西门吹牛
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问一个十分严肃的问题！
虽然在物理意义方面，量子力学比电磁场理论更难理解；但是从数学技巧和对内容的掌握上，恐怕后者更难。我发觉不少人在电磁场理论方面并没有融会贯通，甚至一知半解，包括本人:-)
我们知道，在无源的空间，电磁场满足"横条件"：例如，电场的散度为零。但是令我感到奇怪的是，比如一个本身尺寸可以忽略不计的谐振的电偶极子，它产生的电磁场，在源（即电偶极子）的外面，满足"横条件"；然而，电场同时有纵向分量，即有跟传播方向平行的分量。如果对电场求散度，发现散度的确为零。虽然纵向分量随观察距离的增加迅速衰减，但总是存在的，而且在靠近源的距离比较近的地方，纵向分量成为主要分量。
于是我就很疑惑：散度为零的场量，却包含非零的纵向分量！
事实上，我觉得"横条件"是一个误导人的叫法，因为两个矢量内积为零，不仅仅意味着它们可能垂直，也可能意味着其中至少有一个矢量为零。例如在静止电荷的外面，电场散度为零，但电场只有相当于纵向分量的径向分量，因此这时电场散度为零不能称为“横条件”，它是动量（波数矢量）为零所致。在源的外面静电场满足Laplacian方程，而不是波动方程，就因为静电场频率或者波矢为零。
然而，谐振的电偶极子产生的电磁波其频率或者波矢并不为零，却为何它的电场散度为零，却包含非零的纵向分量呢？这从物理上应该如何理解呢？
昌海兄，sage兄...以及其他各位不知对此有何看法？谢谢！
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yinhow
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Re: 问一个十分严肃的问题！
谐振的电偶极子产生的电磁波其频率或者波矢并不为零，却为何它的电场散度为零，却包含非零的纵向分量呢？
这是做近似的缘故. 严格的写出来的话,谐振的电偶极子产生的电磁波是很多项的叠加, 我们只保留主要的.
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| 发表时间：2005-07-31, 02:02:37 |
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yinhow
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Re: 问一个十分严肃的问题！
散度为零的场量，却包含非零的纵向分量！
这是很容易满足的,散度为零的场量,必要条件是它纵向分量的散度为零, 纵向分量不一定非为零.
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| 发表时间：2005-07-31, 02:10:59 |
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西门吹牛
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Re: 问一个十分严肃的问题！
回yinhow兄：
这个跟所作的近似没有任何关系，换句话说，教材中所作的近似并不改变问题的实质。多看几本教材就会明白（有些教材上的近似描述，的确容易给人这样错觉，但实际上跟近似没有关系，可以不采用这种近似而采用其他近似，结果也一样）。
“这是很容易满足的,散度为零的场量,必要条件是它纵向分量的散度为零, 纵向分量不一定非为零.”
我觉得这里可能yinhow兄理解有误，呵呵！
“纵向”就是指传播方向，也就是波矢方向（在球坐标系中，就是径向方向），纵向分量指场沿传播方向上的投影分量。如果场的散度为零，则场的动量方向与场的方向垂直，从而场只有横向分量。所以散度为零的表达式常常被称为“横条件”。
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| 发表时间：2005-07-31, 02:35:34 |
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yinhow
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Re: 问一个十分严肃的问题！
我觉得这里可能yinhow兄理解有误，呵呵！
“纵向”就是指传播方向，也就是波矢方向（在球坐标系中，就是径向方向），纵向分量指场沿传播方向上的投影分量。如果场的散度为零，则场的动量方向与场的方向垂直，从而场只有横向分量。所以散度为零的表达式常常被称为“横条件
我的理解是:
一个矢量A可以分解为两部分, 横向A(+)和纵向A(-),定义为\nabla dot A(+)=0, \nabla cross A(-)=0
如果散度为零,就是0=\nabla dot A(-)=0
这样定义的话,A(-),纵向分量可以存在.
A是单色波(只有一个波矢k), \nabla 等同于波矢k,你的说法都成立.
不是单色波的话,就有问题了.
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| 发表时间：2005-07-31, 05:30:49 |
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西门吹牛
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Re: 问一个十分严肃的问题！
为了问题的简化，上面我只考虑单色波，上面没有说明这点，抱歉。
对于电磁场而言，当场的极化方向与传播方向垂直时，就说场是横场。在这里，为了方便，场量专门指电磁场的场强。
yinhow兄以上补充说明里面的理解没有任何问题，但是前面的回答未能回答我的问题啊！
一个场量，如果它的旋度和散度同时为零，那么这个场量就会为零（常数可以取做零），所以这等效于：如果散度为零，纵向分量就不存在。
而我的问题是，现在电场有纵向分量，但电场的散度却为零！
（需要提醒的是，在球坐标系中，求散度运算的表达式跟在直角坐标中是不同的）
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卢昌海
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Re: 问一个十分严肃的问题！
:: 一个场量，如果它的旋度和散度同时为零，那么这个场量就会为零
:: （常数可以取做零），所以这等效于：如果散度为零，纵向分量就不存在。
一个场量只有旋度和散度同时 _处处_ 为零，才为零。Coulomb 场本身就是一个例子，在 r=0 之外旋度和散度同时为零，但场量不为零（而且还是纵向的 - 这实际上也间接回答了西门兄的问题）。
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Re: 问一个十分严肃的问题！
回昌海兄：
“一个场量只有旋度和散度同时 _处处_ 为零，才为零。Coulomb 场本身就是一个例子，在 r=0 之外旋度和散度同时为零，但场量不为零（而且还是纵向的 - 这实际上也间接回答了西门兄的问题）。 ”
呵呵，我上面回答yinhow兄的帖子有漏洞，的确还存在昌海兄所说的这种情况（用微分几何的语言讲，就是局部同构的，整体性质却不相同：因为一个是单连通，一个是复连通）。
不过我前面的帖子里已经把昌海兄提到的这种情况想到了，即静电场（Coulomb 场）散度为零而存在纵向分量的原因在于：波矢为零。
两个矢量的点积为零，要么是至少有一个矢量为零矢量，要么是两个矢量方向垂直（所以我说“横条件”的叫法有些误导人），昌海兄的例子属于前一种情况，而我的疑问是后一种情况：偶极子天线产生的电磁场，它的频率和波矢并不为零，但仍然有“散度为零却存在纵向分量”的情形出现，这令我迷惑不解！
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| 发表时间：2005-07-31, 08:15:07 |
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yinhow
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Re: 问一个十分严肃的问题！
电场同时有纵向分量，即有跟传播方向平行的分量。
偶级子辐射, 传播方向和波矢方向一样吗? 所谓纵向, 是平行于哪个反向?
或者说, 我把矢量函数FOURIER转换为
A(x,t)=a(K,w)exp[i(kx-wt]dkdw,
A(x,t)有一个方向 a(k,w)有一个方向.
哪个是纵向?
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| 发表时间：2005-07-31, 08:53:15 |
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yinhow
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Re: 问一个十分严肃的问题！
换句话说，教材中所作的近似并不改变问题的实质
这个近似结果取散度不为零, 无穷多项相加才为零.
纵向”就是指传播方向，也就是波矢方向（在球坐标系中，就是径向方向），纵向分量指场沿传播方向上的投影分量。
我以为这个说法不妥, 给定一点,传播方向确定, 波矢方向反向呢? 可能在(k,w)空间讨论物理意义更清楚一点.
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| 发表时间：2005-07-31, 09:06:21 |
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西门吹牛
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Re: 问一个十分严肃的问题！
回yinhow兄：
为了方便，用电场强度为例。纵向电场，指电场强度的矢量方向（正好代表极化方向）在电磁波的传播方向上的那个电场。
我所讲的这些概念，在经典的电磁场理论中属于基本概念，不必想的复杂化了，在谈到“纵场”这些基本概念时，不必借助于电磁势的展开式，更不必借助于QED，那样是小题大做了。电磁势意义上的纵场跟电磁场强度意义上的纵场，有些区别。例如电磁四矢的类时间分量（即电势标量），对应电磁场强度意义上的纵场。在电磁场强度矢量那里，只有三个空间分量，没有时间分量。当然电场和磁场六个矢量可以合成四维时空反对称张量，因为磁感应强度矢量其实是赝矢量。但这里没有必要考虑这个，跟我要问的问题没有关系。
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| 发表时间：2005-07-31, 09:24:01 |
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卢昌海
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Re: 问一个十分严肃的问题！
:: 我前面的帖子里已经把昌海兄提到的这种情况想到了，即静
:: 电场（Coulomb 场）散度为零而存在纵向分量的原因在于：波矢为零。
静电场的波矢并不为零啊？频率为零，但波矢不为零。即使我们撇开这个不论，也可以轻易在任何一个波矢、频率都不为零、且只有横场分量的场分布上迭加一个 Coulomb 场（或偶极、四极等纵向分量不为零的静场），这样合场既符合散度为零的条件，又有非零波矢，且有纵场分量。场在一个点上的散度为零与场在该点是否有纵向分量没有必然关系。
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| 发表时间：2005-07-31, 09:33:05 |
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Re: 问一个十分严肃的问题！
在傅立叶变换下，求散度运算将用点乘一个动量矢量（或波矢）来替代。
光子的传播方向就是它的波矢方向。
我知道yinhow兄的意思。一个电磁波包同时包含无穷多个频率分量，每个频率分量都有自己的波矢分量，那么到底哪个波矢代表这个电磁波包整体的运动方向呢？我只能说，整个电磁波包的整体动量方向代表波包的传播方向（对所有波矢的求和平均），或者说就是玻印廷矢量方向。而我这里为了方便和突出我想问的问题，只考虑单频分量，免得搞乱了我所要问的问题，因为那些东西跟我的问题无关。
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| 发表时间：2005-07-31, 09:42:26 |
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Re: 问一个十分严肃的问题！
回昌海兄：
“静电场的波矢并不为零啊？频率为零，但波矢不为零。 ”
为了方便计，我们考虑Green函数（单位点电荷产生的势）。用球坐标，r代表径向坐标。
波矢不为零时，电场满足赫母霍兹方程，Green函数是exp(-ikr)/r（这里无关紧要的因子略去不写）；当波矢为零时，k=0，Green函数为1/r。后者满足Laplace方程，是通常的静电势。
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| 发表时间：2005-07-31, 09:55:29 |
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Re: 问一个十分严肃的问题！
又回昌海兄；
我所说的“波矢”，是指“波数矢量”，对光子而言，波矢的幅度大小等于光子的频率除以光速。
对于求散度运算，傅立叶变换下，散度运算代之以跟波矢求点积。因此当你说
“即使我们撇开这个不论，也可以轻易在任何一个波矢、频率都不为零、且只有横场分量的场分布上迭加一个 Coulomb 场（或偶极、四极等纵向分量不为零的静场），这样合场既符合散度为零的条件，又有非零波矢，且有纵场分量。场在一个点上的散度为零与场在该点是否有纵向分量没有必然关系。 ”
你说的这种情况，我可以这样解释：假定求散度的那个矢量算子用A表示，而B和C分别是一个波矢、频率都不为零、且只有横场分量的场矢量以及所叠加的库仑静场，则满足A（B+C）=0，但这还是解释为B场的波矢跟B的极化方向垂直，而C场的波矢是一个零矢量。
而我考虑的是偶极天线产生的辐射场，它的波矢、频率都不为零，却有纵向分量，即波矢方向不跟场极化方向垂直，二者点积却为零，并且波矢和场量都不为零。我很想弄清此时应该如何理解。
即使象昌海兄所说的，静电场波矢也不为零，但是两个非零的矢量，彼此方向不垂直，它们的点积却为零，你不觉得很难理解吗？
总之，两个非零的矢量，彼此方向不垂直，它们的点积却为零，这就是我所困惑的。
如果静电场频率为零而波矢不为零，那么就不在质壳上——有动量没有能量！当然你可以说，静电场是用电磁四矢描述的纵场和标场的混合，是虚光子场，所以才有如此特性。但是在经典场论的水平上，我们好象还没有到达这一步，还得不到这个结论。在经典平均的意义上，频率为零意味着波矢为零。
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| 发表时间：2005-07-31, 10:26:03 |
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西门吹牛
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Re: 问一个十分严肃的问题！
当然，你可以说1/r可以用傅立叶级数展开，每个傅立叶分量有动量（非零的波矢），如果这样考虑，那静电场也有非零的频率了，因为我们可以对1/r进行四维时空傅立叶变换，每个分量都有非零的频率。我想这里不应该这样来考虑。
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| 发表时间：2005-07-31, 10:43:41 |
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卢昌海
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Re: 问一个十分严肃的问题！
:: 你说的这种情况，我可以这样解释：假定求散度的那个矢量算子用A表示，
:: 而B和C分别是一个波矢、频率都不为零、且只有横场分量的场矢量以及所
:: 叠加的库仑静场，则满足A（B+C）=0，但这还是解释为B场的波矢跟B的
:: 极化方向垂直，而C场的波矢是一个零矢量。
西门兄确信你最初所问的情形不是这种情形吗？
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| 发表时间：2005-07-31, 10:45:26 |
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西门吹牛
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Re: 问一个十分严肃的问题！
回昌海兄：
不是，因为我所谈的是电偶极子产生的辐射场，不是电偶极子产生的静场。在我所考虑的所有场量里面始终含有一个传播因子：exp(ikr-iwt),k是波数矢量大小（方向沿r方向），w是频率。场满足波动方程而不是Laplace方程。求散度运算时，是对所有这种时变场进行的，没有不含exp(ikr-iwt)因子的静场。
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| 发表时间：2005-07-31, 10:56:01 |
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卢昌海
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Re: 问一个十分严肃的问题！
看来上面的文字说明不足以解决疑问，从西门兄最后一个回帖看，是说偶极辐射的波场（而非静场）部分就有纵向分量，那么就请西门兄把问题稍稍表述得具体一点吧。另外比方说对波场来说：
E 有纵向分量是指 E(x).k≠0 (k 为 x 点处波的传播方向)
从 E 的散度为零可得对所有 k'， E(k').k'=0
这里 E(x) 与 E(k') 是两个完全不同的向量函数。西门兄可否解释一下为什么认为其中有矛盾？
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| 发表时间：2005-07-31, 11:54:56 |
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sage
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Re: 问一个十分严肃的问题！
WOW, so many replies in a day. You guys are too fast for me. I do not have time to go through all the posts. Here is what I think. let me know whether I am just repeating something that everybody knows.
1) let's understand the origin of transverse condition. It is not a gauge condition. we beign with Maxwell equation
\partial_mu F^{mu nu}=j^nu
where j^nu is some source term. for electric field strength, this reduce to
\partial_i E^i = j^0 = source of E
for x not occupied by j^0, partial_i E^i=0--> so called the transverse condifion.
therefore,unlke gauge condition, transverse condition directly follow from equation of motion. it is a property that all the solution should automatically have, rather than being imposed by hand.
2) let see how transverse condition is satisfied for Coulomb potential
In this case,
the E field is e/r^2 * n where n is some direction vector. this clear statisfy transverse condition since \partial_i 1/r^2 n = delta-function, which vanish outside the source (origin).
Now, let's write it in fourier components
E(x)= \int exp(-ikx) E_k,
where E_k= e k/|k|^2, and k* E_k =e \neq 0.
this example shows us that transverse condition on E(x) DOES NOT mean k \dot E_k =0
3) for pure radiation, such as plane-wave, it is true that k \dot E_k =0
4) for dipole radiation, there are two components of E_k, a 'static' piece with k \dot E_k \neq 0 and a radiation piece with k \dot E_k \eq 0 .
on the other hand, as discussed above, both of them satisfy transverse condition outside dipole source.
| 发表时间：2005-07-31, 20:22:00 |
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yinhow
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Re: 问一个十分严肃的问题！
而我这里为了方便和突出我想问的问题，只考虑单频分量，免得搞乱了我所要问的问题，因为那些东西跟我的问题无关。
回西门兄:
偶极辐射不是单频分量吧?
单频,不仅指波矢k的大小确定, 方向也确定.
如果认为偶极辐射的波矢方向平行与坐标r的径向(也就是传播方向), 那波矢方向就不是定方向, 也就不是单频. 这样, 取散度与点乘k就不是同一件事了.
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| 发表时间：2005-07-31, 21:13:11 |
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yinhow
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Re: 问一个十分严肃的问题！
考虑偶极辐射的相因子:exp[i(kr-wt)],这里k是波矢大小,这和单色波的相因子是不一样的,那里是波矢点乘坐标半径r
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| 发表时间：2005-07-31, 21:24:00 |
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西门吹牛
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Re: 问一个十分严肃的问题！
谢谢各位!
回昌海兄:
我的问题是这样的:假如电场强度矢量E用三维空间基矢展开,则E=a1E1+a2E2,其中a1是纵向单位矢量,a2是某一个横向单位矢量,并且纵向分量E1不等于零.现在对空间中除了源点之外的任意一点电场矢量E求散度,发现它等于零.这里是在时空空间中进行的,没有转换到动量空间.
总之,我的疑问是:一个场包含纵向分量,但对它求散度运算时,结果却为零.前面有些帖子只是为了回答yinhow兄的疑问,才用到动量空间表达式描述.
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| 发表时间：2005-07-31, 23:14:41 |
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Re: 问一个十分严肃的问题！
当电偶极子以某一个固定的频率振动时,产生的波是单个频率的,因此在这里只涉及一个向量函数,而没有涉及昌海兄所说的两个不同向量函数.另外,毕竟一般情况下,"横条件"的说法是对的,如果昌海兄的理由成立,会跟传统的一些东西矛盾.
注意求散度运算时,不光是对exp(ikr)中的r求导,还要对场量中所有其他有关r的函数求导.
如果你们愿意继续回答,不妨找电磁场理论的书籍复习一下:-)
回yinhow兄:两个矢量方向平行时,点积就是代数乘积(最多相差一个正负号).
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| 发表时间：2005-07-31, 23:41:11 |
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Re: 问一个十分严肃的问题！
总之,我的疑问是:一个场包含纵向分量,但对它求散度运算时,结果却为零
: 不振荡的电偶极子产生的电场就有你说的性质.
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| 发表时间：2005-08-01, 00:35:31 |
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yinhow
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Re: 问一个十分严肃的问题！
总之,我的疑问是:一个场包含纵向分量,但对它求散度运算时,结果却为零
: 还有一点, "纵向"和"横向"的定义必须明确,
(1)标准的定义, 散度为零的分量是"横向"分量, 旋度为零的分量是"纵向"分量
(2)传播方向是纵分量,垂直传播方向是横分量.
一般来说这两个分量不同
不知西门兄的"纵向分量"是指哪一个定义?如果是(2)的话," 一个场包含纵向分量,但对它求散度运算时,结果却为零",没有矛盾.
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| 发表时间：2005-08-01, 03:56:45 |
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卢昌海
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Re: 问一个十分严肃的问题！
:: 当电偶极子以某一个固定的频率振动时,产生的波是单个频率的,因此
:: 在这里只涉及一个向量函数,而没有涉及昌海兄所说的两个不同向量函数
所谓两个函数，我指的是电场作为空间坐标的函数及其 Fourier 变换后作为波矢的函数，这是两个不同的函数，与波的单色与否无关。我之所以提到这一点，是因为西门兄在 2005-07-31, 10:26:03 的回帖中说 “对于求散度运算，傅立叶变换下，散度运算代之以跟波矢求点积”，这似乎是西门兄认为与 E(x) 具有纵向分量相矛盾的地方，我只是要说明在 “散度运算代之以跟波矢求点积” 的时侯，原先的 E(x) 变成了一个不同的函数 F(k) （不妨干脆用一个不同的函数记号表示，以免误会），因此纵向分量非零为 E.k≠0，而散度为零（对于波场而言）为 F.k=0，两者并不直接矛盾。
顺便补充一下，以上是想说明即使西门兄所说的波场具有纵向分量这一点成立，也无法从上述两个表达式的简单比较中推出矛盾，但波场具有纵向分量这一前提本身可否请西门兄说得详细些？我记得偶极矩的波场是横向的，静场部分才是纵向的，只不过由于偶极矩本身随时间振荡，因此该“静场”表达式中的偶极矩 p 是随时间振荡变化的，西门兄是否因此而将之误认为是波场的部分？从西门兄最初提到的 “虽然纵向分量随观察距离的增加迅速衰减，但总是存在的，而且在靠近源的距离比较近的地方，纵向分量成为主要分量” 来看，似乎正是把 “静场” 部分视为波场的一部分了。如果西门兄提到的纵场是静场部分的话，前面对库伦势的讨论就可以解释西门兄的疑问（这是我 2005-07-31, 10:45:26 的帖子中问 “西门兄确信你最初所问的情形不是这种情形吗？ ” 的用意所在）。
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| 发表时间：2005-08-01, 06:30:45 |
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西门吹牛
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Re: 问一个十分严肃的问题！
非常感谢昌海兄一早起来回帖:-)
1)我明白你说的意思,所以我上面回帖中,让场量都是对应时空中的同一个量,这个量包含纵向分量,对它直接求散度,结果为零;另外需要提醒的是,如果对任何k,都有F.k=0,那么可以证明不可能满足"纵向分量非零为 E.k≠0";
2)振荡的电偶极子产生电磁场,都含有一个乘积因子exp(ikr-iwt).其磁场为横场,而电场包含纵向分量;反之振荡的磁偶极子产生的电磁场其电场为横场,而磁场包含纵向分量.电偶极子产生的电磁场与磁偶极子产生的电磁场之间存在对偶关系,即把电场磁场互换,就从一个得到另一个.
振荡电偶极子产生的电磁场,等于几项之和,除了都有一个乘积因子exp(ikr-iwt)之外,各项分别与源点场点距离r成反比,跟r的平方成反比,和跟r立方成反比.其中在远距离处,主要是跟距离r成反比的项,它们对应通常的辐射横场(自由光子场),而在近处,即r趋于零时,跟r的平方成反比,和跟r立方成反比的项是主要的,它们就是所谓"近场",其中电场的近场有纵向分量.但是近场不辐射能量,平均功率为零.
r趋于零时,exp(ikr)因子可以忽略不计,此时近场除了多了个因子exp(-iwt)之外,跟静态电偶极子产生的电磁场完全一样.
但是我求散度运算时,没有做这种近似,保留了因子exp(ikr-iwt).
下午问了一下星空,他说对于近场,此时要把exp(ikr-iwt)看作相位因子而不是传播因子,近场相当于不同时刻的电偶极子产生的静电场,不同时刻的电偶极子,大小和方向可能都不同,从而产生的静态场大小和相位不同,所以才有因子exp(ikr-iwt)(距离r可以任意给定).因此这本质上仍然相当于横向辐射场与有电偶极子的静态场的叠加,只是这种静态场在不同时刻由不同的电偶极子给定.
最后,星空还以点电荷的静电场为例,解释了静态场为何有纵向分量散度却为零:对静电场强傅立叶展开,所有频率分量的振幅与动量k成反比,再求散度,发现每个频率分量在r上的投影,其投影的大小从负到正均匀分布,结果平均投影为零(除了r=0点,投影符号即相位一致),可以等效于说静电场平均动量为零,所以动量与场极化矢量点积为零,从而散度为零.
只是不知道星空的解答对否?星空说其实昌海兄的回帖已经给出了答案,只是我的回帖反而让你迷惑 ,呵呵!
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| 发表时间：2005-08-01, 07:46:19 |
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西门吹牛
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Re: 问一个十分严肃的问题！
回yinhow兄:
前面的帖子已经讲过:纵向是指电磁波的传播方向;散度为零的场不一定是横场,比如静电场.
我的疑问来自于,含有exp(ikr-iwt)因子的波动场,散度为零却也有纵向分量.
当然通过这次请教,尤其是昌海兄的回答和星空兄的私下回答,我觉得现在已经不是问题了.今晚请星空吃火锅,可惜不能请你们几个,呵呵!
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星空浩淼
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Re: 问一个十分严肃的问题！
这里每一个人的帖子都对我有启发和帮助作用
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虽然现在因为寝室无法上网来得少了，但经常惦记这里，惦记大家。
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yinhow
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Re: 问一个十分严肃的问题！
最后,星空还以点电荷的静电场为例,解释了静态场为何有纵向分量散度却为零:对静电场强傅立叶展开,所有频率分量的振幅与动量k成反比,再求散度,发现每个频率分量在r上的投影,其投影的大小从负到正均匀分布,结果平均投影为零(除了r=0点,投影符号即相位一致),可以等效于说静电场平均动量为零,所以动量与场极化矢量点积为零,从而散度为零.
我算了一下静止点电荷和电偶极子产生的电场的FOURIER展开系数,分别为(不计常数因子)
E(k)=1/k e_k, e_k是k方向的单位矢量
E(k)=(p.k)/k e_(k)
这两个方向都平行于k方向
Wealth in sufficient measure grants its possessors the right to their ensuthisams.
| 发表时间：2005-08-01, 19:26:14 |
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