权权
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最近完成的一件事
最近follow了一遍二维Ising模型的严格解，很惭愧，真是花了不少时间，两个周末吧，仅仅是重复一遍推导而已。
当时手头上有三本书讲了这个内容，StonyBrook的McCoy的《Two dimensional Ising model》， Landau统计物理，和Feynmann的统计物理； McCoy可谓专家，这本书严谨详尽，算是把二维Ising模型做得彻底了，不过权衡再三，还是觉得Landau的解法在直观和严谨之间取得最好的平衡。 三维Ising模型，它的严格解意义已经不是很大，毕竟二维已经能显示相变；不过磁场中的二维Ising模型还是很有意思，真得很想看看理论算出来的磁滞回线是长成什么样子的呢。
像二维Ising模型这样能够从统计力学的第一性原理出发显示相变的模型，真是物理学的珍宝，正是因为有这样的模型，才让我们对统计物理有了信心。说真的，学物理多年来，相变一直是最让我感兴趣的问题，所有关于相变的信息都包含在配分函数里，但麻烦在于取热力学极限之前，必须先完成很恐怖的求和或者积分；而对于任何有限的体系，配分函数又总是解析的，相变怎么也出不来。。。难道取热力学极限和量子态求和（或者相空间积分）这两个操作就不能换一下次序吗？偏偏就是不能。
人类观察到气液相变已经有千万年的历史了吧，我们能说我们理解了这一现象了吗？哪怕多么简单粗糙的模型，要是能从Hamiltonian和统计力学出发，让我理解气体是怎么形成自由表面的，也算不虚此生了。
不忧不惧
| 发表时间：2005-04-30, 13:18:59 |
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卢昌海
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Re: 最近完成的一件事
Lee-Yang相变也是一个很精彩的例子，非常清晰地显示出热力学极限在相变理论中的作用。
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2005-04-30, 17:09:40 |
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小追
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Re: 最近完成的一件事
感觉统计理论还是满粗糙的。学高统的时候，看到这里一个近似那里一个近似，头都大了，都不明白干吗要这么近似，就是为了凑结果，结果对了就OK。好在考试还简单，万幸。
追魂小混子，小混子横扫天下，嘿~！哗~！
| 发表时间：2005-05-01, 00:37:29 |
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No-go
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Re: 最近完成的一件事
"人类观察到气液相变已经有千万年的历史了吧，我们能说我们理解了这一现象了吗？哪怕多么简单粗糙的模型，要是能从Hamiltonian和统计力学出发，让我理解气体是怎么形成自由表面的，也算不虚此生了。 "
深有同感！
| 发表时间：2005-05-01, 00:50:09 |
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权权
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Re: 最近完成的一件事
当初看一维Ising模型的严格解的时候，虽然那很简单，却觉得很有启发性，因为最后有限长的一维Ising chain的配分函数等于transfer matrix的两个本征值的N次方的和（N是格点个数），一取热力学极限，比较小的那个本征值就被扔掉了，而Ising chain的热力学性质完全被比较大的那个本征值决定；
而且无论外磁场和温度取什么值，transfer matrix的两个本征值的大小顺序不变，也就是说大的永远大，小的永远小，小的那个永远要被扔掉，这，也就说明这个体系没有相变；如果在改变温度或外磁场强度的过程中，两个本征值的大小顺序颠倒了，哈哈，那就是相变了，两个本征值正好相等的那个点就是相变点，而这两个不同的相分别对应于两个不同的本征值。
在二维Ising模型里就是这样的，只不过这时，transfer matrix不是二维的了，而是N维了；不过这只是我的猜想，我follow的解法并不是把二维Ising模型拆成一维的链这么做的。
这个想法一度让我觉得很有意思，如果能对transfer matrix适当推广，使得相当广泛的一类体系的配分函数都可以写成一系列本征值的N次方之和的形式，而每一个本征值对应一个热力学相，改变温度、压强、外场强度等参数，使得这一系列本征值的大小顺序发生改变，那就是相变；如果这一系列本证值的大小顺序永远不变，那这个体系就没有相变。这种相变的机制是如此清晰，看似很诱人的样子，不过实在是空中楼阁，我无法想象如何把配分函数在适当的近似下写成我想要的样子。
不忧不惧
| 发表时间：2005-05-01, 20:53:53 |
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