轩轩
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前n项数列求和
每项为exp（n^2) *n^3/2
中间的*是乘号
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《相对论通俗演义》
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| 发表时间：2005-08-31, 08:55:45 |
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yinhow
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Re: 前n项数列求和
如果是exp[-n^2]*n^(3/2), 可以化为积分估算.
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| 发表时间：2005-08-31, 21:07:18 |
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轩轩
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Re: 前n项数列求和
如果是exp[-n^2]*n^(3/2), 可以化为积分估算
how to calculate?
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| 发表时间：2005-08-31, 21:09:37 |
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yinhow
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Re: 前n项数列求和
漏了一点, 无穷求和的话, 约等于:
Integrate[exp[-x^2]*x^(3/2),{x,0,Infinity}]
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| 发表时间：2005-08-31, 21:13:39 |
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yinhow
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Re: 前n项数列求和
这种"发散数列"，难得是精确求它的发散程度，有的我知道形式，但不知道怎么算。譬如说：
1:1+2+3+....+n=1/2*n^2+1/2*n(幂级数发散)
2: 1+1/2+3/1+....1/n=logn+a(0)+a(1)1/n+a(2)1/n^2+....(对数发散)
a(0)=\gamma
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| 发表时间：2005-09-01, 02:34:20 |
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yinhow
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Re: 前n项数列求和
还有:
1+2^(-1/2)+3^(-1/2)+...+n^(-1/2)=2n^(1/2)+a(0)+a(1)n^(-1/2)+a(2)n^(-3/2)+....
更一般的:
1+2^(-x)+3^(-x)+....+n^(-x)=1/(1-x)n^(1-x)+a(0,x)+a(1,x)n^(-x)+a(2,x)n^(-x-1).....,0<x<1
如何得到a(n,x)的明显表达式?
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| 发表时间：2005-09-02, 06:41:06 |
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yinhow
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Re: 前n项数列求和
另外一种是交替求和:
1-2^(-x)+3^(-x)-....+(-1)^(n-1)n^(-x)=(1-2^(1-x))\zata(x)+b(1,x)n^(-x)+b(2,x)n^(-x-1).....,0<x<1
求b(n,x)的表达式
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| 发表时间：2005-09-02, 07:45:14 |
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yinhow
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Re: 前n项数列求和
一路灌下去:
1+1/2+3/1+....1/n=logn+a(0)+a(1)1/n+a(2)1/n^2+....(对数发散)
这里:
a(1)=1/2, a(2n)=-B_{2n}/2n,a(2n+1)=0, B_{2n}is the Bernoulli number
推广的问题是:
Sum[Exp[2\pi ky]k^(-x),{k,1,n}]=a(0;x,y)+a(1;x,y)/n^(x)+a(2;x,y)/n^(x+1)+....
a(n;x,y)的形式是什么?
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| 发表时间：2005-09-03, 04:00:28 |
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萍踪浪迹
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Re: 前n项数列求和
眼晕了@-@
漫漫长夜不知晓
日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑
梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2005-09-03, 04:25:55 |
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yinhow
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Re: 前n项数列求和
1+2^(-x)+3^(-x)+....+n^(-x)=1/(1-x)n^(1-x)+a(0,x)+a(1,x)n^(-x)+a(2,x)n^(-x-1).....,0<x<1
一个猜测是：a(0,x)=\Zeta(x),0<x<1，这样就与Rieman Zeta函数联系起来．
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| 发表时间：2005-09-03, 04:33:20 |
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追忆
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Re: 前n项数列求和
::这种"发散数列"，难得是精确求它的发散程度，有的我知道形式，但不知道怎么算。譬如
::说：
::1:1+2+3+....+n=1/2*n^2+1/2*n(幂级数发散)
不会吧？！yinhow老师疑问在哪呢？这个怎么看上去与那个以前中学时代见到的高斯算的那个求和是差不多的（？）。
就是1+2+3+4+........+(n-1)+n=1/2[(n+1)*n]=1/2*n^2+1/2*n
句是第一项与最后一项两两配对相加求和就是了（我有看错吗？）
::2: 1+1/2+3/1+....1/n=logn+a(0)+a(1)1/n+a(2)1/n^2+....(对数发散)
::a(0)=\gamma
这个地方老师有写错吗？第三项应该是“1/3”而不是“3/1”，对么？
青山隐隐水迢迢，秋尽江南草木凋；
二十四桥明月夜，玉人何处教吹萧？
| 发表时间：2005-09-03, 06:46:52 |
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yinhow
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Re: 前n项数列求和
不好意思, 笔误. 多谢追忆兄指正!
我不知道算的是第二个, 对数发散的.
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| 发表时间：2005-09-03, 06:53:58 |
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Re: 前n项数列求和
上面有几个其实是老师在下面写的形式的特殊形式，也就下面是推广了。
以前有见过一些求数列前N项和的方法是采用构造一个涵数的方法将其和形式得出来，这个一些中学时代做过相关的习题，不过上面几个暂时未见过，如果有兴趣的话建议老师不妨试试。只是一个方法，我也不知道有用与否。
例如这个：
::（引）更一般的:
::1+2^(-x)+3^(-x)+....+n^(-x)=1/(1-x)n^(1-x)+a(0,x)+a(1,x)n^(-x)+a(2,x)
::n^(-x-1).....,0<x<1
可以设取涵数f(n，x)=n^(-x)，（其中n为自然数），然后取其在定义域0<x<1内为对象，分析这个涵数递增与递减性质，看是否有什么收获。（其实这个又看上去与冥涵数十分的类似）然后再来第二步：求其同一指数而不同底数的前n项和：
即：f(1,x)+f(2,x)+f(3,x)+..........+f(n,x)=？
这个结果一出，上式右边的那一半也就好办了，对比一下，a(x)的表达式自然可求出。
BTW:经常在一些数学等式中见到一些这样的符号：“ _ ”，就是两个数字之间用这种符号相连，请问是什么意思啊，哪位朋友能说明一下，以前见的少。
老师上面也有个式子出现了这样的符号。
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| 发表时间：2005-09-03, 07:13:01 |
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yinhow
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Re: 前n项数列求和
潘承桐的解析数论中有部分求和的方法, 用来估算一些数论函数的渐进形式.
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| 发表时间：2005-09-03, 20:11:44 |
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