轩轩
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闲谈正质量定理（1）
中午睡觉不着，闲谈一下正质量定理，我也不懂得细节的，呵呵，这是经典广义相对论里的一个定理，以前只是一个猜想，这有点象费马猜想。要想证明它，还真不是一件easy的事情。
在广义相对论中，一些整体的量很难定义，比如质量。我们考虑一个孤立体系，那么它的总质量可能采取一些不同的定义。
比如komar质量，它的定义我给thanxmm讲过，讲的很清楚，也很通顺，他也理解了，这真是一件很爽的事情，所以那个下午感觉非常神圣。komar质量完全就是一个几何定义，不需要坐标系。但它依赖于时空存在一个killing矢量场。
一般地，人们考虑的是ADM质量，当然这也是针对渐近平坦时空的。ADM是三个人。当然这个定义不是几何的，那就是你一把它写出来，就是在一个坐标系下了。数学家象yau他们1979年证明的，就是这个ADM质量，在渐近平坦时空的，总是正的。他们的证明，需要微分几何里的高斯-科达奇方程。当然这是第一步了。
其实，证明正质量定理的故事，最初的开始是在1959年，Araki和Brill。
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轩轩
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Re: 闲谈正质量定理（1）
witten1981年的证明使用的技巧是在3流形上的类dirac方程，也就是旋量的方法。当然这个证明大概是witten得到博士学位以后5年做出来的。他好象是1976年博士毕业的。所以我觉得，博士毕业5年，一个人好象真的需要在数学物理上做出成绩了，否则那年纪越发大了，这前5年做不出来，不至于后面还能做出来。当然这是我和thanxmm这样的人对做出成绩的人的看法吧。尤其是在数学物理这个领域。象爱因斯坦，那更加严重，他得到博士学位之前，就做出了相对论了。他做完了以后，如果以钓鱼度过余生，对科学也无啥损失。爱因斯坦没有在量子论上做成绩，所以以至于现在的量子引力，缺少了关键性的一环。
当然witten和爱因斯坦他们一直是在山上的。
凡间的人那无论怎么样，是凡人的他一定是凡人。不能成为神器。
象witten和爱因斯坦那样的人，那算是只应天上有，地下无。
在witten之后，几乎是瞬间，Nester就把正质量定理做成了一个四维协变的样子，那跟witten的那个3流形或者3超曲面不太一样。Nester的文章在phys。letter A83 241。大家你们谁能发给我呢？
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Re: 闲谈正质量定理（1）
"就是这个ADM质量，在渐近平坦时空的，总是正的"
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严格说是"非负质量",不是正质量,这个猜想也应称为"非负质量猜想"
这个猜想对于PDE的要求极高,而这恰恰是Yau最擅长的
当年他在U.C.Berkeley读书时选修一位教授的PDE课程
一段时间后同学们跑光了,只有他一人"抗战到底",教学地点也由教室迁到那位教授的办公室了:P
Gauss-Codazzi方程在这个猜想里是先导,但是难的是艰深的先验估计和解题技巧
他和他带的博士生孙理查(Richard Shoen)一起解决了这个问题
当时他29岁,Shoen是27岁.如果我没有老糊涂的话,应该是在1978年而不是1979年
此前一年他通过对复Monge-Ampere方程的精彩分析解决了Calabi猜想(真想砍了我手指,查点又把Calabi打成Clabi,-_-)
这个猜想的解决影响深远,也是Yau本人的一大成就
Witten的解决办法更"物理",不过殊途同归,嘿嘿
"象爱因斯坦，那更加严重，他得到博士学位之前，就做出了相对论了。他做完了以后，如果以钓鱼度过余生，对科学也无啥损失。爱因斯坦没有在量子论上做成绩，所以以至于现在的量子引力，缺少了关键性的一环。"
Einstein只有Newton可堪匹敌.
说他没有在量子论上没有作成绩就太武断了,1905年3月那篇论文的一小节就让让他得了Nobel Prize,害得后人老是以为那篇论文只为了解释光电效应,恶
波粒二象性方面的始祖是Einstein,不过被Bohr这厮搞得很恶俗,再恶
还有Einstein关于固体比热的量子理论也是精彩美妙,大学时曾被其深深震撼
Einstein在1924到1925年的两篇量子统计的论文实在是暴high,而且还无比天才得预测了Bose-Einstein凝聚(BEC )
Bose本人的工作只是局限于光子场(Spin1),而Einstein则推广到Spin为整数的粒子
很多人在评价Einstein晚年对量子力学的作用时,最多给个"安慰奖",仿佛是趴在牛身上吸血的牛虻促使牛前进似的,第三次恶.以Einstein伟大的成就,用不着这个安慰奖
至于量子引力方面,原谅全世界的物理学家吧...........这与Einstein更没关系了.
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Re: 闲谈正质量定理（1）
他和他带的博士生孙理查(Richard Shoen)一起解决了这个问题
当时他29岁,Shoen是27岁.如果我没有老糊涂的话,应该是在1978年而不是1979年
萍女士目前在国内吗？？？在正质量定理很有研究？？？？我一直想学学，但好象在国内除了数学所的人，没有其他人干这个？？？
孙理查(Richard Shoen）这个名字是谁翻译的呢，老感觉怪啊。是不是就是萧荫堂啊？？？
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Re: 闲谈正质量定理（1）
萍女士目前在国内吗？？？在正质量定理很有研究？？？？我一直想学学，但好象在国内除了数学所的人，没有其他人干这个？？？
孙理查(Richard Shoen）这个名字是谁翻译的呢，老感觉怪啊。是不是就是萧荫堂啊？？？
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正质量猜想对于微分几何、几何分析和PDE要求很高
如果你了解Yau的工作风格的话就可以明白他的工作何以如此惊人
他是“有几何学家气质的分析学家，有分析学家气质的几何学家。”
例如，Calabi猜想是从Ricci曲率求Kahler度规，这是一个超难的非线性PDE问题
所以，要想搞懂正质量猜想和想搞懂Calabi猜想一样，都需要经过微分几何、几何分析和PDE的深入研究和训练。实际上，代数几何方面和多复变函数方面的素质也很重要，虽然直接关系不算大
正质量猜想是经过整整一代数学家和理论物理学家的构建整理后才形成一个清晰的描述的
而正是Yau和Shoen的精彩工作漂亮地解决了这个猜想
至于孙理察，可能是先有中文名后有英文名的吧，就像Yau一样
Y.T.Siu(萧荫堂)也是华人数学家中的一个杰出人物，和Yau有过精彩的合作
他本人是一个复几何（Complex Geomytry）专家，行文流畅优美（这也是Yau的一个突出特点），以前在Stanford，后来也到Harvard了~
Siu的文章极之可读，应该多加揣摩
至于正质量猜想，在这里能说的不多，你应该多读一些英文文献，国内在这方面的文献不多
就像我自己当初一样，很多醉心于这个猜想的人都是因为其无比的简洁与优美的结论的
但对其中的许多必要的知识后备都没有充足准备~so，要在分析学和几何学上同时花一些功夫
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| 发表时间：2005-08-07, 09:26:18 |
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Re: 闲谈正质量定理（1）
感谢萍老师的指点
不过我感觉自己分析实在是不行了，于是准备学点旋量，用代数的方法来理解正质量定理，也就是witten的那个。yau和shoen的文章我看过，超级无敌啊。对我来说，那文章太难懂了，很长啊。witten的我也在看，但他的文章里缺少一个3维dirac算子存在性的证明，后来被parker？？补上了。
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Re: 闲谈正质量定理（1）
不过我感觉自己分析实在是不行了，于是准备学点旋量，用代数的方法来理解正质量定理，也就是witten的那个。yau和shoen的文章我看过，超级无敌啊。对我来说，那文章太难懂了，很长啊。witten的我也在看，但他的文章里缺少一个3维dirac算子存在性的证明，后来被parker？？补上了。
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也没有你直觉里那么难不可及。关键是要对极小子流形的一系列工具有比较熟练的掌握
相信你在学习广义相对论时就对测地线非常熟悉的
那么将一维推广到二维就是极小曲面了，这个非常重要，当年Yao和Schoen（寒，前几天打漏了一个字母，成shoen了）证明一个重要定理时就用到这个类比，类比虽简单，计算却繁难。
定理如下（这里称为定理A）：3维正数量曲率的紧致定向流形中不存在正亏格的紧致稳定极小浸入2维定向子流形。
证明这个定理类似于著名的Synge定理的证明，只是将极小测地线换成稳定极小曲面。
用这个定理可以证明以下一个与正质量猜想有联系的定理（这里称为定理B）：设3维Euclid空间中一个Riemann度规在一个紧致集K的外部是平坦的，且处处具有非负数量曲率，则它必为平坦的。
这个定理是Yao和Schoen1979年论文中的核心定理的特殊情形。
证明的大意是把K包裹在一个立方体内，将此立方体粘合成环面T。T上一个诱导度规g确实不平坦的话，则具有正数量曲率，利用调和映照和Teichmuller理论的一些已知事实，Schoen和Yau证明了T必须包含2维环面的一个极小浸入，它是极小化的，因而是稳定的。而定理A说明了这是不可能的，因此度规g是平坦的。因此3维Euclid空间的原始度规也是平坦的。
在Schoen和Yau的精彩论文中，定理3.1是核心定理
最终他们证明了：
定理C（正质量定理，The positive-mass Conjecture）：n维完备Riemann流形有一个渐进平坦的末端且Rg非负，在此末端上定义渐进坐标g（ij）=（1+1/|x|[n-2]）delta（ij）+O（|x|[1-n]），系数c称为质量，必有c非负。
Schoen和Yau所用的方法是极小字流形和对Ricci曲率的L2估计。
这篇论文的分析学用到炉火纯青的程度，Ricci曲率的估计与积分是重中之重。
尤其要提到的是调和映照和Teichmuller理论的根基作用（虽然不是所有的根基，但却是必要的）
调和映照是几何和分析中的重要对象，它们作为某些函数空间上的能量泛函的临界点自然出现。调和映照反映了流形的许多几何性质。给出Riemann流形M、N，考虑映射空间，一个问题是找出这个空间的好的代表元。对于从M到N的映照f，定义能量E（f）。一个调和映照就是这个能量的临界点。首要的问题就是存在性、唯一性和正则性。寻找调和映照的关键是通过非线性热方程对一个任意映照的同伦类变形通过适当的估计并过渡到极限。也可以不在同伦类中而是在具有相同基本群的作用类中寻找调和映照。Scheon和Yau考虑函数空间中的一个映射加上二维极小调和映照的正则性，证明了该类函数类中存在调和映照，并可推广到高维。调和映照的另一个领地是曲面到Ricci平的三维Kahler流形的的调和映照分类。（见Yau1983年的一系列学术演讲）
有意思的是，数学家都热衷于分类，比如代数几何学中代数簇的分类，多少代数几何大师干得津津有味、乐此不疲。但我们知道，至今为止，只有（复）代数曲线的分类是圆满的，以著名的Poincare-Keobe定理为代表：任何一个二维曲面的万有覆盖空间必同胚于以下几种情况之一：复平面（Gauss面）、单位圆盘、扩充复平面（Riemann球），这三种区域的度规分别对应Euclid度规（抛物度规）、Poincare度规（双曲度规）、球度规（椭圆度规）
但对于高维区域的结果就远远未达到目标，其实就算加上很强的曲率限制也得不出肯定的结果，而Poincare-Keobe定理的要求却松到只要求曲率以零为分界点而已。
之所以说了这么多题外话，只是说明，调和映照的分类也很有事情可作（如果不说“也很麻烦的话”）
至于Teichmuller理论，对于复分析的要求是很高的，通常本科生是不可能开这课程的，但是分析学的研究生有这个方向。这个理论要追溯到Riemann的参模理论，但是Teichmuller在25岁左右时创立了这个漂亮却艰深的课题，他本人是狂热的纳粹党卫军分子，30岁时在战场上为了纳粹而当了炮灰。
这个理论近几十年来对于纯粹数学的许多方向都有了重要关联。轩轩如果感兴趣的话可以翻看北大最近出版的李忠教授的《复分析导引》以及相关著作
懂得这方面的知识对于处理正质量猜想中的数学证明的一些数学细节有很大好处。
关于极小曲面理论还要多说几句，极小曲面理论中的一个重要问题是流形中多个极小曲面的存在性。在二维球上，至少存在三条闭的、嵌入的测地线，椭球面上恰有三条，这是Poincare的成果。极小曲面（更广的说是极小子流形）直接关系着非线性PDE，就像测地线关系着非线性ODE（常微分方程）一样。这一点Lagrange在写出极小曲面方程时就很明了了。因此，在Yau的许多著作中只要涉及到极小子流形（或特殊些：极小曲面）的，都要有非线性PDE的扎实功底才可以看得较顺畅。被国际数学大师唐纳森（Singer. Donaldson）誉为“近四分之一世纪里最有影响的数学家”。Yau被S.Donaldson誉为“近四分之一世纪里最有影响的数学家”，并非虚誉。
嘿嘿，革命尚未成功，轩轩尚需努力哦~：D
顺便说一下，最近俗务缠身，没有很多时间上网，比如上次回完这张帖后，直到现在才爬上来再看，非常抱歉。最近南京为了迎十运，除了新街口、湖南路和鼓楼一带之外，基本上都在挖路修补，到处施工，看着一堆堆堵在原本宽敞马路上的积土和告示，我只有两种想法：
1，正质量猜想不排除质量为零的情形，要是这些东西质量为零就好了
2，等它个几千几百亿年，突然就来个量子隧穿。。。。。。。。
以后，如果有什么问题要交流，没看见我回答，肯定是我没上网啦
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| 发表时间：2005-08-10, 04:12:50 |
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Re: 闲谈正质量定理（1）
关于极小曲面理论还要多说几句，极小曲面理论中的一个重要问题是流形中多个极小曲面的存在性。在二维球上，至少存在三条闭的、嵌入的测地线，椭球面上恰有三条，这是Poincare的成果。
我在想，假如是2维的闭流形，那它上面的测地线无限延长是不是一定也就是封闭的呢？？？
55555555555555555只感觉极小曲面比较直观一点。其他的太深奥了。要学的东西确实太多了。类光矢量总是指向未来的，它的平方为0。类时矢量的平方总是为正。对比一下数学分析，我觉得物理学真的是比较好懂得一些。感谢萍老师的精彩解答。估计我要完全理解上面的话，需要不至十年的时间。
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| 发表时间：2005-08-10, 04:56:13 |
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萍踪浪迹
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Re: 闲谈正质量定理（1）
55555555555555555只感觉极小曲面比较直观一点。其他的太深奥了。
要学的东西确实太多了。类光矢量总是指向未来的，它的平方为0。类时矢量的平方总是为正。
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类空矢量、类光矢量、类时矢量都可以以光锥划出的区域表示
对比一下数学分析，我觉得物理学真的是比较好懂得一些。
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但是物理学学到深处也难得很，比如在类空超曲面上选择光锥，在广义相对论情形有时候取到整个类空超曲面都无法解决要解决的问题。
Witten在80年代解决超对称的一些问题时就用到了很多数学分析和几何工具。尤其在物理学与数学的关系日益紧密的今天，认定物理学容易而躲避数学不是明智之举，但一头扎进数学也不可取，关键在于适当择取，需要什么数学就钻研什么，边走边打，不畏艰险才是正途。还有，量子场论中的问题也很困难，也需要很扎实的数学和物理基础。
感谢萍老师的精彩解答。估计我要完全理解上面的话，需要不至十年的时间。
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顺便纠正一下，关于Poincare-Koebe定理的表述，那天手误，把全纯等价（共性等价）打成同胚，几小时后走在路上才大吃一惊，想上来纠正，苦于当时没空。现在纠正。
这个定理和Abel定理以及Riemann-Roch定理并列为经典复分析三大经典定理。重要性不言而喻。而且在这里，单位圆、复平面、Riemann球的基础作用是很明显的
在多复变函数情形，用所谓的Riemann域覆盖区域也无法得出类似的优雅结果。仅仅以单位圆为例，其高维推广为高维球和多圆柱，均为单连通，所以拓扑等价（即同胚），但是1907年Poincare就证明了它们无法建立全纯等价，即无法共形等价。这个惊人的定理是多复变艰难的一大原因，它使多维复空间的分类成为一个重大课题。必须注意，单变量的Poincare-Koebe定理反而是在1912年得出的。
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| 发表时间：2005-08-12, 10:38:15 |
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sage
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Re: 闲谈正质量定理（1）
定理C（正质量定理，The positive-mass Conjecture）：n维完备Riemann流形有一个渐进平坦的末端且Rg非负，在此末端上定义渐进坐标g（ij）=（1+1/|x|[n-2]） delta（ij）+O（|x|[1-n]），系数c称为质量，必有c非负。
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where is C in this formula?
| 发表时间：2005-08-12, 11:27:23 |
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萍踪浪迹
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Re: 闲谈正质量定理（1）
啊...一不小心将c打成1,多谢sage提醒
抱歉.
to轩轩:单值化定理是1907年证明的,不是1912,我昨晚又犯了一低级错误,一整晚都觉得不对劲,直到今天上午才想起来.许多东西经年不习,基本上都还给书本了.这一定理1882年时Klein已经得出初等形式,他告诉Poincare后,Poincare说自己已经有更好的证明方法了.1883年Poincare得出更好的证明.但是真正完整的证明是1907年Poincare和德国年轻的Koebe分别独立得出的.
单值化定理的高维形式主要是由Frankel猜测和Greene-Wu-Yau猜测组成。它们分别对于紧致及非紧Kahler流形的典则复结构进行了刻划。关于紧致流形上的Frankel猜测(任何具双截曲率的紧致Kahler流形双全纯同胚于n维复射影空间)在七十年代末已由Mori(森重文)及Siu-Yau给予了完全的证实。Mori实际上是证明了更一般的Hartshorne猜想,导出Frankel猜测.必须提及的是,Mori是用代数几何方法,而Siu-Yau用的是微分几何方法.
然而对于非紧流形上的Greene-Wu-Yau猜测的进展甚少。在八十年代中期Mok在具正截面曲率的四维流形上利用代数几何方法对Greene-Wu-Yau猜测给出了部分回答。
再简略谈极小曲面,其实极小曲面虽然直观,但是也不简单.由于可在其上引入标准复结构,因此可以应用复分析进行深入研究,著名的Weierstrass表示是这方面的开山之作.继续深入就又要涉及到Teichmuller空间理论了.Chern在这方面有很多精彩的研究,关于极小子流形他也写了综述性文章.
漫漫长夜不知晓
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| 发表时间：2005-08-12, 23:02:50 |
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Re: 闲谈正质量定理（1）
将一个笔误修改一下，免发歧义，
g（ij）=（1+c/|x|[n-2]） delta（ij）+O（|x|[1-n]），系数c称为质量，必有c非负。
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| 发表时间：2005-08-13, 09:16:31 |
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yinhow
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Re: 闲谈正质量定理（1）
再简略谈极小曲面,其实极小曲面虽然直观,但是也不简单.由于可在其上引入标准复结构,因此可以应用复分析进行深入研究,著名的Weierstrass表示是这方面的开山之作.继续深入就又要涉及到Teichmuller空间理论了.Chern在这方面有很多精彩的研究,关于极小子流形他也写了综述性文章.
:陈维桓的<<极小曲面>>(科普书)有简单通俗的介绍.
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| 发表时间：2005-08-15, 09:08:27 |
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Re: 闲谈正质量定理（1）
陈维桓的<<极小曲面>>(科普书)有简单通俗的介绍.
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这本书是半科普，因为毕竟有一些比较好的计算和证明
如果没有本科的初等微分几何知识，恐怕看起来还是有些困难。
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梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2005-08-16, 03:02:12 |
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