元江
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关于量子力学的态迭加原理
又来提问题啦。：-)
对一个线性微分方程来说，如果f1是它的一个
满足特定边值的一个解，如果f2也是它的一个
满足特定边值的一个解，那么，F=a*f1 +b* f2还是
该微分方程的满足特定边值的解。这是线性
微分方程的线性迭加原理。
因为薛定锷方程是线性微分方程，因此薛定锷方程
满足特定边值的解的迭加还是薛定锷方程的解。
薛定锷方程的一个解在量子力学里称为一个量子态。
这样看来，量子力学的态迭加原理是薛定锷方程线性
性的自然结果。
可是，在各种量子力学教科书中，都把量子力学的态
迭加原理提到量子力学公理体系的支柱的高度，此间
昌海站长在他的“追寻引力的量子理论”中也这样叙
述。
我的问题是，如果量子力学的确可由薛定锷方程定义，
那么这个态迭加原理是自动包含在薛定锷方程线性性
质中的。为什么要另外左说右说呢？是不是作为公理
的态迭加原理甚至可以在薛定锷方程线性性不存在的
情况下也得维持？
道可道非常道
名可名非常名
| 发表时间：2005-07-15, 08:40:15 |
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卢昌海
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Re: 关于量子力学的态迭加原理
Principle of superposition is merely a tutorial version of the much stronger assumption in quantum mechanics: physical states form a separable complex Hilbert space. It is the latter that is a basic principle in the mathematical foundation of quantum mechanics. Schrödinger's equation won't make much sense without specifying what space its operators act on.
At non-technical level, principle of superposition is often mentioned as a property of the solution of Schrödinger's equation, but actually it represents a foundamental principle of quantum mechanics.
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2005-07-15, 21:39:21 |
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元江
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Re: 关于量子力学的态迭加原理
追根究底一番：-)
依我的了解，希尔伯特空间由一套正交，完备的基张成。
每个基可以单位化(即波函数的平方可积条件)。希尔伯特
空间中任一向量(或称态矢量)可以是这一套正交，完备，
单位化的基的线性组合。
那么，是不是这样一个原因。
单粒子薛定锷方程牵扯的只是动量，坐标算符及其组合(如角动量)。
如果我们的研究局限在这些算符上。对薛定锷方程的解的了解与
对希尔伯特空间性质的了解是一致的。
但是，微观粒子还有其它内禀自由度。这些内禀自由度对应的算符，
不出现在薛定锷方程里，然而，在希尔伯特空间得概念下，这些
算符对应的基也能出现在希尔伯特空间结构中。此时，希尔伯特
空间中的态矢量迭加性任就成立，但这种表示已经超出薛定锷方程
解的范围以外。因此，希尔伯特空间中的态矢量迭加性是更基本的。
是这样么？
道可道非常道
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| 发表时间：2005-07-15, 22:10:40 |
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sage
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Re: 关于量子力学的态迭加原理
但是，微观粒子还有其它内禀自由度。这些内禀自由度对应的算符，
不出现在薛定锷方程里，然而，在希尔伯特空间得概念下，这些
算符对应的基也能出现在希尔伯特空间结构中。此时，希尔伯特
空间中的态矢量迭加性任就成立，但这种表示已经超出薛定锷方程
解的范围以外。因此，希尔伯特空间中的态矢量迭加性是更基本的。
是这样么？
1) spin or any internal degree of freedom could be incoperated into Schrodinger equation.
2) Like Changhai said, fundamentally, we demand superposition first. Linear superposition is really tied to the interpretation of the state vector in quantum mechanics. It is independent of schrodinger equation. schrodinger equation only determines the evolution of a state vector, not its interpretation. Of course, once we assume the interpretation of state vector, then any equation which governs the evolution of a state will haave to be consistent with that interpretation.
| 发表时间：2005-07-15, 23:04:17 |
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西门吹牛
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Re: 关于量子力学的态迭加原理
没有考虑内部自由度的方程，内部自由度可以通过张量积方式加进去。
谁说Schrodinger方程中没有包含内部自由度呢？Dirac方程就包含了自旋自由度（以四分量波函数和Dirac矩阵为载体）。
一舞剑气动四方,天下英雄莫能挡
形踪飘忽疑无影,冷面郎君傲雪霜
| 发表时间：2005-07-16, 06:48:45 |
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dolphin
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Re: 关于量子力学的态迭加原理
schrodinger方程在量子力学中出现的较早,量子力学中态的概念的建立和它应该有密切的联系,我感觉schrodinger方程帮助人们更多地理解了建立量子力学中态的概念的重要性,或许这应当归结为测不准关系导致的必然结果.就是说测不准关系导致描述粒子的方式的改变,不再用分裂的动量,位置来描述粒子的状态,而用具有整体性质的波函数来表示.
态迭加原理应当是在理解schrodinger方程和解释其它一些量子现象时总结出来的,虽然我们还不知道粒子的具体结构是怎样的(string theory?),量子态的概念让我们在不知其结构的情况下能有效地研究其相互作用.
| 发表时间：2005-07-16, 08:26:36 |
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元江
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武功等级: 逍遥拳
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Re: 关于量子力学的态迭加原理
先澄清一个事实
由于薛定锷方程的线性性质，它的一般解可以是特解的线性迭加，
这一结论只从薛定锷方程本身的数学性质而来，与物理解释无关。
在数学操作上，构造一个薛定锷方程一般解的过程与写出希尔伯
特空间中的一个任意态矢按其正交完备基的分解过程毫无两致。
因此，我认为这两者所代表的物理是一样的。
我刚刚查了一下Ramamurti Shankar的书，书中有量子力学的四
条公设。第一条就是：
The state of the particle is represented by a vector |\psi> in a Hilbert
space.
其第四条公设说这个态矢量满足薛定锷方程。换句话说，薛定锷
方程的线性性质是由第一公设确定的，否则的话，这四条公设之间
不自洽。
我想我弄清了这一点。态矢量迭加性与薛定锷方程的线性性质是可
以互相导出的。如果我们看量子力学以薛定锷方程为基础(这是我比
较喜欢的一种做法，比如：
处理牛顿方程就是牛顿力学；处理爱因斯坦场方程就是广义相对论；
处理狄拉克方程就是相对论量子力学，等等。)
那么态迭加原理是薛定锷方程的线性性质的表现。
如果我们看量子力学为希尔伯特空间中的代数结构，那么，态迭加原理
规定了具体搜寻希尔伯特空间基矢的微分方程一定是线性的。这时态迭
加原理变成先于薛定锷方程存在的了。
道可道非常道
名可名非常名
| 发表时间：2005-07-16, 10:07:22 |
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kanex
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Re: 关于量子力学的态迭加原理
我建议 元江 可以先看看量子力学的其它两种常见诠释：matrix和path integral。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-08-03, 14:47:26 |
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元江
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武功等级: 逍遥拳
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Re: 关于量子力学的态迭加原理
以前看过的，越看越糊涂。
以前看不懂，怪自己笨。
这两年在民科的训导下，思想上有长足的进步。
我开始怀疑，看不懂的原因也许不是我笨，而是
那东西本来就没说明白。：-)
道可道非常道
名可名非常名
| 发表时间：2005-08-04, 08:35:52 |
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