星空与道德
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为什么是Calabi-Yau?
在超弦理论中，时空是十维的，除了正常的4维外，还有很小的6维尺度。这六维空间是Calabi-Yau流形，请问为什么要求是Calabi-Yau，有什么文献？还有从数学上说，这是不是只是一个权宜之计，或者说充分条件，并不是必要的。我的意思是说是不是可能还会有一些不是Calabi-Yau的紧致化同样满足条件？
一门深入
| 发表时间：2005-08-21, 18:50:25 |
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卢昌海
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Re: 为什么是Calabi-Yau?
P. Candelas, G.T. Horowitz, A. Strominger and E. Witten, “Vacuum Configurations for Superstrings”, Nucl. Phys. B258 (1985) 46–74.
or:
M. B. Green, J. H. Schwarz & E. Witten: 《Superstring Theory》 (vol2), chapter 14 & 15.
宠辱不惊，看庭前花开花落
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| 发表时间：2005-08-21, 20:52:44 |
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星空与道德
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Re: 为什么是Calabi-Yau?
谢谢昌海兄！
这个问题是源于一个Calabi-Yau的mirror pair不一定作为Calabi-Yau存在，在几何范围内很难解释这点，所以我觉得Conformal field theory才是正途。但他们之间的对应恐怕是个很难的问题，什么样的Conformal field theory才能用Calabi-Yau几何实现。路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
一门深入
| 发表时间：2005-08-22, 01:07:32 |
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卢昌海
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Re: 为什么是Calabi-Yau?
你是说一个 calabi-yau 的 mirror manifold 有可能不是 calabi-yau 吗？这对于 string theory 中的 mirror symmetry 似乎不太妙。这是在什么文献上看到的？
Conformal symmetry 在 string theory 中扮演着很重要的角色，本就算是正途，calabi-yau compactification 也是部分地来源与此。
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| 发表时间：2005-08-22, 06:29:20 |
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星空与道德
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Re: 为什么是Calabi-Yau?
你是说一个 calabi-yau 的 mirror manifold 有可能不是 calabi-yau 吗？这对于 string theory 中的 mirror symmetry 似乎不太妙。这是在什么文献上看到的？
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在Yau编辑的Mirror Symmetry I（或Essays on Mirror Symmetry)中,有一篇Vafa的
Topological mirrors and quantum rings,
其中的观点认为从这些rings的角度来理解Mirror Symmetry，他提到Topological Landau-Ginzburg model，我不懂这些。但有一个例子是这样的，
我们知道存在rigid Calabi-Yau(h^{2,1}=0),按照Mirror Symmetry的要求，他的mirror应该满足h^{1，1}=0,但是对Calabi-Yau来说，他没有global 1-form,加上h^{1,1}=0,所以它不是Kahler manifold，这样问题很麻烦。 在这个意义上，我们说他没有mirror.
Vafa 的方法是用Laudau-Ginzberg theory 来找到更广意义下的Mirror.
现在数学上有两套Mirror Symmetry的猜想，一个是S-Yau-Zaslow,一个是 Kontsevich的Homological mirror symmetry.另外有拓扑学家在研究Topological Conformal field theory.
所以我迷失了，因为从几何的观点来看，我们不能局限在光滑流形的范畴，Orbifold一定会出现。再加上上面的nonKahler问题,我渐渐倾向于Vafa说的，要从代数的角度去看，并不一定真的需要Geometric mirror.而一个很大的问题是什么样的代数理论会有几何实现（Calabi-Yau)存在。
扯远了，有兴趣的话一起想想。
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Conformal symmetry 在 string theory 中扮演着很重要的角色，本就算是正途，calabi-yau compactification 也是部分地来源与此。
但在数学上，Conformal field theory现在还是一片朦胧，所以几何学家想不用这个来做Mirror symmetry。
一门深入
| 发表时间：2005-08-22, 15:13:20 |
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