HPC
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角动量与Helicity的共同本征函数
在概念上这倒是一个很简单的问题，但是当我着手做的时候，去计算明显的共同本征函数的时候，似乎问题不是那么简单，这当然一方面来源于我对偏微的不够敏感，另一方面也许技术上不是那么的trivial，如果不信，可以简单的try一下：）. 这也使得我认为这个简单的问题估计没人做过，为了向高手讨教，特把问题说清楚：
我们发现
p_1L_1+p_2L_2+p_3L_3 ,
L^2
L_3
是相互对易的，其中P是动量算符，L是角动量算符。试求他们的共同本征函数。
这个表象不象通常的位置表象，动量表象那么有名气，目前无名无姓，但我认为这个表象很重要。：)
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| 发表时间：2005-09-07, 10:00:12 |
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星空浩淼
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Re: 角动量与Helicity的共同本征函数
1）角动量与Helicity的对易子，并不等于角动量与动量的对易子。
2）动量算符与角动量算符并不对易，这在poincare代数中是常识啊！
有些球坐标系中的物理问题，常常用角动量本征态，你不妨参考一下。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-09-07, 10:15:54 |
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HPC
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Re: 角动量与Helicity的共同本征函数
你可能误解了，我没有说螺旋度与角动量的对易子等于动量与角动量的对易子。
我上面写的第一个算符就是Poincare Lie algebra的Pauli-Lubanski spin vector operator 的时间分量。
我当然用球坐标，呵呵，但是球完角动量再去弄螺旋度似乎就不好弄了：）
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| 发表时间：2005-09-07, 10:29:09 |
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星空浩淼
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武功等级: 九阳神功
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Re: 角动量与Helicity的共同本征函数
呵呵，我要走了。
你可以在图书馆多参考一些书籍，我感觉你的问题应该早有答案。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-09-07, 10:32:21 |
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小追
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Re: 角动量与Helicity的共同本征函数
问你一下，为什么helicity是Lorentz不变的，看书上是一堆话分析说是这样，但是我想看到一个lorentz不变的式子，你能不能写出来我看。另外麻烦你顺便说下角动量矢量在lorentz变换下怎么变，和一般的矢量一样么？偶一向是搞不懂这些细节，又懒得翻书，暴殄天物啊。
追魂小混子，小混子横扫天下，嘿~！哗~！
| 发表时间：2005-09-07, 22:41:21 |
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小追
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Re: 角动量与Helicity的共同本征函数
偶犯傻了,helicity是不是lorentz不变,拿helicity和poincare那套算子比划比划,看看对易不对易就晓得了。不过后面那个矢量变换规则的小问题还是要问下。
追魂小混子，小混子横扫天下，嘿~！哗~！
| 发表时间：2005-09-07, 23:20:35 |
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HPC
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Re: 角动量与Helicity的共同本征函数
My coming note's part,:)
Here the metric is +,-,-,-.
Try Latex!
$$$$$$$$$$$$$$$
As is well known, the Poincare Lie algebra can be realized by the
Killing vector fields on the Minkowski spacetime as follow
\begin{equation}
P_\mu=i(\frac{\partial}{\partial x^\mu})^a,
\end{equation}
\begin{equation}
M_{\mu\nu}=ix_\mu(\frac{\partial}{\partial
x^\nu})^a-x_\nu(\frac{\partial}{\partial x^\mu})^a,
\end{equation}
where $\{x^\mu\}$ is the Lorentz coordinate system. The Lie bracket
operation in the Poincare Lie algebra can be translated to the
commutator of the corresponding Killing vector fields, i.e.
\begin{equation}
[P_\mu,P_\nu]=0,
\end{equation}
\begin{equation}
[P_\mu,M_{\rho\sigma}]=2i\eta_{\mu[\rho}P_{\sigma]},
\end{equation}
\begin{equation}
[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}]=2i(\eta_{\mu[\rho}M_{\sigma]\nu}-\eta_{\nu[\rho}M_{\sigma]\mu}).
\end{equation}
The first Casimir operator is
\begin{equation}
C_1\equiv P_\mu P^\mu=-\Box.
\end{equation}
To define the second Casimir operator, we first introduce the
Pauli-Lubanski spin operator
\begin{equation}
S_\mu=\frac{1}{2}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}P^\nu M^{\rho\sigma},
\end{equation}
which satisfies
\begin{equation}
[S_\mu,P_\nu]=0,
\end{equation}
\begin{equation}
[S_\mu,M_{\rho\sigma}]=2i\eta_{\mu[\rho}S_{\sigma]},
\end{equation}
\begin{equation}
[S_\mu,S_\nu]=i\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}S^\rho P^\sigma.
\end{equation}
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| 发表时间：2005-09-08, 01:46:06 |
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