:2005-03-24, 12:23:39  作者资料

轩轩

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



据说,loop只是一个以前的名字而已,ashtekar已经是不喜欢了,但名字已经叫了出去,那就象是覆水难收,但重要的是,其这个名字的人,不是ashtekar本人,而是lee somlin和罗维林,他们的本意,好象是说,loop是一种量子引力的表象,它基本上可能是wilson 圈,也就是说,和乐,也就是说,是联络在圈绕一周的积分,这就是传说中的loop表象了。显然,这个loop可以在微分同胚下保持不变,这就牛了。
但是,后来的人们还是喜欢联络动力学,他们是如此喜欢,以至于陶醉了。


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发表时间:2005-03-24, 19:20:44  作者资料

No-go

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



什么是wilson圈的微分同胚不变性?是它的Trace在微分同胚不变?
Thanks!


发表时间:2005-03-24, 21:01:26  作者资料

No-go

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



BTW, wilson圈在loop gravity中是个什么样的角色?动力学变量?


发表时间:2005-03-24, 21:06:12  作者资料

轩轩

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



用圈是为了微分同胚不变
在用trace是为了规范不变


联络动力学的基本变量是3流形上的联络场和标架场

我学的是联络表象 不是loop表象

但我其实很不内行


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发表时间:2005-03-24, 23:34:29  作者资料

No-go

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



没事,你再不内行也比我内行。你现在不内行,说不定几个月后就内行了。

这个wilson圈积分号内是否为Γ·dx,即联络的1-form? 但联络在微分同胚的变换
下会多一项,最关键的是圈内的面积不可能在微分同胚下不变,那样wilson圈怎会
微分同胚不变?能不能较详细地解释一下?这两种表象应是等价的,说不定从wilson圈
还能看到些新东西。

LOOP引力用3流形,看来是把时间单独分开考虑?


发表时间:2005-03-25, 13:31:56  作者资料

sage

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



Oh, my... beyond my understanding.
===============================

that's OK. you just have to forget about it. it is all crap.



Do you need to master C* algebra and more if you like to study loop gravity?
================================================

whenever people study something useless, c* algebra seems to be there. it used to be axiometic quantum field theory. then there are all those claims about higgs mechanism cannot be true because someone have shown so using C* algebra.


发表时间:2005-03-25, 19:08:25  作者资料

yinhow

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



LOOP引力用3流形,看来是把时间单独分开考虑?
它的基础和出发点之一就是Hamilton形式的引力理论(时空看成时间和3流形的乘积)


发表时间:2005-03-25, 20:06:49  作者资料

轩轩

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



止步兄,你的问题我现在还是不能够回答,因为我学这个东东时间很长,但一直是徘徊不前,不晓得它到底想干什么。好象在loop表示里,是不需要3+1分解的,因为3+1分解后的联络表象,明显破坏协变性。
联络表象就是企图类似做到一般场论的正则量子化,而loop表象来源于QCD的格点场论办法?wilson圈什么的。
至于为什么微分同胚不变,可能是因为,它这个和乐不是联络沿圈积分就完事了,要把这个积分放在指数exp上,还要做那个场论里经常有的那个大花p的排序。555555……我没有学过场论,全不懂得。
总得说来,这些事情需要时间去弄清楚。在弄清楚之前,我要对它有莫名的崇拜


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发表时间:2005-03-25, 22:58:31  作者资料

No-go

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



琢磨了几下,知道微分同胚不变的wilson圈应是Tr(P exp∮Γ·dx)。这玩意儿可以
表示成各个小段的无穷小乘积,每个小段变换后再Trace是微分同胚不变的。
P什么什么的不过就是dx/dt=Γ(t)x(t)的解,有两种表示:一堆积分的级数或无穷
小乘积。很多场论书上说得不明不白的,其实很好了解。


发表时间:2005-03-27, 23:56:40  作者资料

轩轩

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



yes , good.谢谢。i looked up the paper just now.
what you are saying is the same as gr-qc/9910079.
但是为什么每个小段变换后再Trace是微分同胚不变的,难道说因为trace是一个标量?它在坐标系变换下不变?共形变换是不是微分同胚变换?


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发表时间:2005-03-28, 04:48:20  作者资料

轩轩

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



问了老师 老师说
wilson圈Tr(P exp∮Γ·dx)不是微分同胚不变的,而且是规范不变的.规范不变是因为取了trace,
和乐h=exp∮Γ·dx在规范g下变为g-1hg.相似矩阵取trace不变


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发表时间:2005-03-28, 09:00:05  作者资料

kanex

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



插一句,规范不变不一定要trace,只是trace最简单而已,所以说服力其实是不足的


江畔何人初见月`江月何年初照人`


发表时间:2005-03-28, 11:27:40  作者资料

No-go

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



Tr(P exp∮Γ·dx)=Tr Π (I+Γ·dx).

规范变换和微分同胚形式上是一样的,一个作用在旋量上,另一个在坐标上。
这样就用U(x)来代替partial x prime over partial x。可以看到:
U(x+dx)(I+Γ·dx)U^{-1}(x)=I+Γ'·dx 展开成dx的一次项后得到的Γ到Γ'的变
换就是联络的微分同胚变换(两项和),即这两种联络的变换形式等价。把每一小段
的尾上和下一段头上的U(x)相消,剩下起点的U(x)和绕一圈回来同一点的U(x)^{-1}在
Trace后放在一起变单位矩阵,可看到这个微分同胚不变。
把x,Γ一起作微分同胚后方程dx/dt=Γ(t)x(t)形式不变,也是一种证明,但没有
上面的形像。
这些玩意儿不具体写一下很难看出是咋回事。


发表时间:2005-03-28, 12:41:40  作者资料

No-go

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



非Abelian规范变换必须取Trace,不然就得不到规范不变。


发表时间:2005-03-28, 12:45:00  作者资料

可见光

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



你们讨论的这些问题我是个大外行,只好眼巴巴地看着你们谈笑风生,在一旁干着急。

我记得在格点QCD中好像要涉及到wilson圈,而且它在格点QCD那里扮演很重要的角色,不知这里的所谓wilson圈跟那里的wilson圈在物理概念上是不是一回事?

另外No-Go兄说到“规范变换跟微分同胚(变换)一回事,一个作用于旋量,一个作用在空间坐标...”,意思是,在你们讨论的这个话题里面,规范变换相当于一种特殊的微分同胚变换?

我的感觉是,所有连续对称变换都是一种特殊的微分同胚变换,但反过来则不一定成立,因为微分同胚变换是要求最宽松、最一般的连续对称变换,其他的连续对称变换都是它的特例。


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发表时间:2005-03-28, 21:06:23  作者资料

No-go

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



我想应该就是这种wilson圈,格点QCD里可能用方方正正的圈。

这两种变换在这里仅是形式相同,微分同胚的矩阵partial x prime over partial
x写起来麻烦,所以就用U(x)代替。


发表时间:2005-03-29, 00:00:01  作者资料

星空浩淼

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



形式上完全同构的两个东东,在数学上可以视为同一的,就像群论中的“抽象群”概念一样。


唯有与时间赛跑,方可维持一息尚存


发表时间:2005-03-29, 01:56:06  作者资料

可见光

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



谢谢NO-go 兄!
我刚才重新看了各位的帖子,原来轩哥在上面已经提到与格点QCD里的联系。

loop引力好像就是基于时空离散化假设,引入面积算府什么的,所以跟格点QCD里的一些理论方法有关联,本是顺理成章的事情。

时空离散化之后,原来连续时空量子场论中的一些物理量和积分公式什么的,这个时候要换成时空离散化之后的新表达形式(它们在时空由离散取连续极限下,会还原连续时的形式),所以wilson圈应该就是时空离散化之后的产物(与路径积分或作用量积分有关?我这会儿没有去看格点QCD,只有胡猜)。

关于NO-go 兄的问题:
“这个wilson圈积分号内是否为Γ·dx,即联络的1-form? 但联络在微分同胚的变换下会多一项,最关键的是圈内的面积不可能在微分同胚下不变,那样wilson圈怎会
微分同胚不变?能不能较详细地解释一下?这两种表象应是等价的,说不定从wilson圈
还能看到些新东西。”

我觉得为了便于理解,不妨把联络简单看作电磁规范势,那么按照轩哥说的,那个wilson圈(的确对应联络的1-form的积分)不过就是通过某个面积的磁通量而已,即“曲率通量”,这个磁通量的确在规范变换下是不变的,应该也是微分同胚变换下不变的。即使曲率和面积分别都不是变换不变的,这并不意味着通量也不是不变的。

我不知道这里的规范变换不变性跟微分同胚不变性是不是同一个东西的不同说法。比如这里规范变换不变性看成是主丛上的概念,而微分同胚不变性看作与之对应的伴丛上的概念?


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发表时间:2005-03-29, 06:30:33  作者资料

轩轩

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



diff is the spacetime symmetry.
gauge is the internal symmetry


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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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发表时间:2005-03-29, 08:12:33  作者资料

可见光

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



如果两个微分同胚的流形专指时空流形,则可以这样说。

但流形泛指一切局部欧且符合相关定义的几何体,也包括内部空间、群参数空间等这类抽象空间(后者就是群流形)。规范变换群所对应的群流形,也可作为纤维形成主丛。

底空间和纤维空间也是相对概念。例如底空间也可以作为另一种情况下的纤维空间。


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发表时间:2005-03-29, 08:56:07  作者资料

No-go

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



可可,如把联络简单看作电磁规范势,对应联络的1-form的积分作“曲率通量”,应
注意这一点:曲率的计算公式中有两个部分,联络的偏微分之差加上联络分量相乘
后的差。如只将这个1-form用stokes定理变面积积分后就没有第二部分的贡献,不
会是“曲率通量”。
这其实就是Abelian和非Abelian两种不同情况的区别。象AB效应中用的相因子为exp(…
),这里是Pexp(…),有了这个P结果就有本质的区别。前者展开后每项是1-form
积分的n次除以n!,后者则为n个一环套一环的积分。Pexp(…)不过是表示这种解的
记号,和exp(…)仅是结构有点相似而已。


发表时间:2005-03-29, 16:06:29  作者资料

轩轩

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



Pexp(…) 这个东东我到现在还是不清楚
得好好看书了

主丛之间的map可以看成规范变换吗???这个应该要附加别的条件或者根本不是。得仔细看看。

规范变换map: M——>su(2)
是一个群取值的函数


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(2004-06-01 13:58:27) 轩轩
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发表时间:2005-03-29, 22:04:05  作者资料

可见光

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



NO-go兄,我本是外行,只是有疑问时顺便请教一下,如果有分歧,则以你们的为准。

我拿电磁规范势作为简单例子,是为了提供一种理解方式,避免空对空。但正如你所说,Abelian和非Abelian两种情况有本质分别,所以这个例子可能失之简单。当取作电磁规范势时,绕封闭圆圈线积分对应通过这个线圈所围面积的磁通量(磁场与面积矢量的内积)。磁场作为电磁场张量的分量,所以也是曲率张量的分量,因为此时扮演曲率张量角色的正是电磁场张量。

其他的我因为外行,所以说不上来。另外,规范变换群作用的空间(例如Dirac旋量空间)是主丛上的截面。主丛是以规范变换群的群流形作为纤维时的纤维丛空间。我前阵子学的一点微分几何现在可能忘了不少,我记得以规范变换群的表示空间作为纤维时,就得到主丛的伴丛。


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发表时间:2005-03-30, 06:41:00  作者资料

No-go

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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



Pexp(…) 这个东东其实就是前面提到的变系数微分方程的解。我是从一本数学书(可
惜忘了书名)看到它的两种表示,很清楚。但很多场论书上都讲得不明不白的。纤维
丛我不用到,只晓得它的一些基本概念。我想只用Riemann几何中的曲率公式即可了
解咱们感兴趣的。

拿电磁规范势作为简单例子在Abelian情形下是完全对的。如果将Γ看作矩阵(3个指
标中的两个为行和列分量,剩下的一个相当与不同时空方向的A_{\mu}(规范势)的\mu,
就得到非Abelia对应。这里就要用矩阵和非Abelia曲率(类似场强张量F或几何上的
R)


发表时间:2005-03-30, 13:34:38  作者资料

zzzwp917

发表文章数: 27
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Re: 如何构造loop量子引力里的state,看这个



我刚学圈引力,请问,阿什台卡他们是如何证明圈态是满足微分同胚不变的。(于结理论有关么?)。你们有没有自旋结网圈公式的计算方面的资料,(我在求体积面积算苻本征值时遇到麻烦)。如果各位有相关资料请发到zzzwp917◎tom.com,谢谢了


发表时间:2005-04-08, 05:46:47  作者资料