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弱力三千

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(原创)计算之数学&数学之计算

如果Euler在他那个时代就有电子计算机,或许他不会那么失明.太多的手算不仅耗费这个天才的巨大精力而且直接或者间接损害了他的健康.Leibnitz早就呼唤计算机的出现,把智力超凡的学者从简单枯燥的计算中解脱出来,但是他没有实现这个梦想.作为与Aristotolles和Godel齐名的逻辑学大师,他还是为后代的计算机原理的研究打下了深厚的基础,二进制就是他老人家的杰作.
然后是长久的停顿,直到Boole出现,我们迎来了光明.
Poincare到死都不相信计算机会出现,他说要把猪肉塞进机器做出香肠是没有问题的,但要把数字和符号塞进机器搞出公式和结果,那时不可能的.他老人家要是知道他的后人们都是用计算机来模拟他生前发明的Poincare截面图,一定很不爽.
Church和Turing等人的研究为电子计算机的出现打下了理论基础.但是Turing可计算不等于现实可计算,不过Turing不可计算的,现实必不可计算.感谢von Nuemann,他的计算机之父的美名不是浪得的.但是根据von Nuemann的一位贴身助手回忆,von Nuemann生前就说过Turing的思想比他更早出现,但是人们没有说Turing是计算机之父.考证的事情留给历史学家去做,我接下去想说其他的事情.
到底数学家要多大程度上依赖计算机?我们能想象现在的数学家还用手算去处理那么多的稀疏矩阵吗?我们还指望天文学家还用纸和笔去计算月球的精确轨道吗?我们还指望技术人员用最原始的方式应用线性单步法(如4阶Runge-Kutta法)和线性多步法(如Adams法)去计算数值解吗?这些事情都是20世纪50年代以前的数学家,天体力学家和技术人员被迫去做的.现在这些东西都要交给计算机去做.这令数学的唯美主义者很难受,因为这或多或少反映了人类能力的局限,所以Erdos这样的数学大师就非常反感数学中应用计算机.但是,同样的问题是,我们有必要为了显示自己的体力而不用起重机直接用人来搬运超重的钢材吗?回答是:不会.因为这无损于人的尊严.我们发明和应用起重机就是一大壮举,有必要和自己搞出来的机器比力气吗?同样,我们自己编制的计算程序用来计算一些简单烦琐的问题,也不算丢脸吧.所以我们需要计算机.就像建筑师需要起重机一样.
当年美国人Haken和Appel应用计算机耗费了1200个计算机时,用了100亿个逻辑判断,终于证明了著名的四色定理.有人欢呼,因为这是计算机在数学领域的伟大成就,有人沮丧,因为这样一个看似简单的问题居然要这么笨重的方法解决,而且是交给计算机解决.
无论如何,人类总算解决了这个问题,虽然有写不尽如人意,例如不断有人声称发现了程序的错误,但是,官方说法还是说解决了.当然也不断有人宣称自己用手工方法证明了这个定理,可惜没有一个被承认.
计算机万能了吗?想想看,如果没有Birkhoff在四色定理方面的出色的理论工作为基础,计算机再强大估计也对这个难题无能为力.计算机还是无法独立于传统数学而自己证明很多东西,尤其是抽象的纯粹数学中的许多定理,如果吴文俊院士和他的学生们能用他们的机器证明给出Fermat大定理的自动证明,我就服了他.
计算机之于数学,数学之于计算机,它们的交相辉映是人类智力史的伟大篇章同时也将不断辉煌下去.当我们应用计算机解决数学问题时,许多问题也就来了,一个数值解,我们要判断计算机计算过程中的截断误差和舍入误差,要判断数值稳定性,数值相容性和收敛性,这都是非常重要的.还有,数学建模的精确程度同样重要,不够精确会失真,太精确就很容易成为高度非线性问题,为了计算方便,还是要在计算过程中不断简化,结果还是失真,难道这里也有类似于Heisenberg测不准定理(不确定原理)的算不准定理?好在人们总是可以极度逼近精确解.但是,这样选择逼近多项式来逼近?收敛速度怎样?
看来,计算机的计算还是有无尽课题等待研究,计算数学家和计算机科学家仍然任重道远.
再说下去,当我们想研究一个非线性系统的分岔与混沌出现的状况时,建立的微分方程常常为非线性偏微分方程（PDE），如果将其简化为常微分方程（ODE），分析的可靠性将受到不同程度的影响，如果直接考虑非线性PDE，方程将极难分析。此外，用计算机数值计算来分析分岔和混沌时，通常采用的是时间、空间、状态三者都用离散变量代表的“元胞自动机”模型，而实际设备的运动方程却是三者都连续的PDE，这三个阶梯的近似直接影响到数值计算的相容性、收敛性和稳定性，这些都对数学建模和计算机算法提出很高要求。
说到计算机算法就直接设计可计算性理论了,那么一个核心问题是P与NP是否对等?客栈要是有人解决了,别忘了拿了200完美圆后和大家同乐啊.
是的,这个问题太重要了,说它关系到计算机科学和计算数学的生死存亡也不算过分.对于这个问题的定义我就不多画蛇添足地重复了.
可计算性理论以及现实中算法的选择是许多数学家和几乎所有计算机科学家的共同兴趣
如果你要搞Riemann假设的话,那倒是不用太关心这个问题,就算你检验的零点个数都达到宇宙所有粒子那么多也没有,连最初级的连续统都没达到,何况还有更高的连续统.

发表时间：2005-09-16, 11:30:44