星空与道德
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当今数学热门课题（大家补充）！
我只能列出我稍微熟悉一点的方向，还有一些个人的解释。
Gromov-Witten 不变量
来自于辛几何，起源于Gromov那篇经典的文章。真正的进展是Witten的工作，以及后来很多人的努力，包括Y. Ruan, Kontsevich&Manin, Gang Tian, Fukaya, Jun Li, Eliashberg, Ionel&Parker，K. Liu 等等。其中值得注意的是Jun Li&Gang Tian定义了Virtual fundamental class,使得Gromov-Witten不变量可以在一般的辛流形上定义（以前只能对某一类辛流形有定义），并且定义了代数的Gromov-Witten不变量.在这基础上，后来有人推广了Atiyah&Bott的Localization到这种情形下，并结合Kontsevich的想法，使得具体的计算成为可能。
Selberg-Witten 不变量
我不懂
Donaldson polynomial
70年代末，ADHM等人构造了S^4上的instanton的模空间, 在对这个例子的计算中可以看到一些Cobodism的痕迹。Donaldson首次利用4流形上的这个模空间构造了一个4流形到#CP^2(n copies)的Cobodism, 后来他在模空间上对一些特殊的微分形式积分，得到了多项式不变量。具体的很长，可以看他的那本4流形的几何学。
一门深入
| 发表时间：2005-08-28, 15:24:32 |
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星空与道德
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
续----------------
Mirror Symmetry
其中有
A_{infinity} algebra, Fukaya Category,
Floer Homology（用来解决了Arnold Conjecture,有很多推广形式),
Derived Category of coherent sheaves(据说是描述D-branes的正确数学语言，呵呵),
Special Lagrangian submanifold,
Deformation Quantization(Kontsevich的研究方向，忘了最早提出来的人的名字了，不过他曾经用这个做过Index定理的推广)
有一件事情很有趣，如果你在教室门口听到里面在讲Calabi-Yau的模空间，那你千万不要认为那是数学讲座，几乎可以肯定地说，那是物理系讲座，因为还没有数学家可以这么自信的说这个模空间存在（或者到底怎么定义），更别说他是什么样子的。
Hodge Conjecture
这是七个百万美金问题之一，其他的有Riemann Hypothesis,BSD Conjecture,Yang-Mills Theory,Poincaré Conjecture,NP,Navier-Stokes Equations.
一门深入
| 发表时间：2005-08-29, 10:43:49 |
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轩轩
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
Calabi-Yau的模空间？？？
是什么方程的模空间的？？？？？？？
我无知到了只懂相对论了。http://zhangxuanzhong.blog.edu.cn/
《相对论通俗演义》
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萍踪浪迹
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
有一件事情很有趣，如果你在教室门口听到里面在讲Calabi-Yau的模空间，那你千万不要认为那是数学讲座，几乎可以肯定地说，那是物理系讲座，因为还没有数学家可以这么自信的说这个模空间存在（或者到底怎么定义），更别说他是什么样子的。
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物理学家的胆子有时候大于数学家
Calabi-Yau在物理学上的应用更能激起人们的遐想
所以物理学家往往先斩后奏
就像当年的Dirac函数一样
Hodge Conjecture
这是七个百万美金问题之一，其他的有Riemann Hypothesis,BSD Conjecture,Yang-Mills Theory,Poincaré Conjecture,NP,Navier-Stokes Equations.
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Yang-Mills Theory，说的太笼统
实际上这里的问题是一个能隙的存在性问题
漫漫长夜不知晓
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痴心未悟拈花笑
梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2005-08-30, 00:45:28 |
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星空与道德
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
Calabi-Yau的模空间？？？
是什么方程的模空间的？？？？？？？
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一般意义上的模空间不是某一个方程的解空间，它可以用内蕴的方式定义，特别是代数几何上的情形，模空间是跟模函子（Moduli functor）密切相关的，现在更是抽象，直接从Category出发。这样会涉及到存在性问题。其实可以看看genus固定的Riemann面的模空间，就知道这里是什么意思了。
一门深入
| 发表时间：2005-08-30, 10:33:27 |
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星空与道德
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
续----------------
还有一些方向
Motive
大概是Grothendieck最先提出来，当时为了解决Weil Conjecture,但一个成熟的数学家知道，为了解决问题而解决问题是没有前途的，很多问题背后是有理论依据的，用一套孤立的方法来解决一个问题是迟早要被淘汰的，所以Grothendieck兄就在找Weil猜想背后的整套理论体系，使得这个猜想只是他的一个小推论。这个目标至今没有实现，Deligne的证明在G兄看来可能不过是权宜之计，并没有真正解决问题，所以他在1968年说代数几何的当务之急是证明Resolution of singularities以及他提出的Standard Conjecture(关于Algebraic Cycle的）。
Resolution of singularities，这是一项宏伟的工作，特征0的情形被日本数学家Hironaka在60年代初证明，就是那个号称逻辑结构最复杂的证明，一个证明就拿了Fields Medal。特征p的情形大概只证到3-fold。现在还是很多人在想办法简化Hironaka的证明，但一直办不到。
Standard Conjecture，现在风风火火的，就是所谓的Motive理论，G兄说它是代数族算术性质的基本理论。
一门深入
| 发表时间：2005-08-30, 11:22:01 |
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轩轩
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
道德兄已经搞到动机理论了？？？好！！~~
genus固定的Riemann面的模空间，就知道这里是什么意思了？
这个话大概是什么意思？？？genus固定的Riemann面是不是惟一的？？？难道不是唯一的？？？thanxmm上次给我讲了点代数几何里的degree-genus公式，我现在有点忘记了……
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| 发表时间：2005-08-30, 20:20:32 |
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萍踪浪迹
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
genus固定的Riemann面是不是惟一的？？？难道不是唯一的？？？
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翻旧帖偶然发现这个问题
回答是：不唯一。
亏格固定的Riemann面依参数归类形成成模空间
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-02-27, 15:45:15 |
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季候风
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
现代人谈模空间谈得太多，以至于把模空间的祖宗 Riemann 都忘了，哈哈
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-03-01, 23:08:40 |
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萍踪浪迹
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
哈哈，说得是
没有Riemann的参模理论，我们后代不知道又要摸索多少年了~
现在人们关心的是Calabi-Yau模空间上的Weil-Petersson metric 之类的概念了~
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痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-03-02, 06:33:39 |
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季候风
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
能不能顺便讲一下这个weil-Petersson metric? 曲面的模空间上也有这个度量，但是它的最常用的定义要用到 quadratic differential。 这个东西在高维似乎没有类似物吧。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-03-02, 13:00:52 |
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萍踪浪迹
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
能不能顺便讲一下这个weil-Petersson metric? 曲面的模空间上也有这个度量
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Teichmuller空间上也有这个度量，我研究不深，最近正在试图全面了解一下
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-03-02, 13:20:16 |
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gage
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
special Lagrangian属于鸡肋那种，有点意义，但不大。不能列入热门课题。
Domic Joyce是这个方面的老大，Donaldson的学生。
从拓扑的角度看，special Lagrangian没有slice定理。
另一方面，Mclean有一篇文章，完全弄清楚了special Lagrangian的形变，即模空间的维数由其上的第二个betti数，具体表示可以由其调和形式给出。后来，Hitchin由此出发，搞了一套理论，其中有一个对称性。Hitchin自己称之为Mirror symmetry, 宣称给出了mirror的正确理解，里面还用到一个怪古稀奇的概念，叫做gerbe. 其实，这个根本不可能是真正的mirror symmetry. 大伙被Hitchin忽悠了一下，认清形势，都不往这边靠拢了。
Hitchin是Donaldson的老板，他觉得自己对付不了，就把Atiyah叫上两人一起切磋Donaldson. Hitchin前几年(2003)又搞了个东西，也是号称mirror symmetry, 名字大概叫做generalized complex-symplectic geometry.现在有一些人在研究，今天刚听过一报告。
special Lagrangian的奇点相当复杂，Joyce 为了搞清楚最简单的锥形奇点，花了5篇长文来进行讨论，最终只给出了带有锥形奇点的special Lagrangian模空间的维数。进一步的研究，谁也不知道该做些什么。所以现在做这个的人很少。Joyce自己也不大作了，换方向了。
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
| 发表时间：2006-06-23, 13:25:02 |
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gage
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
Gromov-Witten 不变量
来自于辛几何，起源于Gromov那篇经典的文章。真正的进展是Witten的工作，
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这句话，一定是从书上看到的。口头流传的是，“真正的进展是Ruan-Tian的工作”。
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
| 发表时间：2006-06-23, 13:50:12 |
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gage
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
有一件事情很有趣，如果你在教室门口听到里面在讲Calabi-Yau的模空间，那你千万不要认为那是数学讲座，几乎可以肯定地说，那是物理系讲座，因为还没有数学家可以这么自信的说这个模空间存在（或者到底怎么定义），更别说他是什么样子的。
=====================================================不会吧。模空间，不要搞得很高深，不就是把某些东西放到一起构成一个集合吗？把拓扑相同的Calabi-Yau流形放到一起，就是其模空间，只不过这个集合中单个的点就是一个流形而已。当然这个集合需要一个拓扑结构。
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
| 发表时间：2006-06-23, 13:55:42 |
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windowsxp
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
谈谈目前我对模空间的理解：
给定一个流形，和一类几何或代数结构比如黎曼度量，复结构，辛结构等等。
其上可能存在很多的几何结构，也可能不存在。不存在是因为空间有拓扑障碍。
如果流形对于一类结构没有拓扑障碍，则该流形所有可能的几何结构构成一个非空集合，该集合就是该流形对于该类结构的模空间。这个模空间可能很大，有很多冗余的自由度，一般研究它的商空间，就是把模空间中等价的元素看作一个元素所得到的集合。
等价的结构在数学上没有研究价值，所以通常的模空间都是指取商之后的等价类。
如：
一个流形上所有黎曼结构的在等距同构（射影同构，共形同构）下的等价类，
一个流形上所有复结构在全纯同构下的等价类
一个流形上辛结构在辛同构下的等价类
一个向量丛上所有仿射联络构成的等价类
等等
这些结构的存在性在坐标表示下，有可能等价与一个微分方程的可解性，此时模空间就和该微分方程的解空间有一定的联系了。
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-24, 06:02:41 |
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kanex
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
模空间定义不难，拓扑很麻烦。
看AG的情况就知道，没有好的拓扑很难干活。
Récoltes et semailles
| 发表时间：2006-06-25, 14:45:22 |
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Re: 当今数学热门课题（大家补充）！
：：把拓扑相同的Calabi-Yau流形放到一起，就是其模空间，只不过这个集合中单个的点就是一个流形而已。
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模空间的限定要强过拓扑限制，就是说比单纯的拓扑要精细很多。
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-06-26, 11:49:26 |
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