萍踪浪迹
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（原创）谈谈理论物理的数学化趋势
下午收到一位客栈网友leo2000的来信，问：“I would like to know why people are doing some theoretic physics from the mathematician's point of view.”
我简短回复了几句。但是因为感觉这个问题值得更详细一点讨论，我跑到客栈来再说几句。
物理的数学化或者说就像上面所说的people are doing some theoretic physics from the mathematician's point of view，是有很悠久的历史的。远的如古希腊的大师们我先不说。我们从Newton的工作就可以很明显地看出，Newton之后的物理学家很多都在很大意义上是数学家，如Euler，Lagrange等人，或许还要提及Laplace和Poisson等人，这个时期的大量物理工作都是在经典分析学促进下发展的，事实上，也常常被直接看成是数学和力学工作。
正因为这些人总被当作数学家和力学家（如天体力学、流体力学、弹性力学、刚体力学等），所以，真正继续Newton风格的反倒是Fourier以及后来的Stokes和Maxwell等人。Stokes是Maxwell的老师，Stokes刚得出他的著名定理时就把这一得意之作用来考自己的得意门生Maxwell，不出客栈各位看官所料，Maxwell很快就证明出来了，于是这个定理被称作Stokes定理，其实公正点要称作Ampere-Stokes定理。Stokes是Maxwell的大量工作促使了矢量分析的迅速发展。当Maxwell把Faraday的电场线用精密的数学进行描述时，Faraday开始是不信任的，不过众所皆知的是后来他接受了而且大大赞扬了这位小自己40岁的年轻人。
从那个时候起，物理的数学化就已经真正复苏了。
电磁场理论中Maxwell方程与本构方程起到基本作用。世代数学家积累下的关于数学物理方程的方法现在是每个物理学生都要学的基本课程，从最基本的微积分到要求稍高的一点的复变函数论，再到特殊函数等等。无疑，那时侯新兴的群论还不受物理学家重视，直到20世纪20年代，仍然有Pauli这样的大师在讽刺Lie群，群论被称为“群祸”，三十年河东，三十年河西（三十年河南，三十年河北，哈哈），当年振臂疾呼的Lie恐怕都没有想到自己一手创建的理论会成为物理学的核心工具之一，如果他知道的话，估计他被当成间谍关在牢里的时候都会笑出声来。
许多人认为Minkowski是实现对称性在相对论中乃至于物理学中的作用的第一人，但是我显然不同意这个偏颇的观点。1908年，Minkowski将Lorentz变换解释为四维pesuedo-Euclidean空间中的伪旋转或者说是推动（boost），这些伪旋转形成的群即Lorentz变换群。但是Lorentz变换群的思想已经为Einstein与Poincare于1905年分别提出，Minkowski的功劳是实现了相对论的几何化，而不是代数化，实现代数化的其实是Einstein，连Poincare都不算，因为他看见了代数化却看不见相对论，只有Einstein既看见相对论又看见代数化。狭义相对论中的变换群为Poincare群，包括十个生成元：三个真旋转，三个伪旋转，四个坐标平移。在这里，对称性的作用空前突出。Poincare群是Lorentz群与平移群的半直积，而非直积。因为Lorentz群是其正规子群而平移群却只是其子群而不是正规子群。1939年Wigner定出了Poincare群的不可约表示。但是由Poincare群是无法导出Maxwell理论的，因为Maxwell理论还包括五个共形变换。这一点Einstein本人早已认识到并且指出，从这里也可以看出单纯的数学模式很难在这样一个成熟的物理理论中产生太多新的东西。
Minkowski的几何化工作架起了等效原理到广义相对论的桥梁（有些现代相对论专家如Synge等人认为早应该把等效原理这个接生婆埋葬掉了，但这里我不讨论这个问题）到了广义相对论，线性的Poincare群已无法表述广义协变性，必须用非线性微分同胚变换群即Einstein群表述，这是主动变换观点，从被动观点说，是标架变换群。更重要的是微分几何在此中得到巨大的应用，直接促进了这门学科走向数学的核心地位。
另一方面，量子力学本质上是矩阵力学（Heisenberg、Born等人的形式），此后被解释为Hilbert空间的态矢量分析。1928年，Dirac结合了狭义相对论和量子力学，创立了相对论性量子力学，揭开了现代量子场论的辉煌篇章。这个理论仍然遵从着数学美的原则。正是Dirac不愿意破坏数学美，使得他最终于1931年提出反电子这一伟大概念。当然这一理论只是现代量子场论的过渡形式，有些教程认为应该放在量子力学中讲授，有的说要放在量子场论中讲授，夹在中间难做人的尴尬境遇并没有掩盖这个理论的伟大意义。
Dirac的工作导致了旋量分析这一重要分支
在量子场论的进展中，群论越来越重要，经典电磁学被解释为U（1）群作用下的理论，同位旋不变性的研究导致了SU（2）群的Non-Abelean规范场论的开端，以1954年Yang和Mills提出的Yang-Mills理论为标记，现代物理的数学化进程明显加速
无疑，Einstein想以自己坚持的理想去实现大统一理论，但是他没有成功，顺便说一下，很多人趁机给Einstein戴高帽子，说他思想深邃以致于想到了大统一，这是个绝对的大笑话，同意自然界的思想远的不说，就近代来看，从哲学家Kant的冥思到实验物理学家Faraday的实践，再到Riemann的不屑努力，任何一个人都可以去设想，Einstein的伟大用不着这么庸俗的吹捧。从现在物理学的角度看，大统一理论的每一步进展都是在Yang-Mills理论的框架中实现的。从上世纪60年代到70年代末，弱力-电力统一理论被Weinberg、Salam、Glashow、t Hooft等人实现，用的就是U（1）和SU（2）的直乘表示实现的。1983年，这个理论被Rubia等人的实验辉煌验证。强力的理论以SU（3）群的表示为基础，夸克理论异军突起，格点规范理论迅猛发展。超弦理论更是将这种数学化的趋势推到一个新阶段。当然，我对这个理论能否实现大统一是抱怀疑态度的，毕竟现实物理世界太复杂了。
但我们也要清醒看到数学从物理学中吸取的大量精华。从广义相对论诞生起，微分几何就受到很大重视，大量数学大师投身这一领域的研究，1925年，Cartan引入“联络”这一极其重要的概念，开辟了微分几何的新篇章，另外，他将外微分法与活动标架法结合应用到微分几何中，引发了这个学科的革命性变化。而Hopf和Chern等人真正创立了整体微分几何，将Einstein时代的局部几何推向整体几何。尤其是Chern的一系列精彩论文使他被公认为现代微分几何之父。纤维丛几何也开始迅速发展，70年代时，Chern和Yang会面时，交谈中才发现纤维丛几何竟然与Yang-Mills理论异曲同工，是一只大象的不同侧面！此后，这两个看似无关的学科紧密结合，使得理论物理数学化的趋势得到空前巩固。
由于相对论中要研究宇宙的整体性态，整体微分几何的引进就顺理成章，在这里，数学分支中的拓扑学中的同调、上同调、同伦等理论得到淋漓尽致的应用。
1978年，Yau和Schoen证明了广义相对论中的“Einstein猜想”即“正质量猜想”（严格说是“非负质量猜想”），轰动了数学物理学界。著名的相对论专家Georoch在这方面也有重大贡献，Yau和Schoen的的论文就是他推荐后发表的。
到了80年代，超弦理论大量应用到微分几何、代数几何、模形式、Riemann面、Lie群理论等数学分支，代表着当代物理学数学化的趋势渐渐增强。现代理论物理学家都是半个数学家。
的确，我们可以很明显地看出理论物理朝着数学物理靠拢的倾向，这不仅是理论自身对于数学工具的越来越高的要求，更是因为许多理论的实验验证已经超出现代物理仪器的能力或者说是科技大国的经济投入能力，要知道一个超级对撞机的造价有多高，何况就算给你足够的钱，地球上也没有足够的地方去放一个可以检验超弦理论的加速器。
我记得大约三年前我在数学和物理方面的研究尚未被迫中断时曾经和我校的邓晓卫副教授谈话，说起数学和物理的关系，我说：“如果一个学生想在将来既成为数学家又成为物理学家，他就应该同时在两方面下工夫。如果他指望学了足够的数学后学起物理会更快成功的话，基本上是不可能的。因为此时他的思维已经严重数学化了，他就会以数学家的严谨来看待物理问题和解决物理问题，这时他就是数学物理学家而不是理论物理学家，所以他不会成为物理学家。一个显然的例子是Poincare，他是登峰造极的数学家，他也关心物理的发展，但是他在物理上甚至于没有达到经典物理学大师Lorentz的成就，更不用说现代物理学大师Einstein了，但是他的数学超越Einstein不知道多少倍。”显然，我的意思很明显，不要让过多的数学化束缚住物理的大胆和直觉。就算是数学大师Riemann也有应用物理实验“证明”数学定理的时候。数学在物理中的应用是绝对要重视的，但是不要迷信这种作用，一个人不可能连续五次被闪电击中，物理学也不要指望每次都能从数学的拼凑中获得大成就，强力和弱电的大统一搞出的一大堆参数还没有办法摆平呢~
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| 发表时间：2005-09-15, 08:56:18 |
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轩轩
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Re: （原创）谈谈理论物理的数学化趋势
平老师 我全文读了 写得很好啊
现在的数学物理 最牛的指标定理啊 你有时间也给科普一下如何在/
引力是非局部的，量子力学也是非局部的。《相对论通俗演义》
i will love you till the null infinity.
| 发表时间：2005-09-15, 09:27:41 |
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HPC
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Re: （原创）谈谈理论物理的数学化趋势
有一点没有明白，为什么Poincare group不能给出Maxwell equation, 我现在做的就是这个东西，如果按照你的说法，所有零质量的都不可以出来，因为他们都有共形不变性，在我的印象中。
Faith, Fashion and Fancy.
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| 发表时间：2005-09-15, 10:03:54 |
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Re: （原创）谈谈理论物理的数学化趋势
Poincare群是Lorentz群与平移群的半直积，而非直积。
因为Lorentz群是其正规子群而平移群却只是其子群而不是正规子群。
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纠正一下笔误，Lorentz群不是Poincare群正规子群，平移群才是Poincare群正规子群
Poincare群对平移群的商群是Lorentz群
刚才在小吃店吃鸭血粉丝汤吃得满头热汗之际猛然想起自己打错了，就惊出一身冷汗
结果冷汗和热汗共同作用。。。使我以最快速度吃完
赶紧跑到最近的一家网吧（新住处不能接宽带，电脑资源浪费一大半了）纠正
to轩轩：有空就照你的要求来一篇
toHPC：相对论的变换群不包括共形变换生成元，所以不能导出经典电磁理论
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| 发表时间：2005-09-15, 11:39:12 |
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Re: （原创）谈谈理论物理的数学化趋势
一个现在的物理学学生要学许多数学，但是学到什么程度才恰到好处，没人说得准。
学太少数学不够用，学太多数学不仅对于一个理论物理学家是个浪费而且耗掉过多精力使得物理研究受牵制。
如果有同时成为数学家和物理学家的大志倒是可以横下一条心来学个痛快（当初俺就是这样害得自己毕业后差点饭都吃不上的）
大家可要引以为戒啊，呵呵
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| 发表时间：2005-09-15, 12:04:12 |
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THANXmm
