元江
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炮打量子力学中希尔伯特空间框架，呵呵！
接着前一个贴子的话题。
在前一帖中，我的结论是
态矢量迭加性与薛定锷方程的线性性质是可
以互相导出的。
如果我们看量子力学以薛定锷方程为基础
那么态迭加原理是薛定锷方程线性性质的自然结论。
如果我们看量子力学为希尔伯特空间中的代数结构，
那么，态迭加原理规定了具体搜寻希尔伯特空间基
矢的微分方程一定要是线性的。这时态迭加原理变
成了规定薛定锷方程形式的一个约束，先于薛定锷
方程存在。
我相信这个结论是不错的，不过，还是希望此间各
位高手发表一下看法。
现在我要提出一个新的问题。
上面提到的希尔伯特空间中态迭加原理与薛定锷方程
的线性性质的等价性是在一个条件下成立的。即，不
存在简并。如果存在简并，一般来讲，希尔伯特空间中
的每一个基都成了一个子空间，这个子空间里的基的数
目为简并度，这个子空间里的基一般不互相正交，
不同子空间里的基一般也不正交。这时，在希尔伯特空
间中的任一态矢还能够唯一地分解为各个子空间里的
基的线性组合么？我想是不能的。但是，对薛定锷方程
而言，通解为特解的线性迭加这一做法仍旧有效，因为，
此一讲法只依赖于薛定锷方程的线性性质，它与解是否
简并无关。
这样比较后，我们可以看出，用希尔伯特空间的代数框架
来研究量子力学，固然是比较严格，但贬抑薛定锷方程在
量子力学里的角色是要付出代价的。这代价就是我们必需
回避那些由于能态简并而表现出来的物理现象。
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| 发表时间：2005-07-16, 16:26:07 |
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卢昌海
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Re: 炮打量子力学中希尔伯特空间框架，呵呵！
对于一个特定的量子力学体系及给定的 Schrödinger 方程， 如果你把注意力完全放在 Schrödinger 方程上，而把态构成 Hilbert 空间这一点视为推论或干脆弃之不理，的确不会妨碍你解决具体物理问题，这也是 working physicists 的通常做法。
但是如果你想讨论量子力学的一般结构，那么试图用 Schrödinger 方程替代或导出态的 Hilbert 空间结构是行不通的。原因在于当你考虑量子力学的一般结构时， Schrödinger 方程中的 Hamiltonian 不是预先给定的，它是一个与具体体系有关的东西。在量子力学的一般结构中对它只能有一个一般性的的描述。这种描述中很重要的一条就是厄密性。但是为了能定义厄密性，你得先引进态的 Hilbert 空间结构，因此态的 Hilbert 空间结构是先于 Schrödinger 方程而不是由后者所导出的。
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| 发表时间：2005-07-16, 18:29:02 |
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元江
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Re: 炮打量子力学中希尔伯特空间框架，呵呵！
明白了，有一个具体的哈密顿量实际上是一个非常强的条件，
因为有了这个具体的哈密顿量，所以薛定锷方程的性质看来
就在手边，随处随时可用。
如果要脱离具体的哈密顿量来一般地探索量子力学的性质，
那么的确从逻辑上来讲那套公设是少不了的。
呵呵，我就算working physist:-)
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| 发表时间：2005-07-16, 18:52:25 |
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元江
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Re: 炮打量子力学中希尔伯特空间框架，呵呵！
这几天想了想，觉得昌海站长的回答还是有毛病的
“如果你想讨论量子力学的一般结构，
那么试图用 Schrdinger 方程替代或导出态
的 Hilbert 空间结构是行不通的。”
到底哪个是更一般的？Schrdinger 方程所代表的
量子力学包括了能态简并和非简并的。而Hilbert
空间里的量子力学是排除了简并能态情况的。
因此，Hilbert 空间里量子力学的“一般性”只是
程式的一般性而不是物理的一般性。
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| 发表时间：2005-07-20, 11:21:08 |
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卢昌海
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Re: 炮打量子力学中希尔伯特空间框架，呵呵！
呵呵，元江兄继“炮打司令部”后又来了个“Empire strikes back”。:)
Hilbert 空间怎么会是“排除了简并能态情况的”呢？
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| 发表时间：2005-07-20, 12:06:06 |
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元江
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Re: 炮打量子力学中希尔伯特空间框架，呵呵！
是这样，我想了一下，Hilbert 空间是个代数结构。有了基，
定义了模，及线性迭加，构成一个线性空间。但是，线性空间
是建立在基上的，而简并是基作为一个子空间存在。这个子空间
不是Hilbert 空间吧？
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| 发表时间：2005-07-20, 13:05:05 |
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卢昌海
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Re: 炮打量子力学中希尔伯特空间框架，呵呵！
:: Hilbert 空间是个代数结构。有了基，定义了模，及线性迭加，
:: 构成一个线性空间。但是，线性空间是建立在基上的
这并不是对 Hilbert 空间的正确描述，Hilbert 空间的定义不需要预先假定基的存在。
:: 简并是基作为一个子空间存在
哈密顿算符的本征值简并与否，并不妨碍在 Hilbert 空间构造基。哈密顿算符只不过是众多线性厄密算符中的一个，一个算符是否存在简并本征值与它所作用的空间是否存在基毫无关系。
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| 发表时间：2005-07-20, 14:10:37 |
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元江
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Re: 炮打量子力学中希尔伯特空间框架，呵呵！
贴错了，让我想想再说：-)
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| 发表时间：2005-07-20, 14:44:16 |
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星空浩淼
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Re: 炮打量子力学中希尔伯特空间框架，呵呵！
1）在某一个特征值的所有简并态构成的子空间中，各个简并态不一定不正交，或者不正交的简并态有时可以正交化；
2）如果存在简并，说明求解时所选用的力学量还不够，没有构成力学量完备集，没有把解中存在的所有自由度都揭示出来。简并态集合中的各个简并态，在相应力学量所对应的自由度面前，是不可分辨的（对称的）。例如，能量对应动量的平方，所以当问题满足空间各向同性对称性时，方向不同但大小相同的各个不同动量状态，在能量算符面前他们是不可分辨的，于是有了能量简并；如果把动量自由度引进来，同时标示动量本征态的量子数，原来同一个能量下的各个简并态此时就可以用不同的动量量子数来区分。如果存在简并，就表明存在某种对称。如果引入外场打破这种对称性，则原来的简并就会消除。群论是研究这些东东的好东东。
3）元江兄首先不妨花一点时间，专门去复习一下Hilbert空间概念，其中要注意“内积”和“范数”的定义不是唯一的，只要满足那些公理就行；懂一些量子力学的数学基础，对深入理解量子力学很有好处。每一门理论的背后，都对应一种数学结构。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-07-21, 23:44:03 |
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元江
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Re: 炮打量子力学中希尔伯特空间框架，呵呵！
谢谢星空的回答。我能理解你说的是什么，
以前我也学过群论什么的，只是细节都忘了。
又有空上来啦？放假了吧？
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| 发表时间：2005-07-22, 09:25:08 |
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星空浩淼
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Re: 炮打量子力学中希尔伯特空间框架，呵呵！
呵呵，我第二段的开头几句话容易引起误解。
总之简并的存在表明存在某种对称性。要完全确定一个态，就要用完备的力学量集合把所有自由度上的量子数（可能是连续的）都揭示出来，使得任意两个态都有一组不完全相同的量子数来区分。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-07-22, 22:13:31 |
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StChenhua
