追忆
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关于矩阵的对偶与互逆
题目比较烂，文如标题：
在线性代数中，曾经学过一些关于矩阵的最基本概念，那就是矩阵的对偶与互逆。不过自己的悟性不高，以前总是将他们两者的意思进行混淆。哪位大侠可以帮忙用直观一点的几何意义解释一下吗？
在教科书上：矩阵的对偶指的是单纯的将一个矩阵的各行与各列的元素相应的互换，所得的矩阵将之定义为该矩阵的对偶矩阵；而互逆矩阵指的是与某个矩阵A的乘积为1的矩阵B，将B定义为该矩阵A的逆矩阵。
那请问我应该在直观一点的意义上较好的理解与掌握它。（可否借助欧氏空间坐标来解释一下？）
我等着运用到例外的知识点上去的，可这里也总是有点无法理解，还请各位帮帮忙.......
青山隐隐水迢迢，秋尽江南草木凋；
二十四桥明月夜，玉人何处教吹萧？
| 发表时间：2005-09-16, 21:38:30 |
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萍踪浪迹
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Re: 关于矩阵的对偶与互逆
矩阵的对偶指的是单纯的将一个矩阵的各行与各列的元素相应的互换，所得的矩阵将之定义为该矩阵的对偶矩阵；而互逆矩阵指的是与某个矩阵A的乘积为1的矩阵B，将B定义为该矩阵A的逆矩阵。
那请问我应该在直观一点的意义上较好的理解与掌握它。（可否借助欧氏空间坐标来解释一下？）
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对偶是指转置吧
互逆就是指非奇异矩阵乘一个矩阵后等于单位矩阵，这个矩阵很好求啊
由于矩阵多为多行多列
而欧氏空间坐标只是列矩阵或者行矩阵表示，所以这种类比有困难
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥|
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红叶晚萧萧，长亭酒一瓢
残云归太华，疏雨过中条
树色随山迥，河声入海遥
帝乡明日到，犹自梦渔樵
| 发表时间：2005-09-17, 09:16:59 |
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星空与道德
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Re: 关于矩阵的对偶与互逆
直观一点的意义就是把矩阵看成线性变换在给定的基下的表示。
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-09-17, 16:01:02 |
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季候风
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Re: 关于矩阵的对偶与互逆
矩阵有时候可以看做是“联系”，有时候可以看做是“过程”。对偶（更准确地说是转置，因为对偶涉及到泛函空间，没有太直观的解释）实际是矩阵作为“联系”的反向观点；而逆是矩阵作为“过程”的反向观点。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-09-17, 17:57:52 |
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一剑断浪
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Re: 关于矩阵的对偶与互逆
我发现新上来的季候风也比较厉害呀!
店小二怎么没来招呼一下?
人要快乐的活着!
伤心也是带着微笑的眼泪!
| 发表时间：2005-09-17, 23:32:26 |
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荒唐
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从我在通讯编码理论中了解到的一点关于线性变换的知识来说：
（下面是我在学习过程中一点肤浅的理解，希望能对追忆兄有所帮助）
首先，矩阵的转置没有啥可说的，因为矩阵转置只是为了让线性变换的乘法过程变得更容易描述和理解。即便没有矩阵转置这个概念，照样可以定义线性变换的乘法，但是那样的话用矩阵乘法来表示连续的线性变换，就不能说“乘积矩阵第m行n列上的数置等于前一个矩阵第m行的元素分别乘以第二个矩阵第n列上的元素并且求和”了，就得说“乘积矩阵第m行n列上的数置等于前一个矩阵第m行的元素分别乘以第二个矩阵第n行上的元素并且求和”，这样的定义在实际进行演算的时候会比较麻烦，容易弄错。
矩阵与向量的乘积就代表在向量空间中对向量的线性变换，在欧氏空间中，这种线性变换就是一种始终能够保证全空间的平直属性的拉伸和旋转。例如在三维欧氏空间中，这种线性变换可以把任何一个平六面体中的所有向量变成填满另外一个平行六面体的向量，线性变换绝对不会把一个平行六面体变成一个扭曲的几何体。如果矩阵是满秩的（当然这首先要求它是方阵），那么这种变换就不会把平行六面体变换成一个低维形体：平行·六·边形、线段或点。
一个矩阵的逆矩阵（当然首先要求它是方阵），就是把原矩阵的变换过程倒回来的过程，把原来的拉伸和旋转都给翻转回来。连续使用原矩阵和逆矩阵对一个向量进行变换，就会把向量原封不动地变换回来。显然，只有满秩矩阵才能有逆矩阵。因为降秩的矩阵的正变换过程会把整个空间的维数降低，这种变换是损失信息的，不可能从一个降了维数的子空间中通过线性变换把丢失的维数信息还原回来。降秩矩阵的变换相当于拉伸旋转＋向低维空间投影。两个矩阵的乘积，相当于连续进行两次线性变换，结果还是一个线性变换。矩阵乘法一般不可交换，线性变换也一样。把x轴上的一个向量先绕z轴旋转90°到y轴，再绕x轴旋转90°到z轴，就变成了一个z轴上的向量，这个过程如果颠倒过来，先绕x轴旋转90°，结果还在x轴上，然后再绕z轴旋转90°，最终结果变成了y轴向量。所以向量空间的线性变换一般来说也是不可交换的。
前面的讨论换个角度看显然就相当于欧氏空间中的坐标系变换。方阵可以用于相同维数的空间坐标系之间的转换，而一般的矩阵可以用于在不同维度空间之间的坐标转换。例如，三维空间中有一个二维过元点的平面，这个平面中你确定了两个基向量，三维空间中你确定了三个基向量，那么任意在这个平面上找一个向量，使用平面上的基向量表示其坐标之后，用一个特定的2*3的矩阵一乘，就得到了这个向量使用三维空间中那组基向量的表示（这个矩阵很好求，把平面上的基向量用三维空间基向量表示出来，并在一起构成的矩阵就是了）。反过来如果你知道三维空间中恰好位于该平面的某个向量的三维表示，想要得到在平面上选取的那组基的表示，也可以通过用一个矩阵去乘来得到。但三维空间中的向量并不都位于该平面，所以这种乘法会丢失信息，只能保证刚好位于该平面上的向量能够正确变换，其它向量无法正确变换。为了得到丢失的信息，可以使用一个对偶基，这个对偶基代表一个跟低维子空间全部向量正交的子空间，这个例子中也就是垂直于平面过元点的直线，在一般情况下也是多维子空间。用这个基来乘那个向量，就可以得到该向量是如何偏离平面的。
在编码理论中，空间是建立在有限域上的，不能通过直观的几何形象来理解，但由于欧氏空间中跟其特殊性质无关的结构都是可以直接使用的。因此前面的讨论仍然适用。互为对偶的两组基，一个作为码字的生成矩阵，另一个作为码字的校验矩阵。在码字出错的时候，校验矩阵的校验结果就不为0，此时就要通过纠错算法寻找一种修改尽量少bit让向量回到生成空间的修改模式。这些就扯远了，因为我在做算法工作，忍不住多说了点:)
我是外行，我关于物理和数学的理解都不可靠，但我虔诚地希望各位老大的指教。请不要因为我的无知而抛弃我，我是一个真心的物理数学爱好者(^!^)
| 发表时间：2005-10-01, 01:32:50 |
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流浪者
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Re: 关于矩阵的对偶与互逆
看荒唐兄的耐心回复，如果没有理解错，是这个意思吧？
1）初始有一个n维矢量，记为：x；
2）不断地有若干个矩阵{A,B,C,...}作用在矢量x上，把原先的矢量变成后来的矢量。
比如：X-->AX-->BAX-->CBAx-->......
3）这些过程中，秩是不增的：
rank(....)<=...<=rank(CBA)<=rank(BA)<=rank(A)<=rank(1)
4）上述过程可以简单分为两类：保秩类过程rank=rank，降秩类过程rank
5）矩阵的转置，可逆矩阵的相乘属于保秩类过程。
| 发表时间：2005-10-01, 23:22:49 |
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荒唐
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武功等级: 太极剑法
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内力值: 259/259
我主要是想要把矩阵和欧氏空间的线性变换几何形象联系起来……
不过几何形象不一定适合所有人，我知道有些人根本不喜欢看图的，直接看公式对他们更容易。空间想像力是不可靠的，但对于我来说确实能够大大加快对抽象公式的理解速度。
我前面的帖子中没有事先强调线性变换和矩阵的区别。线性变换并不是矩阵，但是线性变换在选定了一组基之后能够表示为矩阵运算。线性变换和矩阵都有满秩和降秩的说法。
你关于秩的理解是对的。所有可逆的矩阵和可逆的线性变换都是满秩的，任意有限个连续满秩线性变换的乘积都是满秩的，都不会降低向量空间的维数（例如不会把三维空间的向量全部变换到一个平面上）。
但只要经过一次降秩的线性变换，那么空间的维数就被这个线性变换降低了，无论再怎么满秩变换也只能维持维数不变，不可能还原。
我感觉如果单纯只是讨论连续的线性变换，根本不必考虑“转置”这一操作，只是用矩阵来具体表示线性变换的时候，才需要转置这种操作。矩阵实际上跟线性变换是两个层面的东西。不精确地比喻一下，二者之间的关系大致相当于进位制和算术公式之间的关系：我有一个算术公式y=x*x，这个算出公式本身跟进位制毫无关系。但如果我要求x=7时y的具体数值，就需要考虑进位制。正如线性变换和矩阵之间的关系，线性变换使用矩阵来表达的时候，为了使线性变换的乘法变成矩阵的乘法，才需要利用矩阵的转置这种矩阵自身的操作，矩阵转置实际上跟线性变换也没有关系。虽然转置对于方阵而言确实是保秩的。
我是外行，我关于物理和数学的理解都不可靠，但我虔诚地希望各位老大的指教。请不要因为我的无知而抛弃我，我是一个真心的物理数学爱好者(^!^)
| 发表时间：2005-10-02, 04:14:58 |
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卢昌海
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Re: 关于矩阵的对偶与互逆
矩阵转置最常用的情形是涉及内积 - 从而同时需要左右矢 - 的情形，它对应于对偶空间中的变换。
PS: 刚刚才看见断浪MM的问题。店小二最经常欢迎的是出现在学术论坛以外的网友，因为客栈里这类网友较少，为了不让他们感觉被冷落，店小二常常会对他们的到来表示欢迎。当然，店小二店务繁忙，常常错过欢迎的时机。:)
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2005-10-02, 07:32:13 |
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流浪者
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武功等级: 野球拳
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P*A*Q=1的标准型：面包，大饼，面条。
喜欢有几何图象的解释，：)
补充一下代数图象，抛砖引玉吧。比如，3.5变换到单位1，可以是2乘以3.5除以7:
a=3.5----> 2*a/7=1，这里的标准形式：p*a*q=1，这是1维的情况。
推广到n维，一般有标准型:P*A*Q=1，这里P,Q是可逆（保秩）,或者说，rankA=
rank(1)=n，也就是说，这里的单位元1是n*n方阵。可以想象成面包，大饼，面条。
现在，对A进行线性变换:A-->B，标准型的单位元1，其维数n=rankA-->m=rankB
n<=m,面包变换成大饼，面条，这种变换是降秩，或如你所说，降维的。
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不过，降秩类的线性变换f，将线性空间N映射到子空间M=f(N)。这是线性空间的同
态映射，原先的线性空间N中，一定有一团东西“压缩”成了0，这团东西叫做核子空间
ker(f)，图象如下：
f 同态
线性空间N---------------->像空间f(N)
核子空间ker(f)----------->零元素0
如你所说，第二个过程中，信息减少了。
就维数而言：dimN=dimker(f)+dimf(N)。这是一个简明的结果。
| 发表时间：2005-10-02, 07:59:59 |
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