荒唐
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请教：关于各态经历假说……
我在许多地方看到有人声称各态经历是错误的，我想知道到底是什么样的事实在什么程度上证明该假说是错误的。（我在书上看到过一些关于各态经历假说错误的说法，但其列举的东西在我看来似乎都不足以彻底杀死各态经历假说。）
据我的非常不完全的了解，各态经历假说有几个阶段（很可能张冠李戴或者挂一漏万了）：
1.原始的各态经历假说：Boltzmann提出的，孤立系统基于经典机械决定论的各态经历假说。后来Boltzmann和其他人还对一些特殊前提条件下证明了某些特殊系统的各态经历定理。这个原始的假说认为任何满足某些条件的孤立系统（具体条件我不记得了，可能是要求相空间体积有限。）都必将是周期的。但并没有对任意孤立系统给出证明。
2.Poincare修正了Boltzmann的原始假说，修正后的假说可以称为准各态经历，是说孤立系统在相空间的轨迹在足够常的时间里能够任意接近能量面上的某个点集中的任何一个相点（可能也要求相空间体积有限）。任何满足某些条件的孤立系统，都必将是准周期的。
3.量子力学版本。量子力学版本中，相点不再是几何点。而且以前的经典版本中，孤立系统的相轨迹绝对不会与自身相交。量子力学版本中，从任何一个相点出发，可能到达多个不同的相点。从这些相点出发，也可能到达同一个相点。而且两个相点A和B之间，从A到达B的概率，应该完全等于从B到A的概率（如果量子力学规律是精确的时间对称规律的话）。
在量子力学版本中，如果相空间的体积是有限的，那么相点的个数就是有限的，如果基本物理规律是时间对称的，那么任何一个（可达的）相点都必将是常返的。但由于概率的性质，孤立系统仍然不是周期的。
但所有这些讨论，都没有涉及相空间无穷大的可能性。如果相空间无穷大，孤立系统可能根本不会有任何（准）周期性，各态经历自然也就失去了意义。
但是看到论坛上哪位老师提到的“芝诺时间”，想到对于我们来说无穷的时间，可能对于某个更加深层的时间来说只是有限的，那么在这种时间之中，各态经历是否再次被赋予了可能呢？
这个坛子里头还有谁能比偶更无知啊？？？
| 发表时间：2005-09-19, 06:58:56 |
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萍踪浪迹
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Re: 请教：关于各态经历假说……
KAM定理颠覆了各态经历假说
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥|
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红叶晚萧萧，长亭酒一瓢
残云归太华，疏雨过中条
树色随山迥，河声入海遥
帝乡明日到，犹自梦渔樵
| 发表时间：2005-09-19, 11:32:17 |
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liubinph
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Re: 请教：关于各态经历假说……
楼上一语中的，不过我还想补充几句
KAM定理证明了对于保守哈密顿系统在小扰动下不变环面可以保持，即存在周期解
从现在的观点看，更容易理解，对于线性系统，几乎都是各态历经的，如面包师变换。但若存在很强的非线性因素，则可能会导致有序，产生吸引子或极限环
至于量子系统，由于薛定鄂方程总是线性的，所以现在普遍认为量子世界不存在类似经典的吸引子或极限环
怎么这么黑啊——
| 发表时间：2005-09-19, 14:06:37 |
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荒唐
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刚刚去学习了一下KAM定理的描述，KAM定理似乎也不过是破坏了
解的周期性和准周期性，但系统在相空间的轨迹似乎仍然能够任意接近某个相点集合中的每一个相点，只不过由于混沌运动，导致无论你多么接近一个相点，系统后续的相轨迹和会很快和真正穿过那个相点的轨迹变得截然不同。
如果我的理解没有错，系统只不过变成了非周期的而已。Boltzmann的各态经历假设的思路在解释宇宙命运的意义上似乎并没有受到致命的冲击。只不过是Boltzmann所认为的周期解不一定存在，甚至准周期解也不一定存在，真正存在的几乎一定是混沌解。
似乎仍然可以认为一个孤立的经典热力学系统的相空间体积如果是有限的，那么存在一个相点的子集，系统会不定期的任意靠近这个子集中的任何一个相点。
而对于孤立的量子系统，无论该系统是否是线性的，系统仍然会不定期任意次回到“可达”的相点集合中的任何一个相点。只不过既不是周期也不是准周期的。
我的本意不是试图知道是否一定是周期解或者准周期解，我只是希望知道经过充足的时间，经典孤立系统是否会任意靠近某个集合中的任何一个给定相点，量子孤立系统是否会不定期第回到某个集合中的任何一个相点。是否（准）周期都无所谓。
如果这个理解说得通，那么是否可以认为这个宇宙的命运即便不是周期的或者准周期的，即便是全局性的混沌，却仍然可能会不定期地回到某些极端特殊的状态附近，例如大爆炸的起点状态？
是否可以认为Boltzmann在那个遥远的年代在宇宙命运问题上的见解已经不是太离谱了，只不过当时的物理学知识还非常有限，动力系统混沌运动也不为人所知。如果他当时能够知道多一些，不再强调什么周期解，而是强调常返的特点，就会得到非常现代版本的说法？
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| 发表时间：2005-09-19, 15:58:28 |
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liubinph
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你可以参考Chirikov标准映射
th[n+1]=th[n]+L[n+1]
L[n+1]=L[n]+k*sin[th[n]]
当k不是很大时（如k<=5),存在逐渐破裂的不变环面
而且即使k很大，不变环面依然存在，只不过区域越来越小
Wir müssen wissen, wir werden wissen——David Hilbert
| 发表时间：2005-09-19, 20:33:34 |
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荒唐
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liubinph兄：
我基础不好，能否说得再明白一点？多谢！！
我已经了解系统可能即没有周期解有没有准周期解，但是即便是完全的混沌运动，相空间仍然会有一个相点的集合，非常不“数学”地说，经过无穷长的时间，系统的相轨迹会把这个集合“填满”。当然，这个集合不一定是一个简单的空间区域，很有可能是个分形。
这个坛子里头还有谁能比偶更无知啊？？？
| 发表时间：2005-09-20, 00:24:06 |
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liubinph
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补充
不好意思 节省内力
因为相空间轨迹互不相交，故周期轨迹与相空间其余部分不交换相流，故不遍历
切里可夫映射是迭代，数值计算可知
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| 发表时间：2005-09-20, 01:04:59 |
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荒唐
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多谢！但我已经明白相轨迹不会遍历整个相空间这个事情了，我的意思是说：
经典动力系统中，相空间的相点会被划分成许多个“子集”，各个子集互不相交（当然不能有任何交集），从一个给定子集中的任意一个相点出发，相轨迹都会无限次任意接近这个子集中的任意一个相点。这样一来，虽然遍历整个相空间变为不可能，但对其中的每一个子集，相轨迹都是“遍历”性的。当然，这些子集之间可能极其复杂地相互咬合，其边界可能是复杂的分形。
原来liu兄也担心内力耗尽气绝身亡呀哈哈哈哈:D。内力不足不必着急回答我的问题，什么时候回答我都是非常感谢的，不过请不要不理我555...
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| 发表时间：2005-09-20, 02:18:43 |
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liubinph
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我不明白了
各态历经是针对相空间的吧
子集怎能“各态”
抛开这点，我同意你说的，确实有些区域可遍历，真实系统往往是混合的
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| 发表时间：2005-09-20, 12:16:27 |
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荒唐
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扔掉我“各态经历”的说法吧，
因为我基础不好，扔了很多年，许多概念都不是很清楚了，实际上我从一开始的本意就不是各态经历的原始概念（但我原以为反正都差不多）。例如KAM定理，我多年以前看过一点点，但早已忘了名字和具体内容，只依稀记得周期系统受到绕动的情况下会出现混沌，而且对于大部分实际的动力系统，混沌运动是最常出现的类型，周期运动反而是极特殊条件下很罕见的情况。
实际上我真正想表达的意思一直都是：在相空间的相点将会被划分为一些不相交的子集，在每个子集内部，系统的轨迹都是“常返”的（这个“常返”我可能使用得又不正确:)），也就是能够任意次地任意接近这个子集中的任何一个相点。我把这种情况称为对这个子集的“各态经历”，然后又把这种非周期的“各态经历”说成是准周期（我想既然不是周期的，又能够经常回到跟原来的某个状态非常接近的状态，所以多少还是会那么一小段非常靠近的轨迹，于是就自作主张称之为“准周期”运动了。）
还有啊，我所认为的波尔兹曼的“各态经历假设”，并不是那么离谱，意思是说：孤立系统是不是周期或者准周期或混沌的，并不是特别重要，这方面Boltzmann局限于当时的物理学，可能无法在这一点上作出正确的猜测，如果他能，那么混沌理论就会提前半个世纪出现了:)。除此之外，他更加不可能预测到在量子理论中相点不再是一个体积为0的几何点，而且相空间的轨迹是概率性质的。但是Boltzmann认为系统经过足够长的时间能够回到过去曾经经历的状态（虽然这一说法也很不精确，实际上只不过是任意接近而已）这才是最重要的内容。
这种观念可以用来解释为什么宇宙会处于高度远离平衡态的这种状态，因为宇宙必然要处于这种状态。以及一些关于热力学时间箭头方面的问题。（见我的这个求教帖：http://www.changhai.org/bbs/load_article.php?fid=3&aid=1127037205）
我看了昌海兄93年2月22和2月23两天写的笔记，基本验证了我帖子中对热力学时间箭头的认识。不过事情过去了这么多年，不知道昌海兄对这个问题是否有了全新的见解。
无论如何，非常感谢 liubinph 和 萍踪浪迹 二位老师，我终于基本上把问题弄清楚了！多谢多谢！
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| 发表时间：2005-09-20, 13:18:55 |
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