弱力三千
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离散数学与计算机
曾经有一个美国数学家很偏颇的说：“以微积分为基础的连续数学的主流地位将让位于离散数学。”
言语虽然夸张，但是至少还是说出了离散数学的迅速发展
很显然，就像传统自然科学和纯数学无法离开微分方程等连续性数学一样
现在的计算机科学无法离开离散数学
开这一帖，先挖个坑，大家慢慢侃，萝卜就种上去了：）
| 发表时间：2005-09-19, 03:18:17 |
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Re: 离散数学与计算机
从代数系统开始，或许Abel、Galois等人创立群论时并未想到他们的理论会在计算方面大放异彩，作为计算机理论的基础的离散数学，群、半群、子群、陪集以及正规子群、商群等概念都是最为基本的概念，在其中，抽象运算取代了传统的狭隘的具体运算概念。
群同态、循环群、置换群还有复合运算结构的环及其理想再到极其重要的域，代数结构的研究渐次深入，为计算机数学提供了最坚实的基础。Bourbaki学派说数学的三种基本母结构就是序结构、代数结构和拓扑结构，以这三种基本结构复合成种种具体结构。这里，代数结构的基本作用凸显无遗
离散数学中的序结构就交给数理逻辑来分析。从Cantor创立集合论以来，这门学科在不断的争论和令人哭笑不得的佯谬中是是非非地前进，所谓的“第三次数学危机”被某些哲学学者拼命炒作，其实本质上不过是素朴（朴素）集合论的定义出问题。Zermelo-Frankel系统加上选择公理形成了公理集合论的基本框架（ZFC理论），计算机数学的逻辑基础就基本奠定了。
最简单的一阶逻辑语言到对偶公理及有序对再到联集公理、分出公理，整个数理逻辑让人明白什么叫“明知故问”，什么叫“多此一举”，但没有这种明知故问和多此一举，我们就始终感觉整个逻辑学的大厦在摇晃，尽管我们可以事后诸葛地说：“很简单嘛，犯得着这样麻烦的绕来绕去？”估计很多以中国传统数学为骄傲的人会很反感西方数理逻辑的烦琐和演绎。但是没有办法，因为没有出现可以独立于西方数学而直接以中国古代数学为基础的的计算机科学。在反映离散数学序结构的几种重要的关系中，自反、对称、反对称、传递、
等价、半序、序是格外重要的，良序定理等重要定理的地位无法替代。格与Boole代数、数系的构造，命题逻辑及命题演算，这些已经被编入标准教程的种种概念无一不凝聚着一代代数理逻辑学家的大量心智。
接下来说，图论或许可以看成是拓扑学的一个近亲，当然也有人说是拓扑学的分支，即网络拓扑学，从这个名称就可以看出它在网络科学中的重要地位。图论的创始人是大数学家Euler，他关于哥尼斯堡七桥问题的研究和圆满解决，使得非度量数学开花结果，图论就这样诞生了，图的运算，子图与补图都和集合论概念相联系，而图的群论研究则是和代数学结合，图论本身是网络拓扑学的范畴，结果，数学的三种结构就这样在这里结合了。实际上，实数轴也可以很容易地结合这三种结构。Konig的著作被公认为图论的里程碑大作，图论的成熟也因这个而得以体现。今天，没有一个计算机初学者和专家可以完全避开图论而谈论计算机，就像没有一个相对论专家可以避开微分几何一样。Euler图与Hamilton图联系着不仅是两个数学家，更是整个计算机数学的基石。
| 发表时间：2005-09-19, 03:53:57 |
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