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萍踪浪迹

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（原创）（随笔）漫谈微分几何

大半夜了突然就有了写点随笔的想法，信笔涂鸦。也算是对星空与道德兄的回应：）
我初三时立志要读微分几何
因为我知道那是一个要学广义相对论的人必须掌握的知识
这么多年过去了，我仍然没有达到目标
微分几何太庞大了，我常常茫然失措
微分几何太美丽了，我常常流连忘返
微分几何太深奥了，我常常无法自拔
从最简单的曲线论曲面论到Gauss的内蕴几何，到Riemann几何，再到复流形再到复解析空间理论，每一步前进所面临的都不仅仅是知识的深化，更意味着知识领域的不断拓展
于是，很快就发现多复变函数论与微分几何的结合所闪耀的迷人光辉
于是，很快就发现非线性偏微分方程在微分几何中的核心作用
于是，很快就发现代数几何可以以种种方式与微分几何结盟
被Gauss与Riemann的内蕴几何的无比深邃击晕
被Cartan的活动标架法的优美简洁倾倒
被Chern的示性类理论的博大精深折服
被Yau深厚精湛的几何分析功底震慑
微分几何，多么迷人的一门学科
当年年轻的Chern面对整体微分几何时说自己就像面对一座闪耀金色光芒的山无比向往却一时无法攀到最高峰
但是后来他却赶在Hopf和Weil之前成为这个领域的一代宗师
如果说Cartan发展的微分几何渐渐改变了广义相对论的几何模式的话
那么Chern等人的微分几何不仅在延续Cartan的影响而且以纤维丛的形式推动了规范场论的发展
微分几何仍然像Einstein时代那样和物理紧紧相连
并且从物理中不断获取研究课题
那天轩轩问：为什么三维球无法赋予平坦度规却可以赋予共形平坦度规
现在反正有空我顺便回答一下：因为三维球和其他维数的球一样无法与平坦空间建立等距映射，所以无法建立平坦度规；而n维球都是单连通常曲率空间，因此可以可以建立共形平坦度规
微分几何就是这样充满魅力
我们给pseudo-Riemannian空间分类，可以用Weyl共形曲率张量分类，可以用Ricci曲率张量分类，也可以用运动群进行分类得出9种Bianchi型
而这些东西都是可以归结到微分几何的研究，这里遥远的Riemann观点和稍近的Klein观点完美结合，这里可以看出Cartan的伟大智慧，这里可以看出Einstein的深远影响
从Hermite对称空间到Kahler-Hodge流形，微分几何不仅与Lie群紧紧相连，也与代数几何和拓扑学血脉相通
想起当年伟大的Poicare写伟大的《位置分析》创立组合拓扑时曾经毫不掩饰地说高维空间的微分几何是意义不大的学科，对此他说了句：“家有美景，何须远求。”（Chern译）拓扑就是家中美景，干吗要辛辛苦苦计算曲面甚至高维流形的曲率？可是这次这个全才数学家错了，但我们能不能说这位数学天才对微分几何没有大贡献？不能。看看今天微分几何与拓扑学的紧密相关我们就知道了
一个闭形式何时才是恰当形式？在同伦于点的区域（单连通区域）有Poicare引理之逆告诉我们这个自动成立
在非单连通区域有著名的de Rham定理告诉我们如何成立
即使在Poicare所忽视的微分几何领域，他仍然以一种不经意的方式深深影响了这个学科，或者毋宁说是影响了整个数学
微分几何不是研究的对象越平凡越好，儿时适当的特殊才好。Kahler流形的所有复子流形都是Kahler流形，这个优美的结果迷倒了多少微分几何学家和代数几何学家
Einstein引入宇宙学常数，使得他错失了预言宇宙膨胀的伟大成就，于是Hubble就飞黄腾达了；但是带有宇宙项的真空引力场方程却产生了Einstein流形，这为数学家的展现才智提供了新舞台，Kahler-Einstein流形的研究成为几何学家的智力享受。
微分几何，一个道不尽的话题。就像代数几何中要求双有理等价是个奢求一样，微分几何中要求等距变换何尝不艰难。分类学是整个数学的永恒课题。群论中有单群分类，多复变函数论中有区域的分类，代数几何中有代数簇的分类，微分几何也有分类。
艰难的课题引起一批批年轻的几何学家和年老的学者的共同冲刺，微分几何的前景无比光明
先写到这里了~北京时间很晚了，睡一觉以后接着慢慢写：）

漫漫长夜不知晓日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑梦魂飞度同心桥|
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红叶晚萧萧，长亭酒一瓢
残云归太华，疏雨过中条
树色随山迥，河声入海遥
帝乡明日到，犹自梦渔樵

发表时间：2005-09-12, 13:48:32