星空浩淼
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武功等级: 九阳神功
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量子力学中最简单的难题之二
再给一个有趣的物理问题。
假定T是时间算符，H是哈密顿量，满足关系[T，H]=-i。又假定│E>是H的本征态，对应本征值E，即H│E>=E│E>
可以证明：H[exp(iaT)│E>]=(E+a)[exp(iaT)│E>]，其中a是任一个常数。这里(E+a)也可能应该是（E-a)，不过这不要紧。
即exp(iaT)│E>也是H的本征态，对应的本征值为(E+a)。由于a是任意的，所以H的谱不是正定的。由于H的能量谱应该是正定的，所以这就有一个矛盾！
结论：在量子力学中，时间不能作为算符。
以上是著名的Pauli定理。Pauli的聪明是出名的，喜欢挑刺。那个年代很多人写了文章之后，只有让他没有意见才放心。连心高气傲的朗道都怕他三分。
Pauli干了不少这样的事：通过非常简单的论证，来告诉人们，某个企图是行不通的！就象上面试图把时间作为算符一样。
但是这个结论让人很难受。人们作了大量的工作，试图给出与时间相关的力学量算符或可观察量。
在我看来，it actually presents no problem, it just a matter of rechoosing a zero-energy reference point.
如果将系统H│E>=E│E>放入一个常数势a中，系统的方程由
id/dt│E>=H│E>
变为
id/dtψ=（H+a)ψ
可以证明，如果定义T：[T，H]=-i，利用T则上式可以写成：
H[exp(iaT)│E>]=(E+a)[exp(iaT)│E>]
系统放入一个常数势场中，不会改变物理规律，相当于重新选择一个零能参考点。只有能量差才有意义，才有可观察效应。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-09-18, 10:33:06 |
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kanex
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武功等级: 弹指神通
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内力值: 343/343
Re: 量子力学中最简单的难题之二
H can be <0 if you apply a global V.
I think a better way of expressing the idea is that H shall be bounded from below.
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-09-18, 10:50:03 |
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卢昌海
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武功等级: 北冥神功
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内力值: 602/602
Re: 量子力学中最简单的难题之二
我想pauli的意思是说对于一个给定的动力学体系，能量必须是有下界的（下界的具体数值是相对的，不一定是零）。
把一个系统放在一个常数势a中可以改变其能量的绝对值。但一旦常数势a给定，能量依然是有下界的，这与pauli显示的对给定的动力学体系可以构造出无下界的能量本征态是不同的。
当然，对pauli的简单论证的有效性，后人是有许多争议的，不过原因并非在于用一个常数势就可以达到与pauli的论证同样的效果。
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2005-09-18, 10:52:58 |
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walk_f
