不爱吱声
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谈谈数学之用----探讨数学与自然科学的关系
下面一篇文章是自己与朋友讨论数学与科学的关系的时候，自己的一些肤浅看法。如有不当之处，真心希望大家指出。
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数学（包括逻辑学，几何学等）不能算是科学。
数学是科学的工具，数学本身不具有可证伪性，所以数学不是科学。数学本身也并不具有描述自然的功能，描述自然是科学的事情，而科学是使用数学作为对世界进行解释描述的工具。这可以算是数学与科学的关系。
我们大家都使用过工具，我们干不同的活要使用不同的工具。比如说，我们希望将钉子定到木头里，那么锤子就是一种很好的工具，如果你使用改锥效果就不好。同样的道理，当数学被用于科学的时候，也存在一个适用性的问题。比如说，大家经常提到欧式几何和非欧式几何。欧式几何的第五公设说：两平行线永不相交；而在非欧几何中，此公设不再为真。那么，到底谁对谁错呢？实际上，他们在数学上来讲都正确。但当我们想在科学中使用两种几何的时候，就分出“是否恰当”了（我还是倾向使用适用性这个词）。在牛顿力学中，我们使用欧式几何描述空间，因为欧式几何在这里更方便；但在广义相对论中，我们就应该使用非欧几何（黎曼几何）来描述时空才更容易一些。在广义相对论中，物理本质是几何，因为这里面重力已经与时空弯曲的曲率直接联系起来了，换句话说，使用黎曼几何的好处是，我们可以让理论更简洁更本质，这是我提到的，科学最终追求的是简洁普适。这里我强调的是，数学是科学的工具，工具本身没有对错，你用错了，那是你不会用。这样看来，使用数学根本不存在信仰问题，不是说你认为鸥氏几何正确才使用，或者你认为非欧几何正确才使用，而是到底哪个管用，哪个顺手.
在科技史上就有一个有意思的现象，数学作为科学的工具的建立往往超前于自然科学的发展。比如说，黎曼几何正是早于相对论多年就已经建立起来，然后被附之高阁，大家不知道如何使用，等到相对论才体现出黎曼几何的用处来。这个与真正的生产工具如锤子的产生稍有所不同。但实际上这也体现于数学是工具的特性，就是工具可以是“当前无用”的，但不代表“永远无用”。你现在想钉钉子，改锥没用，但你不妨把改锥放到一边，等你拧螺钉的时候，改锥还是用得上的。这也正是数学家工作的真正意义所在。他丰富了自然科学可使用的工具宝库。
此外，数学对于科学来说具有工具的特性还可以表现在：做同样的事情，可以使用完全不同的工具。比如说，你钉钉子使用锤子当然是很管用，但你也不妨使用钳子，虽然钳子并不是设计来“砸”物体的，但钳子的重量大，也可以用来“砸”物体得到锤子的效果。在量子力学的发展中也正体现出这一点来。大家知道，在波尔建立原子量子模型以后，德国一位物理学家海森伯，直接从光谱的频率和强度的经验资料出发，在1925年提出了矩阵量子力学。而另外有一位差不多同时，或者稍晚一点，奥地利的物理学家薛定諤，他改进了德布罗意基于波粒二象性的物质波理论，提出了波动量子力学。矩阵量子力学中使用矩阵数学作为描述量子力学的工具，而波动量子力学中则采用更为大家所熟悉的微分方程作为数学工具。美国的物理学家费曼，他的研究不仅证明了矩阵和波动两种量子力学的数学的等价性，而且又发展出了第三个等价的方法，就路径积分量子力学，从这里我们也可以看到，对一个物理现象的数学描述，他的工具与方法，也并不完全都是唯一的，至少在发展的过程当中，它也可以是多样性的。
我们提数学理论，更多的是提他是否严密，是否自恰，而很少提他是否真伪。
| 发表时间：2005-06-09, 09:54:20 |
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sage
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Re: 谈谈数学之用----探讨数学与自然科学的关系
I agree.
| 发表时间：2005-06-09, 21:57:40 |
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雪云居
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Re: 谈谈数学之用----探讨数学与自然科学的关系
数学是科学的工具，而数学本身不是科学。而科学通过实验来证明自己的正确，可见实践是最终的，而数学的这种特性也是很有趣的。说明数学也是通过实验来证实的。我觉得数学是界于科学和哲学中间的一种东西。
数学和物理学的精确与深邃，历史的变幻，唐诗宋词的典雅，中国古代哲人的睿智，都是我内心渴望追求的。
知无可奈何而安之若素，德之至也！
| 发表时间：2005-06-09, 22:29:59 |
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星空浩淼
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Re: 谈谈数学之用----探讨数学与自然科学的关系
I disagree.
恐怕也没有几个数学家会同意。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-06-10, 08:06:18 |
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散热片
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Re: 谈谈数学之用----探讨数学与自然科学的关系
我以为：其实严格说来，数学不是自然科学，只有自然科学才要求具有可证伪性。而其他很多所谓的科学，比如：考古，管理之类的就没有这种特点，甚至我觉得只有自然科学才是真正的科学，从这个意义上说数学不是科学也对，而数学应该是和艺术和哲学一类的。
| 发表时间：2005-06-10, 10:12:46 |
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追忆
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Re: 谈谈数学之用----探讨数学与自然科学的关系
:;"我以为：其实严格说来，数学不是自然科学，只有自然科学才要求具有可证伪性。"
but mathematics is already the truth, it very different from history......and so on
it also make us know the universe and help us to desolve a lot of problems in practise!
the most important thing is that nature science can not be developed independently without mathematics,with the science developing , these become more and more obvious!!
| 发表时间：2005-06-10, 22:22:50 |
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atommann
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Re: 谈谈数学之用----探讨数学与自然科学的关系
略为回想一下几何学和算术的起源：
几何：起源土于地测量和分配，把不重要的属性都去掉，抽象出点，线，面（其实它们在现实中不存在，但是这样更方便进行思维）。
算术：不管是一蓝苹果，一群羊，一堆石子，去掉它们的物理属性，抽象出数字来研究。
这样去掉事物物理方面的属性，让人想到很多的问题。
欧氏几何->射影几何(它和非欧几何是相通的)->黎曼几何->拓扑学
这个历程，让我感到这些几何正是在越来越多地去掉更多的“属性”，从而可以进行更广泛、更自由的研究。
比如现今的拓扑学，但是我想，在以后，还会出现比拓扑学更“强”的几何学。（或许，它会去年拓扑学的一些性质）
数学的基本概念非常简单，并注重逻辑严密，一步步进展，保证了在发展的过程中不会出差错。
有些数学家（代表大概有 Hilbert，记不大清了）认为，数学可以脱离它的起源，它本身就能得到发展。
科学史上，从数学和物理几次殊途同归（我知道的大概有圆锥曲线，黎曼几何，希尔伯特空间）这件事情上看来，数学早已为物理准备好了工具。这也许说明，数学本身并没有偏离，它们都在朝着同一个方向发展。数学发展着，过一段时间又会回去问候一下她的母亲。
黎曼在他1854年的论文《论作为几何基础之假设》，提到几何是要用实践来检验的。研究几何本身就是在研究物理。（大意如此，记不清了，这个有些象可见光mm在一个贴子里提到的论点）
物理几何是一家，共同携手到天涯
以陈省身先生的诗来结束我的回复。
我惟一知道的，就是我一无所知。
—[古希腊]苏格拉底
| 发表时间：2005-06-10, 23:47:33 |
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不爱吱声
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很感谢各位的回复
雪云居兄说：“数学也是通过实验来证实的。”这个我有不同的看法，我觉得数学是可以脱离与自然(或者实验）来独立存在的。数学是对自然的一种抽象，但归根结底是人类思维的结果，所以只要这种思维符合“逻辑”就可以了，这个我是根据非欧几何学的发展历史来得出的结论。因为仅仅凭借推翻第五公设就可以建立一个新的几何学，尽管后来发展证明，非欧几何学与自然（物理）有某种内在关系，但其建立的时候，是脱离了自然的，而更进一步，我认为在得到实验验证之前，非欧几何已经可以算是数学了。
星空浩淼兄，能否具体谈谈从数学家的角度，如何看待数学与自然科学的关系?
散热片兄说：“只有自然科学才是真正的科学”，我也如此以为。
atommann兄再次提到“黎曼在他1854年的论文《论作为几何基础之假设》，提到几何是要用实践来检验的。研究几何本身就是在研究物理。”是不是意味着，没有经过实践检验的几何不能算是真正的几何？
| 发表时间：2005-06-11, 00:36:06 |
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星空浩淼
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Re: 谈谈数学之用----探讨数学与自然科学的关系
这个一言难尽
我觉得不应该停留于数学的表达形式、数学语言本身。
一个物理结论得到实验验证的同时，数学真理也同时得到验证，因为那些结论是用数学来得到的。
一般看法认为，一个结论最后要诉之于实验验证之后，才能判断是否是科学。但这不是科学的定义，只是我们是否抓到真理的判据。科学真理本身，不是因为你验不验证而决定它是否存在，正如你是否存在，不是凭我是否看见你，我没有看见你的时候，你一样存在。
有些理论看来没有错，结果就是与实验不符。所以人们把实验检验跟真理定义混同起来。其实那些跟实验不符的理论，必然在某个地方是错的，只是研究的人暂时不知道而已，想当然地以为他的理论完美无缺。完全无懈可击的理论，必定与实验相符，必定是真理。实验要求，与其说是联系到真理的定义，不如说是反映人类认识真理的能力局限性。事实上，人类的实验能力也许有一个极限，而真理却可能是无穷无尽的。
如果你多看一些数学基础的书（“元数学”以及数理逻辑，尤其是其中的“四论”），多看一些历史上诸位科学大师（不仅仅是数学家）们的思想言论，看看他们是怎么说的，你就不会这么认为，我这里一言难尽，决不是繁星几个帖子就能说服你们的，也许是几本书才可能。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-06-11, 06:45:08 |
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雪云居
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Re: 谈谈数学之用----探讨数学与自然科学的关系
我前面说的数学也是通过实验验证，是从数学的一些物理属性是通过物理学，当然还有其他学科，间接证实的这个角度说的。当然，自然科学发展用到的数学与现代整个数学相比来说，才是一部分，所以也是不完整的。
总的说来，真理是外在自然在主观上的反映，真理的主体属性是主观性，所以要通过实验来验证。
要区分真理和外在自然，主观认识是必须通过实验来验证的，验证了的正确的东西叫真理。你不知道我的存在，是因为“我的存在”这个外在存在还没进入你的认识，即，你还没发现“我的存在”这个真理。
所以，外在自然=已经发现的真理+未发现的自然存在。
数学和物理学的精确与深邃，历史的变幻，唐诗宋词的典雅，中国古代哲人的睿智，都是我内心渴望追求的。
知无可奈何而安之若素，德之至也！
| 发表时间：2005-06-12, 23:13:00 |
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atommann
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Re: 谈谈数学之用----探讨数学与自然科学的关系
我在《现代世界中的数学》一书中，看到有 Dirac 和 Freeman Dyson 的两篇这方面的好文章。讲得相当好！
我惟一知道的，就是我一无所知。
—[古希腊]苏格拉底
| 发表时间：2005-06-12, 23:31:34 |
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Arithmetic