轩轩
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伊辛模型
什么是伊辛模型？是不是自旋与自旋耦合的系统？
它为什么重要？
发现它与单边上的loop量子引力很象。请大家随便谈谈，我想从统计研究loop的半经典分析
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| 发表时间：2005-06-03, 03:29:33 |
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kanex
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Re: 伊辛模型
Ising model原来是固态物理中提出来解释铁磁性的。虽然是非常简单的一个简化模型，然而拥有非常有趣和复杂的动力学性质。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-06-03, 06:24:52 |
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小追
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Re: 伊辛模型
传统的物理总是喜欢从简单到复杂嘛。
Ising模型就是可以从磁性系统抽象出来的一个最简单的一个模型，最重要的是这么简单的模型就可以有相变现象。这正是研究所需要的。
它还有更普遍的应用。比如把自旋的上下换掉，在粒子系统代表粒子和空穴，金融系统里研究买卖，社会系统研究男女等。
但是每个自旋只有两个取向，未免太单调了。现实世界总是丰富多彩的嘛。所以还有更复杂的一些模型来研究，XY模型啦，量子XY模型啦，海森堡链（好象最近很火）啦等等。
追魂小混子，小混子横扫天下，嘿~！哗~！
| 发表时间：2005-06-03, 08:11:20 |
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轩轩
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Re: 伊辛模型
小追
你的意思是有更高自旋的偶合？
或者说任意角动量之间耦合的伊辛模型？
什么时候我去浙江大学，咱们认识一下？
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| 发表时间：2005-06-03, 08:24:10 |
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sage
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Re: 伊辛模型
什么是伊辛模型？是不是自旋与自旋耦合的系统？
它为什么重要？
发现它与单边上的loop量子引力很象。请大家随便谈谈，我想从统计研究loop的半经典分析
study Ising model. it is a very nice toy to play with. There is a book by Polyakov where he spend quite some length talking about ising model. it is very difficult to understand though. Zee's book should have a nice intro to Ising model.
if i may, here is another piece of advice. study everything else, especially quantum field theory, as much as you can before you study loop quantum gravity. there is a good reason only a handful of people in the world worry about it.
| 发表时间：2005-06-04, 02:56:22 |
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权权
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Re: 伊辛模型
我来讲讲我熟悉的一部分内容:
Ising模型好像是在1925年由Ising提出的, 这个模型的完整的Hamiltonian包括---格点上的1/2自旋(qubit)的最近邻相互作用(耦合常数J), 和均匀外磁场的相互作用(磁场强度H)---两部分. 因为Hamiltonian中的任意两项都对易, 这个模型实质上是个经典模型.
Ising提出这个模型是为了解释铁磁相变, 他用combinatory method(组合学解法)很漂亮地给出了一维的严格解. 当然, 一维Ising模型不显示相变; 然后, Ising尝试去解二维的情况, 他没能找到二维的严格解, 于是他做了近似, 近似的结果是二维Ising模型也不能显示相变, 这使得Ising得到了错误的结论: Ising模型不是一个恰当的铁磁模型.
顺便一提: 这是个美丽的错误. 因为Heisenberg读到了Ising的论文, 并且相信了Ising的结论, 认为Ising模型不能解释铁磁相变, 于是Heisenberg提出了一个更加sophisticated的模型: Heisenberg模型.
然后大概是1930' 年代, 在没有二维解析解的情况下, Wannier和Krammer找到了二维Ising模型的相变点, 他们的方法也是组合学的, 虽然能够找到相变点, 却不能给出自由能的解析式.
突破性的进步是在1944由L. Onsager做出的, Onsager用李群的方法给出了二维Ising模型在热力学极限下自由能的解析表达式, 这是一种代数解法, 相当复杂; 幸亏不久之后, 1949年, B. Kaufman简化了Onsager的解法, 其解法的精神是把2^N维的transfer matrix分解为一系列2维矩阵的直乘, 但这种分解只有在零磁场的情况下才得以实现. transfer matrix的最大的本征值决定了体系的热力学性质. 我的个人感觉是, Kaufman的简化版的代数解法还是可以接受的, 比较容易follow. 这种解法的参考文献:
[1] B. Kaufman, Phys. Rev 76, 1232, 1949
[2] 李政道 <统计力学>
与代数解法方向不同的主要的另一种方法是组合学解法, 在这个方向上跨出第一步的是Kac和Ward, 他们在1952年给出了组合学解法, 这种解法把配分函数中的态求和问题归结为二维点阵上的封闭图的求和, 求和过程中用到了一个拓扑学的结论--旋转指标定理. 这种解法比代数解法显得简单，可以在比较短的篇幅内完成。 然后1946年，俄国人N. V. Vdovichenko进一步简化了组合学解法，把单个封闭圈的求和归结为点阵上的随机行走问题，这是一个Markovian问题，有固定的解法。 因为组合学解法比代数解法显得简单，现在大多数教科书都把它作为标准解法. 这种解法的参考文献：
[3] Landau <Statistical Physics--Part I>
[4] Feynman <Statistical Mechanics>
找到二维Ising模型在热力学极限下的自由能的解析式, 从而定出singular point, 即相变点, 可以看到在相变点出比热呈对数形式发散. 另一个重要的结论是spontaneous magnetization, 在零磁场的情况下, 当温度降低至相变点以下, 磁化率会开始取非零值. 这一结论很早就由Onsager给出了, 但第一个推导是由杨振宁在1950' 给出的; 很奇怪得是为什么Onsager没有publish他的结论. 这一推导颇不简单, 我没有follow, 大致方法是先找出自旋对关联函数的解析式, 然后令两自旋的距离趋于无穷大, 并把这个结果等同于磁化率的平方. spontaneous magnetization的计算的参考文献:
[5] McCoy and T. T. Wu <Two Dimensional Ising Model>
另外, 与Ising模型有关的一个有趣的东西是李杨格点气体模型, 把自旋向下和自旋向上等同于格点的占据态和空态, 可以建立Ising模型和格点气体模型的配分函数数学上的等价性, 格点气体的易逸度, 压强, 密度都可以用Ising模型的自由能和耦合常数, 磁场强度等参数表示出来. 大致关系是(我有可能记错^_^)
density=1/2(1-M), pressure=-J-H-F
这里M是磁化率, J是耦合常数, H是磁场强度, F是自由能per site. 能得到的结论就是一维格点气体不能显示气液相变. 二维格点气体可以显示气液相变, 等温线中transition region中水平的那段正好对应于二维Ising模型中磁滞回线在零磁场出的不连续点.
很遗憾的是, 因为非零磁场下的Ising模型没有解析解, 所以相应的二维格点气体也没有完整的解析解. 完整的等温线无法给出. 事实上, 自零磁场下的二维Ising模型的解析解被找到了以后, 已经过了半个世纪了, 寻找非零磁场的解析解的尝试都失败了. 唯一值得一提的进展是R. B. Griffith等人证明了一系列的不等式, 可以定性地刻画磁化率关于外磁场强度的变化关系, 主要结论是
(1) M(-H)=-M(H)
(2) M关于H的一阶导数>0 (这一结论可以从热力学直接给出)
(3) 当H>0, M关于H的二阶导数<0; 当H<0, M关于H的二阶导数>0
其实,有了这些不等式, 结合零磁场时磁化率关于温度的变化关系(spontaneous magnetization), 磁滞回线的大致形状已经可以画出来了, 把磁滞回线逆时针方向转90度, 再稍微平移一下, 就可以看出相应的格点气体的等温线的大致形状.
我们应该感谢这些给了上面提到的那些人, 是他们给了我们对统计物理的信心! 相变现象, 无论是铁磁相变还是气液相变, 都可以从统计物理的第一性原理推出来.
不忧不惧
| 发表时间：2005-06-04, 18:11:58 |
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轩轩
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Re: 伊辛模型
这个模型的完整的Hamiltonian包括---格点上的1/2自旋(qubit)的最近邻相互作用(耦合常数J), 和均匀外磁场的相互作用(磁场强度H)---两部分
也就是说必须要有外界磁场拉？？？
这个模型和固体物理的spin wave有没有联系？
感谢sage和权权 尤其是权权 我虽然看不懂 但觉得统计物理很有意思
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| 发表时间：2005-06-04, 21:47:22 |
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权权
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Re: 伊辛模型
有没有磁场都可以；现有的二维Ising模型的解析解就是没有磁场情况下的解。
spin wave 我不懂，不敢乱说，呵呵。
不忧不惧
| 发表时间：2005-06-05, 00:42:05 |
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小追
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Re: 伊辛模型
(小追
你的意思是有更高自旋的偶合？
或者说任意角动量之间耦合的伊辛模型？
什么时候我去浙江大学，咱们认识一下？ )
的确有些模型是讲更高自旋的耦合，前几天还看到一篇文章被放到我桌子上（显然有做凝聚态理论的人使用过我的桌子，因为我经常不去办公室，呵呵），名字就叫什么什么里的spin-3/2 Ising model，也可以有连续变量之间的耦合，比如XY模型就是自旋可以取所有方向。
类似的模型很多。每提出一个模型，都会带来一些难受的数学困难。我个人猜测大概的原因是粒子粒子相互作用，系统是不可积的，所以也不可能去严格求解。只有在一些极端的情况来做研究。比如很早以前不成功的平均场近似，把粒子之间的相互作用用平均场来代替，后来更精确的实验告诉我们，它算出来的指数行为只是近似正确的（有趣的是，平均场在四维以上的空间才是正确的理论）。相变点附近的（这时关联长度无穷大，所以才好用）重正化方法才可以算出更精确的结果，平均场方法就黯然失色了。
似乎只有个别模型的在一维和二维下才可以严格求解。剩下的都只有做各种各样的近似了，非量子的模型用数值模拟来做似乎更好。
我个人是不喜欢统计物理的，哈，另外这些模型主要是研究它们的相变行为，你做loop，我不确定这是否是你需要的呢，而且各种各样的近似实在太多，几乎没有可以严格求解的模型，我不认为这里面有成熟的理论和方法可以用来学习和借鉴。重正化群方法固然好，但是据说动量空间重正化群方法只有在极端情况下才学得会，比如你说学不会就毕不了业等等，常人是不要去指望了。
你有机会来浙大见下也是好的，不过你见到我必然会很失望。因为我水平真是太弱弱了，基本上是啥都不懂，豁豁。
追魂小混子，小混子横扫天下，嘿~！哗~！
| 发表时间：2005-06-05, 08:28:12 |
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可见光
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Re: 伊辛模型
权权兄的好回帖，我都可以拿来做入门教材了，哈哈！
以前舅舅跟我开玩笑：“辛几何也好，伊辛模型也好，就是指让人学的比较辛苦的一种东西，翻译的人真是体谅人心啊”。
有些教材讲伊辛模型时，不讲目的和来龙去脉，直接就给出拉氏量，然后埋没在大量的复杂推导和演算技巧中，让人枯燥无味，又不知道它到底是干吗使的。
生活充满七彩阳光，是为可见光
宇宙无限，爱心永恒！
| 发表时间：2005-06-06, 01:21:33 |
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yinzhangqi
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Re: 伊辛模型
很感谢权权的介绍。我读了许多跟Ising，Heisenberg模型有关的论文，对其背景始终不是很清楚，权权的这篇概述写得非常清楚。
我想补充一点，一维含外磁场的Ising模型，XY模型，XYZ模型等，是有办法做出解析解的。利用Jordan-Wigner变换，把相互作用的自旋系统映射到一个相互作用的费米子系统，然后可以找到其解析解。对Jordan-Wigner变换，可以参考《Quantum Many-Particle Systems》，作者 J. W. Negele 和 H. Orland，或者参考《Quantum Field Theory in Condensed Matter Physics》，作者A. M. Tsvelik。另外，我发现Michael Nielsen在他的个人日志上也在连载专门介绍JW变换。现在已经写了两篇，网址如下：http://www.qinfo.org/people/nielsen/blog/
我的blog:http://gorilla.blogsome.com/
| 发表时间：2005-06-08, 01:04:09 |
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权权
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Re: 伊辛模型
学了Ising模型以后，我也一直很感兴趣李杨的格点气体模型和Jordan-Wigner变换的关系；因为李杨把Ising模型映射到格点气体模型（而且是有硬排斥芯的格点气体，所以不能占据同一格点），直观上感觉很类似于Jordan-Wigner变换得到的费米子体系，因为Pauli不相容原理，费米子恰好能够自动满足不占据同一格点的要求。
不过现在看来，Jordan-Wigner变换只适用于一维体系，把它应用到二维体系会出现一些麻烦，由变换表达式里的那个负号引起的一些麻烦。
不忧不惧
| 发表时间：2005-06-08, 11:48:13 |
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