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星空浩淼

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关于量子力学中最简单的难题我的回答

考虑到我可能有一阵子不能来，就简要把我自己的看法奉上，供大家批判。

这个问题能够迷惑世界上那么多物理学家，连量子代数这个工具都用上了，说明它里面的问题即使并不难，隐蔽性也是非常高的。

其实大家只要看看前面昌海兄和sage兄的回答，以及yinhow兄的默认，你们也可以知道这个问题不是看起来的那么肤浅，否则他们用不着绕那么大的一个弯，将问题归结到也许在你们看来有些“不着边际”的地方。

yinhow兄在另外一个话题的帖子里面的等价描述，对于分析这个问题是非常有价值的。因为它不仅抛开可能涉及“无穷大减无穷大”的原因，甚至连可能涉及“自共轭算符与厄米算符之间的关系”的这一因素也抛开了，使问题变得更为集中，同时也让我对自己原来的想法更有信心了。

我的回答思路是：

1）由于问题祸起正则坐标-动量对，所以我们只需要关注这个。当广义坐标和广义动量都可以看作算符时，在一者上的平移变换，其生成元对应另一者。
2）对于广义坐标F和广义动量G，在F的本征态空间，F是c 数，G 是负虚数单位乘以对F的偏微分；在G的本征态空间，G是c 数，F 是正虚数单位乘以对G的偏微分。
3）有了以上准备，我直接给出结果了：

在数学中，我们这样来定义两个算子A和B对某个量x 的复合作用：A*B x=A(Bx) ，即先将B作用于 x ，得到结果后，再将A作用于这个结果。然而，在量子力学中，人们不分青红皂白地直接将两个算子放在一起的形式AB，理解为两个算子A和B的复合作用A*B ，而没有进行任何严格的数学论证。

实际上，在量子力学中，ABx不能直接理解为A和B对x 的复合作用A*B x=A(Bx)，在这里还要考虑算子与算子之间的“相互作用”，具体地说，应该有：

ABx=（AB）x +A*B x=（AB）x +A（B x）

其中右边第一项是，先将A作用于B，再将A作用于B得到的结果作用于 x.

这样一来，如果 Ax=ax ，BA X=(BA)X+B(AX)=(BA)x+aBX

那个问题不再存在！！！

唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存

发表时间：2005-09-17, 23:35:39

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kanex

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Re: 关于量子力学中最简单的难题我的回答

In common mathematics, operators are always defined as operating from right to left.

Consider the power operator.

2^3^5^4 = 2^(3^(5^4)), while 2^3^5^4 != (2^3)^(5^4).

Now let's examine your idea, the claim that ABx should be define as (AB)x + A(Bx).

Firstly I wonder how do you are going to define (AB)x. Please see (---------).

Cosider [A,B]x. I will write your new definition of ABx as {A,B}x.

{A,B}x = ABx-BAx = (AB)x+A(Bx)-(BA)x-B(Ax)

While [A,B]x = A(Bx)-B(Ax) in every text on QM.

so {A,B}x = [A,B]x + (AB)x - (BA)x

From your vague ideas, I believe you are going to define (AB)x - (BA)x = [A,B]x as well. (---------)

Therefore {A,B}x = [A,B]x + [A,B]x = 2[A,B]x.

Basically you are doubling every operator, so you are not going to get a contradiction, nor will you get anything inspring from it.

江畔何人初见月`江月何年初照人`

发表时间：2005-09-18, 03:05:20

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kanex

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Re: 关于量子力学中最简单的难题我的回答

Now I find "右边第一项是，先将A作用于B，再将A作用于B得到的结果作用于x". Sorry for making a false assumption, and please dont reply that soon...

江畔何人初见月`江月何年初照人`

发表时间：2005-09-18, 03:12:15

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kanex

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