星空浩淼
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武功等级: 九阳神功
(第五重)
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关于“可积系统”的一个通俗说明以及我的一个idea
一个有N个自由度的Hamiltion系统，如果总可以选择N个广义坐标，使得Hamiltion-Jacobi方程可以分解成N个独立的方程，其中每一个方程只含一个独立变量，那么就可以说这个系统是完全可积的（又称可以完全分解的）。事实上，可积的系统是很少的。
稍微解释一下：
1）对于力学系统，人们总想尽可能地求出它的所有运动积分（即系统的守恒量）。运动积分作为守恒量，对时间求导，结果为零；反过来，如果找到一个量，它对时间的导数为零，那么它就有一个全微分的表达式（这正是“可积”一词的来源，我回轩轩那个帖子已经提到过），同时它对时间的积分是一个常数（这就是为什么不把守恒量叫“守恒量”，而是叫“运动积分”的原因）。
2）然而，并不是所有的Hamiltion系统都存在这种全微分方程，或者说没有运动积分。因此一般的Hamiltion系统分成两类：完全可积的和不可积的。
关于运动积分，分析力学中应该有关于它的定理。结合这个，就会对“可积系统”有比较全面的理解和认识。
我过去的一个想法：
某些非线性系统，存在无穷多个守恒量。所以我曾经有一个想法：如果引力作为非线性理论，也存在无穷多个守恒量，那么如果可以让每一个守恒量吸收一个重整化发散常数，是不是可以解决引力重整化疑难？——尽管现在认为可重整性不再是一个理论的必要条件，但在历史上，引力量子化的最大障碍就是它的不可重整性，因为它存在无穷多个发散常数。在可重整的理论中，发散常数是有限的，可以被质量、荷等吸收。但如果有无穷多个发散常数，人们就不知道该如何对付，所以认为此时属于不可重整的。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-08-11, 22:56:53 |
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星空浩淼
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Re: 关于“可积系统”的一个通俗说明以及我的一个idea
不过，不知道在广义相对论那里，还有没有“守恒”或“守恒量”这种概念，在那里时间空间完全平等、融为一体的吗？（有人认为关于时间算符的问题，只有在量子引力那里才可能真正找到答案，而在这之前的物理学中，一切努力将是徒劳的）
本人认为，或许应该把“守恒”或“守恒量”这种概念进行以下推广：
一个量F对于某个参数q的导数为零，就可以定义成“F对参数q守恒”。
这样的话，就不必总是依赖时间概念了，让时间总是脱不了身，不能真正享受跟三维空间一样的平等待遇。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-08-11, 23:35:36 |
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Alex
