可见光
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我来详细反驳不爱吱声兄及其支持者们:-)
舅舅的反驳虽然有力，但不是直接针对逐条进行，不是对症下药，所以我来担此重任。
“数学是科学的工具，数学本身不具有可证伪性，所以数学不是科学。”
事实上，所有真理都具有不可证伪性（否则就不是真理），因此照你这么说，这世上就没有科学了
“数学本身也并不具有描述自然的功能，描述自然是科学的事情，而科学是使用数学作为对世界进行解释描述的工具。这可以算是数学与科学的关系。”
这个我是严重不同意。其道理我舅舅在“证明之证明”中部分谈到，而我要说的是，数学本身不但具有描述自然的功能，而且这种描述有时候是直接的，跟物理一样。物理怎么个描述自然？很多时候还不是要借助于数学！数学是对这个世界进行“量”和“关系”的描述。
“同样的道理，当数学被用于科学的时候，也存在一个适用性的问题。比如说，大家经常提到欧式几何和非欧式几何。”
要说适用性的问题，在物理学那里恐怕表现得更为明显！例如Ferni-Dirac统计规律适用于半整数自旋粒子，而Bose-Einstein统计规律只适用于整数自旋粒子。相比之下，数学比物理更具有一般性。而且用欧氏几何和非欧几何来作为例子，既说明几何的适用性，更说明了物理的多样性。有些物理学家认为，几何属于物理学。
“在科技史上就有一个有意思的现象，数学作为科学的工具的建立往往超前于自然科学的发展。”
这个进一步体现了数学是一门相对独立的科学。
“对一个物理现象的数学描述，他的工具与方法，也并不完全都是唯一的，至少在发展的过程当中，它也可以是多样性的。”
这个不能说明什么问题，同一物理本质的东西，也会有许多不同的表现形式；同一个物理现象，也会有多种不同角度的物理解释——正如Feynman所说的。量子力学的不同表述，如正则量子化和路径积分，不仅仅是数学处理方法不同，其背后的物理理解也不同，并且不同角度的物理理解在前做指导，而不同的数学处理方法是为之服务的。物理学家不是盲目地用不同数学工具来“撞大运”，而是先有物理的idea在先作指导。
“我们提数学理论，更多的是提他是否严密，是否自恰，而很少提他是否真伪。”
数学的真伪是间接体现的。如果一个物理理论是用错误的数学工具来获得的，那么它的结论必然不会正确；反之，当一个物理理论得到实验验证，那么意味着得到该理论所用到的数学也是正确的。
再说，在诉诸实验之前，是否自恰也是一个物理理论的唯一逻辑检验标准。
其他的道理，舅舅都说了，可以作为本贴的有力补充:-).
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| 发表时间：2005-06-15, 03:43:23 |
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sage
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Re: 我来详细反驳不爱吱声兄及其支持者们:-)
数学是科学的工具，数学本身不具有可证伪性，所以数学不是科学。”
事实上，所有真理都具有不可证伪性（否则就不是真理），因此照你这么说，这世上就没有科学了
I am not sure if I am counted as one of his supporters.
what you said is not the point ot falsifiability. Truth is truth. However, math and physics are looking for different kinds of truth. for math, anything which is logically consistent will be OK.
for physics, it is looking for not just something logically consistent. it is looking for what the nature is. In the process of looking for such a description, we will have many theories. Each of them will be mathematically OK and consistent. However, mathematical consistency does not necessarily give us correct physics theory. Writing down a physics theory, we will always have a set of experimental test, i.e. asking nature if this is right, which could falsify it. in this sense, we say it is falsifiable.
notice such a falsifiability does not exist for math. once you prove a theorem, it is truth under the assumptions you made, period. Of course, this is not to say math is somehow inferior to physics. this is to day math is asking a different kind of questions.
whether one should call math a science is not important. it could be called even a much superior science.... it is just a name. The point is that it is different from physics. it is asking different questions. it does not have the same kind of falsifiability.
| 发表时间：2005-06-15, 09:10:21 |
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追忆
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Re: 我来详细反驳不爱吱声兄及其支持者们:-)
::“数学是科学的工具，数学本身不具有可证伪性，所以数学不是科学。”
::“事实上，所有真理都具有不可证伪性（否则就不是真理），因此照你这么说，这世上就没有科学了”
我想不爱吱声兄所说的“数学不可证伪性”是指我们对待数学真理不能像对待物理一样用实验去检验它，而并非意思‘数学不可能用其他的方式得到证伪’，数学本来就是真理，有他自身的自洽性，所以依旧具有科学性（我想这里所说的科学性应该同sage兄所说的那个概念是一样的，不能等同物理学）。
可MM所说的“所有真理都有不可证伪性（否则就不是真理）”是指一们科学做为一种真理他至少所具有的的条件！这是一切真理所具有的共性！！
两者并不矛盾，说的不是一回事！
| 发表时间：2005-06-15, 18:35:24 |
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快刀浪子
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Re: 我来详细反驳不爱吱声兄及其支持者们:-)
把数学看作是一种工具主要出自两个原因：1、数学是有用的;2、数学不能被证伪。这种观点有一定的道理，但也有不足的地方。主要是忽略了一些问题，比如在以下方面还需要作进一步的思考：
1、算术几何等是从经验中总结出来的，物理可以借助数学来描述解释经验，这些都说明数学和经验有关。那么数学和经验的关系究竟是什么？它为什么能够不接受经验的检验？
2、数学为什么是有用的？我们可以把这看作是一个基本事实，就像公理一样不需要说明，但这并不是最好的做法，因为我们最少可以思考数学的性质（比如自洽性、推理规则等）和它的效果之间的关系
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| 发表时间：2005-06-17, 00:34:09 |
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sage
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Re: 我来详细反驳不爱吱声兄及其支持者们:-)
2、数学为什么是有用的？我们可以把这看作是一个基本事实，就像公理一样不需要说明，但这并不是最好的做法，因为我们最少可以思考数学的性质（比如自洽性、推理规则等）和它的效果之间的关系
very very good point!
Asking why math is useful is a very interesting question.
Let me not get into fancy philosophies and simplify math a little
bit. I would like think math as logical rules among a set of objects
with some abstract properties.
To me, such a mathematical system embodies our logic. Logic is the
only way we humans can use to understand things. The very meaning of
understanding means that something is logical under accepted
assumptions. Somehow, logic is like an operating system. I like to
think it is hardwared into our brain. It is not programable. it is
only way we know how to think.
Now, this has nothing to do, in principle, why math is useful. By
useful, I mean usable to describe the natural world.
Then the question really is: why is the natural appearing to be
logical.
I don't know the answer to this question. All I can say is the
following
1) We will, and have to, use this as a working assumption. Or we will
have to give up trying to understand.
2) We do not know whether the natural world is logical or not (we only
know it appears to be). We can never use our logic to prove it is
logical.
3) We will never know whether the natural world is illogical or
not... Because, 'know' means understand using our logic, which in
turn means the natural world is logically undertsandable at that
point.
It will be absolutely fascinating to find some aliens which use
completely different logical system. On the other hand, in that case,
we probably won't be able to communicate with each other.
The question about why math is useful (apart from we will not answer
it ) is not going to teach us much about nature. A real constructive
way is trying to use our logic, making up physical assumptions, and
see how far we go. It seems to work pretty well for us.
On the other hand, many claims of math is physics means the following
in practice: one can just make up object and logical rules. anything
we make up this way must be somehow physical. this is definitely not
true.
| 发表时间：2005-06-17, 13:08:10 |
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可见光
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Re: 我来详细反驳不爱吱声兄及其支持者们:-)
上面几位说的好。尤其是sage兄反过来给我不少启发。我再补充一点：
物理学中每当一门理论比较成熟时，人们就想到将它进行公理化，即使象量子力学这样至今尚存争论的学科、以及象量子场论这样有些繁难的学科，也“未能幸免”。
当一门学科可以对之完成公理化运动时，就意味着可以通过同构映射的编码方法，将这门理论变成一个纯粹的逻辑上的形式系统。正因为如此，一些科学大家们认为物理学可以翻译成数学系统，最后变成逻辑系统。“符号动力学”和“元胞自动机”，可能就是试图将形式系统的抽象方法运用于科学技术研究吧！
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| 发表时间：2005-06-19, 05:31:32 |
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快刀浪子
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Re: 我来详细反驳不爱吱声兄及其支持者们:-)
to sage兄：
逻辑是一种推理规则，是我们在思考时必须使用的规则。它并不是关于这个世界的性质。所以说一个世界是否符合逻辑是没有意义的，因此也不存在”我们无法判断世界是否合符逻辑”这样的问题。不管处于什么样的世界，我们都需要合符逻辑地思考。
看一看具体的推理规则。
关于三段论的一个例子：“三角形的内角和等于180度；a是三角形；所有a的内角和等于180度”。在这个三段论中，三角形的内角和等于180度，实际上是说三角形a、b、c……内角和都是180度，它其实已经包含了结论。全称命题包含了无数的单称命题，是一种简洁的说话方式，因为具体地说出每一个单称命题太麻烦了，也不可能。从前提到结论只不过是换一种说话方式而与。所以不管在那一个世界中，这一推理是肯定成立的。
关于假言推理。我们思考的时候，需要从一命题转换到另一命题。这时这两个命题的真值必须有某种确定的关系，否则会出现自相矛盾的情况。（两个命题的真值有确定的关系，是指A真则B真。实际上其他的情况也行，比如A假则B真，这时把C看成非A，得到C真则B真）。因此有了这样的推理规则：“如果A那么B，已知A，所以B”。
即使这个世界是杂乱无章的，物体的运动是毫无规律的。我相信一些数学在那里仍然适用，也就是说在那里仍然能使用逻辑。如果混乱到连语言都不能使用的话（这种情况很可能是不存在的），逻辑也肯定不能用了。这时候也不能说是逻辑错了或者这个世界不合逻辑，只是它无法有效地运用而已。
另外，我不同意把逻辑看成是大脑的硬件，是绝对不可改变的，尽管我相信它是接近于先验的
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| 发表时间：2005-06-19, 10:28:36 |
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Re: 我来详细反驳不爱吱声兄及其支持者们:-)
逻辑是一种推理规则，是我们在思考时必须使用的规则。它并不是关于这个世界的性质。所以说一个世界是否符合逻辑是没有意义的，因此也不存在”我们无法判断世界是否合符逻辑”这样的问题。不管处于什么样的世界，我们都需要合符逻辑地思考。
it is true that we have to think logically no matter which world we are in. to us, this is by definition the meaning of 'thinking'.
however, are we sure that an alien will use the same logic as we do? if they use different logic, can they still understand the world via their logic?
to me, asking why mathematics which embodies our logic, is useful is essentially asking why logic is useful, which is essential asking why is the world logical.
we have a lot of mathematics. most of them are not useful (or we have not seen they are useful in certain subject, yet). however, I thought you were asking the question why there is at least some of them useful at all.
think about it this way. we can make up our physical assumptions, classical vs quantum, F=ma vs general relativity, and so on. then, what we do is to use mathematics (or essentially our logic) to derive conclusions. however, why should we trust these conclusions? they are logical. however, why should logic work to derive useful conclusions? we don't know. and as I said, we may never know.
| 发表时间：2005-06-20, 13:15:19 |
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Re: 我来详细反驳不爱吱声兄及其支持者们:-)
::to me, asking why mathematics which embodies our logic, is useful is essentially asking why logic is useful, which is essential asking why is the world logical.
这句话已经包含了两个观点，数学的有效性等价于逻辑的有效性，逻辑有效是因为这个世界符合逻辑，不过两个观点都没有给出理由。
我的看法与你的不同
1、数学的确是逻辑的体现，如果它仅是一种形式的时候，只要自洽就行了。但如果要用来描述这个世界，必须把数学公式与一定的经验对应起来。比如1、2、3等数可以对应着仪器的读数
而逻辑的有效性基本上是与经验无关的，它只涉及命题的真假问题。逻辑有效是数学有效的必要非充分条件
2、如果说我们的思考不合逻辑，即是说其出现了自相矛盾的地方。说这个世界不合逻辑是什么意思呢？这里我们只能理解为出现了自相矛盾的情况，就是说一件事既是这样，又不是这样。这种情况是不可能的，只存在我们的语言中，而不会出现在这个世界上。即使这个世界毫无规律乱七八糟，也不能说它不合逻辑。比如太阳昨天东升西落，今天西升东落，而我们又找不出理由说明为什么会这样。但这是两件事情，不是一件，不存在所谓的逻辑矛盾。科学理论倒是有可能存在着矛盾，但这只能说明这个理论不适合用来描述这个世界。
总之，逻辑是推理规则。谈论一个世界是否符合逻辑，就如同谈论一个电子的温度一样，都是没有意义的
::however, are we sure that an alien will use the same logic as we do? if they use different logic, can they still understand the world via their logic?
我相信外星人（如果有外星人的话）使用的逻辑跟我们的在本质是相同的，都是保证推理不出现矛盾的规则。尽管两者在表面上可能有一些差异。
事实上，除了平时所使用的逻辑外，逻辑学家还发明了很多其他的逻辑系统，比如多值逻辑、模糊逻辑等，不过这些都可以看作是标准逻辑的变种或补充。
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| 发表时间：2005-06-23, 08:57:21 |
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Re: 我来详细反驳不爱吱声兄及其支持者们:-)
1、数学的确是逻辑的体现，如果它仅是一种形式的时候，只要自洽就行了。但如果要用来描述这个世界，必须把数学公式与一定的经验对应起来。比如1、2、3等数可以对应着仪器的读数
而逻辑的有效性基本上是与经验无关的，它只涉及命题的真假问题。逻辑有效是数学有效的必要非充分条件
that I agree. so....? only correct application of mathematics explains the word. correct application is the task of physics, not mathematics. I think we all agree on this point.
2、如果说我们的思考不合逻辑，即是说其出现了自相矛盾的地方。说这个世界不合逻辑是什么意思呢？这里我们只能理解为出现了自相矛盾的情况，就是说一件事既是这样，又不是这样。这种情况是不可能的，只存在我们的语言中，而不会出现在这个世界上。即使这个世界毫无规律乱七八糟，也不能说它不合逻辑。比如太阳昨天东升西落，今天西升东落，而我们又找不出理由说明为什么会这样。但这是两件事情，不是一件，不存在所谓的逻辑矛盾。科学理论倒是有可能存在着矛盾，但这只能说明这个理论不适合用来描述这个世界。
总之，逻辑是推理规则。
correct. however, it is the rule used by us. i do not know if it is the only possible rule.
谈论一个世界是否符合逻辑，就如同谈论一个电子的温度一样，都是没有意义的
We cannot dream of anything outside our logic because that's the only way we know how to think. however, what makes you believe that our logic is unique? I am not sure because I can not prove it is unique. on the other hand, I cannot give you an counter example because logic is the only way we know how to think. however, because I am not sure if it is unique, I am wondering whether there is another way. because I suspect the existence of another way, I am wondering whether our logic is special.
talking about if the world is logical is from my suspicion. we know how to think about world in one way, this be no means prove it is the unique, nor the correct way. The world could be logically inconsistent according to our logic. This says nothing about inperfectness of the world. it just says that our humble human beings' logic is not good enough.
if you say it is not useful for us to ask this question because we will never know. I agree.
this would mean that we will never understand one of the myteries whether we should be able to understand the world at all.
| 发表时间：2005-06-23, 12:58:35 |
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星空浩淼
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Re: 我来详细反驳不爱吱声兄及其支持者们:-)
“某某不符合逻辑”，“三段论”...等等，此类说法中的“逻辑”，属于一般公众理解中的通俗“逻辑”。如同歌星对歌曲里面“你是电！你是光！你是美丽的神话...”的“光电”的理解，跟物理学家眼中的“光电”颇有些距离，在后者脑海里此时很容易浮现出Feynman图来:-)。
真正专业的逻辑，博大精深，其实属于数学的一种，属于数学基础或元数学的东西，需要具备近世代数基础才能学下去。象“模型论”、“递归论”、“可计算性与不可解性”等等，至少要数学专业的研究生才能读懂。
逻辑与实践之间的距离，也不是一般人所认为的那样大。逻辑对人类实践一个最明显的应用实例，就是计算机理论，尤其是其中算法问题，可计算性与不可解性或计算的复杂性等理论。事实上，计算机理论发明，直接就是数理逻辑的运用（例如图灵机）。人工智能也离不开数理逻辑。
所有哲学门类中，我最喜欢数学哲学，并且在那里，“哲学”与“具体科学”之间的界限不明显。数学哲学是把数学、逻辑和哲学三者联合起来。我相信对自然科学感兴趣的人，绝大多数会对数学哲学感兴趣；如果他没有来得及欣赏，建议他抽出时间学习钻研一回:-)
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-06-23, 22:24:23 |
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星空与道德
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Re: 我来详细反驳不爱吱声兄及其支持者们:-)
我同意数学不是科学，他与神学是同根的。神学建立在教条之上，而数学建立在公理之上。神学的教条是在一直进步的，而公理也是在变化的。
数学来自于经验就如同神学也要通过世俗的东西来传达。
简言之：美是数学的根本。不同于科学在于实践。
| 发表时间：2005-06-25, 01:48:22 |
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Re: 我来详细反驳不爱吱声兄及其支持者们:-)
我不敢发表什么看法，但我想，就好比专门搞物理的，跟学其他专业的，对物理科学的认识肯定会有很大的不同。同样道理，这里也有业余与专业之分。
以平常心对待一切
| 发表时间：2005-06-25, 09:12:05 |
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