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轩轩

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第21章克尔解

相对论通俗演义21 （草稿）
第21章克尔解
（1）
如果有一天，你可以象钱德拉塞卡一样，坐在从印度到英伦的邮轮之上，在夕阳的红晕之下远行，带上一本钱德拉的书，在漫漫旅途里欣赏海鸥在天边飞行，你也许会惊叹，世界竟然有如此美妙的风景，你也许同时会惊叹，每一只海鸥是死去水手的灵魂。翻开钱德拉塞卡的书，《黑洞的数学》前面的一页里印着两张照片。其中一张照片是史瓦西的，另外一张就是克尔的。如果问1963年以后的相对论工作者，从1916年广义相对论诞生到1963年，最激动人心的事件是什么？？？答案当然是克尔解的发现。虽然爱因斯坦曾经说过，想象力最重要。想象力在某些时候比知识更加重要，知识在大多数时候比技巧要重要，但1963年之前的相对论研究，已经严重缺乏想象力了，同时寻找爱因斯坦方程的轴对称解答，需要的是专业知识和高超的数学技巧。
1963年有一个相对论专家和天体物理学家的交流会，这个交流会共七天，每天从早上8：30到凌晨2：00，Kerr是新西兰数学家，他在那里做了一个10分钟的演讲，他一上台，天文学家和天体物理学家们就没剩几个，剩下的，也都在小声讨论自己的话题，还有的就是在打瞌睡。Kerr的工作无非是报告了自己发现的一个新的爱因斯坦方程的解答。这是三十年来众多人跌倒的地方。Kerr的解，描述了黑洞作为一个定向陀螺如何带动周围的时空旋转。这的确是相对论历史上少有的真正意义上的进步，这个解是稳态，不是静态的，也就是说，在kerr解中，你无法找到一个类时的killing场，它是超曲面正交的。你如果找到一个类时的矢量场，它在kerr时空之中，它能够超曲面正交，那么很抱歉，它一定不是killing场。
所以，克尔时空有一个致命的特点，那就是旋转星球的外部时空，不可避免地被星体所拉动，这看上去，非常象一个旋涡。

因为大多数的星体总是在转动，于是就有角动量，这样的时空，假如转动不能忽视的话，那么它的解显然不能用史瓦西解来研究。所以，克尔解的现实意义是巨大的。
在这个解里，因为存在着相互对易的2个凯林矢量场，这2个矢量场是等度量群的生成元。所以说，它的等度量群是一个阿贝尔李群。
自由落体运动是伽利略最喜欢的，在相对论中，它同样是受到所有人的青睐。虽然一般的自由粒子只要一带有质量，必然引起周围时空的扰动。但这个扰动的因素是可以忽律的，于是我们考虑在固定背景之下的测地线方程。当然这显然是物理的，但不是数学的。如果万事追求拉普拉斯在行政机关当官时候的无穷小精神，那么这个粒子对时空的扰动是要考虑进去的。这件事情盖罗奇写过一个文章，无非是把一个世界线看成一个世界管，然后做一些数学的处理，但完全有吃力但不讨好的嫌疑，因为这对相对论家们来说，是太物理了。当考虑在kerr时空外部有一个粒子做自由落体运动，也就是走测地线的时候，人们已经不在乎这个粒子对时空的扰动，我们如何来解出这个测地线。我们需要运动常数来列出方程。对于kerr时空来讲，最重要的性质之一在它那里存在一个killing
张量。这个killing张量是一个（0，2）型的张量。它的存在，将使得kerr时空中的自由下落粒子，沿着这个粒子的世界线看，它的能量是运动常数，它的角动量是运动常数，它的质量是运动常数，还有一个运动常数就是这个killing
张量场与粒子的四速的平方相互缩并得到的，penrose称之为carter常数。卡特是相对论研究中的一个著名人物，他和罗宾逊等人研究kerr黑洞，非常入迷，后来他们发现了比较著名的黑洞无毛定理：渐近平坦的稳态黑洞必然是克尔——纽曼黑洞。也就是说，稳态的黑洞，只可能有三个自由参数，一个是质量，一个是电荷，一个是角动量。罗宾逊是英国派的绅士，他在彭罗斯的扭量刚出来的时候，起过历史作用。但他和卡特的工作无非是一系列数学，比如说轴对称黑洞必然是稳态的，但一个巨大的数学问题是稳态黑洞是不是一定是轴对称的。
所以，黑洞无毛定理是一个著名的结论。当然，前提是渐近平坦并且是稳态黑洞，对于一个非常一般的黑洞，这个定理是不成立的。这似乎很好理解，对于一个一点对称性也没有的黑洞，它显然能带有很大的任意性，也就是说，它可以有许多毛。于是有的文章考虑带非阿贝尔场的黑洞，各式各样的黑洞大家全考虑了。所有这些事情，全部的基础是克尔对旋转黑洞的解。所以新西兰也是小国，但有好的数学家。一个好的数学家，能够为很多数学家提供饭碗。
无毛定理，英文是“NO hair
thorem”。这不表示黑洞是一个光头，但确实表示，黑洞是世界上最简单的事物。按照中国人的逻辑，也许黑洞无毛定理最好改名叫“三毛定理”，因为稳态黑洞正好有三根毛：质量，电荷，角动量。
(2)
具有电荷的旋转黑洞非常象一个质子，但它必然比质子大，因为形成黑洞有一个质量下限，那就是奥本海默质量下限，大概是2到3个太阳质量。也就是说，在经典广义相对论中，不能把质子想象成为一个黑洞，因为两者在尺度上，是具有天壤之别。但带有电荷的旋转黑洞是最普遍的，这就是克尔——纽曼黑洞。
克尔——纽曼黑洞是最普遍的黑洞，也就是是说，在星体旋转的时候，它的外部不是真空的，而是有电磁场。这个时候，叫做电磁真空，
时空的标量曲率是零，但时空的黎曼曲率不是零。克尔——纽曼时空的标量曲率为零，原因当然是因为电磁场是光子场，光子是零质量的。所以无质量场的能动张量总是没有迹的。能动张量无迹也是这个场具有共形对称性的条件。共形对称性是比等度量对称性要宽松一点的要求，它不一定要求矢量保长，而只要求矢量与矢量之间的夹角能在这个变换下保持，所以又叫保角变换。一个场由一个能动张量刻画，如果时空存在一个凯林矢场，那么这个能动张量和某个类时矢量场缩并可以得到一个矢量场，它可以看做是一个流，假如要求这个流是协变守恒的，我们会发现，这个类时矢量场必然是一个凯林场。如果这个类时矢量场是共形凯林的，那么只要能动张量是无迹的，刚才构造的流就依然是协变守恒的。协变守恒流的存在不依赖于观察者，也就是说与参考系是没有关系的，于是显得很优美，所以假如在广义相对论的框架下来看经典场，甚至于看量子场，是非常优雅的。盖罗奇在1970年代在芝加哥大学给学生讲量子场论，后来流传出一本讲义来《special
topic on particle
physics》。这本讲义写得很优美，对于喜欢几何语言的相对论研究生，这本讲义简直就是粒子物理的研究生眼睛里的温伯格的《引力论和宇宙论》。

克尔——纽曼黑洞具有电荷和质量，但这里面还有无穷的奥秘，一个很奇怪的事情是出现了，假如这个黑洞的电荷或者角动量远远大于它的质量，那么黑洞的奇点就要裸露出来。假如真的存在这样的黑洞，那么对于人类来说是很危险的，因果性被很严重的破坏。因果性是我们这个人类世界合理的基础。因为裸露的奇点它要吞噬周围的物质，是没有预兆的。这有点象热带丛林沼泽里的鳄鱼，突兀地吞噬前来戏水的羚羊。单说电荷，在直观上，我们似乎没有能力要求一个黑洞的电荷不能远远大于它的质量。这就是一个荷质比的问题，对于基本粒子，我们可以用磁场来研究运动的带电粒子的荷质比，可以想象，一个粒子的荷质比越大，它在磁场中走的圆周的曲率也就越大。这个是简单的高中物理就可以解释的，也就是洛仑次力提供粒子的向心力，那么荷质比正比于圆周的曲率。但对于黑洞来说，这个荷质比似乎要满足一定的限制，你不能太大，太大了，黑洞的奇点就裸露出来了。
裸奇点看来是一个糟糕的事情，因为这样的奇点的可以突然吞噬对黑洞外的事物。设想一下，你正在看的一本书，突然消失。这似乎很诡异，但裸的奇点，它的外面没有视界包裹，象一个裸女没有衣服，让相对论专家对它既爱又怕。彭罗斯猜测，裸露的奇点不应该在自然界出现。这就是著名的宇宙监督假设：上帝禁止裸奇点。
对于微分几何学家来说，彭罗斯的猜测无非是一组艰深的微分方程。谁能够解决这个猜测，谁就能够名垂青史。但彭罗斯本人也无法解决这个问题，所以这无疑是一个非常困难的题目。
克尔——纽曼时空是最普遍的时空，当我们考虑一个有质量的粒子在这个时空背景里自由下落的时候。情景是非常有意思的，因为这个粒子象是一个石头是在进入一个旋涡，而不是进入一个平静的水面。最简单的和谐出现在牛顿引力里，我们动能和重力势能之和是总能量E=mv^2/2
- GMm/r 如果
E< 0 ，轨道是椭圆
E= 0 ，轨道是抛物线
E> 0 ，轨道是双曲线

在牛顿引力里，这个空间轨迹是在平面内的，它们全是一个平面截取一对圆锥以后的结果。束缚的空间轨道椭圆是封闭的，这背后是因为龙格—楞次矢量的存在，这个矢量在相对论中可以被认为就是卡特的凯林张量。
从最普遍的广义相对论角度来看，这个粒子的世界线当然是克尔——纽曼黑洞的测地线，当然它对应有一组沿着这个世界线的不变的运动常数。如果这个测地线要被唯一确定下来，我们至少需要四个运动常数。

既然广义相对论中没有天然的时间概念，那么我们如何才能说明一个粒子的运动常数，或者说守恒量。这个问题的答案是，我们要求存在一个量A，A如果沿着粒子的世界线的仿射参数求微分保持不变，那么我们称A为运动常数。我们知道，在非相对论中，一个自由粒子的哈密顿量是它的动能。也就是它三动量的平方。我们是把广义相对论中一个自由粒子的哈密顿量当作是它的静止质量的平方（三动量的平方减能量），这个运动常数可以看做是度量张量作为一个凯林张量产生的。这是一个广义相对论性的哈密顿量。在广义相对论中，一个自由粒子的哈密顿量是什么？？？我们称之为世界线哈密顿。任何一个相空间上的函数，对世界线仿射参数或者说固有时的变化，等于这个函数与世界线哈密顿的泊松括号。

在克尔—纽曼时空之中，粒子的运动常数或者说首次积分是粒子的能量，粒子的角动量和粒子的质量（其实是粒子质量的平方）。这样就有了三个运动常数，如果只有这三个运动常数，我们要确定粒子的轨道，必须做特殊的处理，就是让粒子在赤道平面内运动。但对于一般的粒子，这个条件是无法满足的，于是卡特开始了他的重要工作。
卡特是相对论领域的英雄人物之一。1973年他和巴丁和霍金的文章《黑洞动力学的四个定律》完全的刻画了克尔黑洞各个参数之间的联系。也就是说，在克尔黑洞的三个毛之间，是有相互的内在联系的。而早在1968年卡特对克尔时空的深入研究得到结论，发现这个时空中存在着一个特殊的凯林张量。所谓凯林张量无非是凯林矢量的推广。因为用凯林矢量和粒子的四速缩并我们可以得到运动常数。用凯林张量与粒子的四速缩并同样得到运动常数。在克尔——纽曼时空存在的凯林张量使得卡特得到了第四个运动常数，这使得在这个时空中的测地线是可积的。卡特的文章发表在德国的《数学物理通讯》上，时间是1968年，这个时候中国刚刚进入文化大革命，毛泽东天安门接见百万的红卫兵，显然在中国没有人可以理解卡特的文章。
彭罗斯把第四个运动常数称为卡特运动常数。他当然能理解卡特的工作，1972年他本人和hughston，p.sommers以及walker合作，用旋量分析的方法，重新证明了卡特的结论。彭罗斯的杰出才能得到了再一次的验证。所以彭罗斯是旋量分析的一代宗师，而中国在那个时代，恰恰缺少人能够跟上彭罗斯的步伐。
彭罗斯从大学四年级开始就对相对论做出贡献，那时候他得到彭罗斯图。在他的博士论文里他用loop图来表示旋量计算，后来被loop量子引力的一派所借鉴。他证明了奇性定理，极其早的和数学家们一起推动扭量计划，他提出宇宙监督猜测，有彭罗斯质量的定义……
在爱因斯坦时代黄昏的余晖下，最凄美的画面是彭罗斯走在牛津大学的林荫道上，慢慢老去……

我无知到了只懂相对论了。http://zhangxuanzhong.blog.edu.cn/
《相对论通俗演义》

i will love you till the null infinity.

发表时间：2005-08-21, 22:19:53