快刀浪子
发表文章数: 1200
武功等级: 天山折梅手
(第五重)
内力值: 546/546
对数学的一点看法（兼回星空兄的证明之证明帖子）
1、数学来源于经验，它是对现实世界的数量与形状的研究。如果我们在研究几何时，测量一个边长为3、4、5的三角形，发现它不是一个直角三角形，可以认为是勾股定理错了。但更普遍地看，数学仅是一种形式系统，是人类自由自在的创造。我们对其进行经验解释后，有一些系统是对现实世界的数量和形状的反映。而另一些不是，但我们只能说那不是合适的解释，而不是数学错了。
2、自洽对数学来说是最重要的。上世纪初，在集合论里面出现了悖论。后来通过施加某些限制而避免了悖论，但怎么才能保证不出现新的悖论呢？希尔伯特提出了著名的希尔伯特纲领。先把所有的数学都形式化（形式化从根本上说是抽去经验意义，进一步明确公理和推理规则，使我们更容易发现问题），然后建立一种研究这些形式系统的理论，也就是证明论（即对证明的证明的研究）。证明论的任务就是证明各数学分支的无矛盾性，而在证明论里只准使用有穷的证明方法（这被认为是更可靠的方法）。
即使证明论的目标实现，我们也不能说是一劳永逸地解决了问题，因为我们如何知道证明论是正确的呢？它也需要证明，也就是证明的证明的证明，这样会导致无穷倒退。实际上我们并不能达到一个绝对可靠的基础。
我们能做到的只是排除已经发现的悖论，当发现问题后，就想办法解决原来的问题，使其更加可靠。事实上希尔伯特纲领的目标并没有完全实现，但现在的数学确实更可靠了，并没有出现新的自相矛盾的问题。但我们并不知道这一类问题以后还会不会出现。我们并不需要一个理性世界在背后保证数学的正确性，这样的保证有什么意义呢？
3、“1个苹果＋1个苹果＝2个苹果”并不是对1+1＝2的支持，正如“1滴水＋1滴水＝1滴水”不是对1＋1＝2的反驳一样
冷风如刀，以大地为砧板，视众生为鱼肉。
万里飞雪，将苍穹作洪炉，熔万物为白银。
| 发表时间：2005-06-14, 02:11:20 |
 作者资料
|
可见光
发表文章数: 421
武功等级: 拈花指
(第八重)
内力值: 405/405
Re: 对数学的一点看法（兼回星空兄的证明之证明帖子）
我跟舅舅将有相当一段时间来不了，这次我帮他回答一下，至少部分能代表他:-)
“数学来源于经验”
应该说，数学开始时起源于经验，到后来则是进入相对独立的发展阶段，不再直接依赖于经验，这体现人类理性认识真理的能力。
“我们对其进行经验解释后，有一些系统是对现实世界的数量和形状的反映。而另一些不是，但我们只能说那不是合适的解释，而不是数学错了。”
讲得好！我觉得这反映数学比物理更有一般性，数学真理属于“必然真理”，而物理真理属于前者的特例之一，属于“偶然真理”，即一个数学真理在一个宇宙中找不到物理原型，但可能会在另外一个宇宙中找到。
“2、自洽对数学来说是最重要的...”
整个第二点，我想你跟我舅舅没有分歧。不过需要提醒的是，正如你所知，由于歌德尔定理的存在，完备性和一致性（即无矛盾性）不能同时满足，使得人们原来的一些“一劳永逸”的想法落空。
3、“1个苹果＋1个苹果＝2个苹果”并不是对1+1＝2的支持，正如“1滴水＋1滴水＝1滴水”不是对1＋1＝2的反驳一样
从量的角度看，“1滴水＋1滴水＝1滴水”不属于数学内容，因为它是模糊的日常生活说法，毕竟这应该是“1滴水＋1滴水＝1大滴水”，你前面说过，数学来源于经验，而1+1＝2正是来自于无数个类似于“1个苹果＋1个苹果＝2个苹果”这样的经验事实，是从这样的经验中提炼抽象出来的。
如果“1个苹果＋1个苹果＝2个苹果”并不是对1+1＝2的支持，那么所有物理实验都可以说不是对物理结论的检验。
总之除了第三点，其他都是意见一致的。
生活充满七彩阳光，是为可见光
宇宙无限，爱心永恒！
| 发表时间：2005-06-15, 02:54:41 |
作者资料
|
快刀浪子
发表文章数: 1200
武功等级: 天山折梅手
(第五重)
内力值: 546/546
Re: 对数学的一点看法（兼回星空兄的证明之证明帖子）
这第3点本来是第1点最后的一句话，举例说明当把数学仅仅看作是一种形式的时候，它是不受经验检验的。
冷风如刀，以大地为砧板，视众生为鱼肉。
万里飞雪，将苍穹作洪炉，熔万物为白银。
| 发表时间：2005-06-17, 00:04:40 |
作者资料
|