萍踪浪迹
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(随笔)现在聊聊数学的物理化
我觉得正好相反，物理学家越来越不关心数学的发展，而数学家越来越多地关心物理学的发展。很少看见物理学家参加数学会议或者到数学系去听报告，但是有不少数学系的教授还要到物理系去听弦论方面的研究生课程。
我在前几天的一张帖子里说到理论物理的数学化问题.季候风网友认为也许应该说是纯数学正在物理化而不是理论物理数学化.现在比较有空,我来闲聊几句,欢迎大家热烈讨论,求同存异.
由于数学的大量问题都是有现实的物理学,力学,天文学,工程学问题的出现而提出的,因此不是说数学在物理化,而是数学的一个重要部分作为描述自然科学领域的大量课题所必须的工具,本身带有自然科学尤其是物理学和力学等学科的色彩.微积分和ODE是Newton为了解决球形引力位下的动力学和运动学问题而大力发展起来的.Laplace方程是Laplace为了解决天体力学的问题而提出的,Poisson方程作为椭圆型方程的代表,我们在认识它时是从经典位势理论入手的,抛物型方程是从热传导方程的推广,双曲型方程是波动方程的代表,三大类PDE都有鲜明的物理学背景.从这个角度分析,数学的物理化反倒不值得奇怪.1910年Lorentz提出听声辨鼓的问题,本质上就是要由椭圆型方程的特征值谱确定二维振动膜的形状，Weyl研究了更一般的的情况,就是在Hilbert空间上紧自伴算子特征值的直接计算方法,发展出后人所称的“极大极小方法”,解决了这个问题的单连通情形,这本身就是承袭数学解决物理问题的好传统.一直以来,数学物理都在迅速发展,作为数学和物理的交叉学科,从物理学观点看,这门学科的数学化程度很高;从数学观点看,它的物理化程度非常高.因此如果仅仅从现代数学物理学的数学方面看,就会认为数学已经物理化了.其实这种物理化是本身固有的,而不是外来的,而且是一开始就有的,不是近几十年才有的.
在现代数学物理中,我们还可以从先后顺序分析,那就是数学先还是物理先?当年是先有Morse理论,然后Witten是应用Morse理论解决超对称的一些课题，而不是超对称问题刺激出Morse理论.是先有模形式和例外Lie群的理论,然后超弦专家把这些现成的数学工具结合强相互作用的唯象理论以及十维空间(四维加上紧致的六维Calabi-Yau空间)和超对称假设,弄出超弦理论.
Donaldson 的著名工作是结合了四维Poincare猜想的解决外加对Yang-Mills方程的瞬子模空间的研究得出的.而且在交换情形和非交换情形都要计算瞬子模空间维数,这个要用椭圆算子理论中的Atiyah-Singer指标定理进行计算,在非交换情形则要处理Donaldson不变量.1994年出现的Seiberg-Witten方程大大简化了Donaldson不变量的计算.这些东西都是数学和物理共同作用才得出的,而不是物理学刺激数学才得出,在这里,数学和物理学是齐头并进,并不存在数学物理化的问题.
许多物理学和其他自然科学问题问题和数学问题是交缠影响.对孤波的研究得出的KdV方程是非线性微分方程受到巨大刺激,但是在处理非线性问题中重要的Backlund变换,确实Backlund于1875研究负常数曲率曲面的sine-Gordon方程时得出的,而这是典型的微分几何问题,并且迅速影响到非线性科学.
代数几何和微分几何在物理中的巨大应用反过来使得大量优秀几何学家和分析学家专注于数学物理的研究,这一点并不是现代的特有现象,整个十八世纪的数学都是和物理学紧密相连的.
数学不仅在物理学中吸取大量精华,而且在天体力学和流体力学中同样吸取了大量资源.著名的Navier-Stokes方程本身就是粘滞性流体的基本方程,但很快就成为数学的核心问题之一,这个方程的解的存在性,光滑性都是人们苦苦探索的课题.三体运动的研究直接催生了动力系统的研究,Biekhoff,Smale就是这个领域的历史性人物.
尽管,大量数学和物理联姻,但是还有很大一部分数学并不需要从物理中获取东西,解析数论似乎就从未与物理学沾过边,即使有,也只是极其边缘的小题目.代数数论中的p-adic分析可以在理论物理得到应用，但是FLT的解决不是因为物理学的影响,而纯粹是模形式和Galois表示等前沿数学学科的功劳.多复变函数论中关于闭链上Cauchy-Poincare公式在理论物理也找到用武之地,但是绝大多数多复变函数论以及复解析空间的结果仍是数学,而且多复变中的Cousin问题以及Levi问题等一系列问题都是纯数学的框架下解决的,与物理实在找不到必然联系.
物理化的不是整个数学,而是部分数学确切说是数学物理这个交叉学科
同样,尽管所有物理都有计算,但是数学化倾向严重的是理论物理而不是整个物理
凝聚态物理的就是技术化倾向严重,而不是数学化倾向严重
部分数学的物理化趋势是与部分物理的数学化是互相影响与促进的,这二者不是相反关系,而是相成关系
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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帝乡明日到，犹自梦渔樵
| 发表时间：2005-09-19, 11:27:21 |
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萍踪浪迹
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Re: (随笔)现在聊聊数学的物理化
本文的第一段是我是季候风网友的话
我把季候风网友的话复制到帖子里粗略分析后消除原文
但是刚才没有太认真检查
还有一段未消除
就是本文的第一段了
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| 发表时间：2005-09-19, 11:31:12 |
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轩轩
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Re: (随笔)现在聊聊数学的物理化
1910年Lorentz提出听声辨鼓的问题,本质上就是要由椭圆型方程的特征值谱确定二维振动膜的形状，Weyl研究了更一般的的情况
在正三角形内解laplace方程，或者说定态schrodinger方程，有人做过吗。正三角形这样的边界，是连续的，但不是光滑的。
引力是非局部的，量子力学也是非局部的。《相对论通俗演义》
i will love you till the null infinity.
| 发表时间：2005-09-19, 19:29:22 |
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yinhow
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Re: (随笔)现在聊聊数学的物理化
1910年Lorentz提出听声辨鼓的问题,本质上就是要由椭圆型方程的特征值谱确定二维振动膜的形状，Weyl研究了更一般的的情况
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这种情况下热核方程解的迹当时间参数t趋向与零的时候, 它可以按t的幂次展开, 前面的系数与"膜"的几何量有关, 如面积, 长度, EULER数等. 我知道这个公式, 也会用这个公式. 但不知道这个公式是如何证明的. 印象中是变分方法. 萍兄能否给点提示和线索?
| 发表时间：2005-09-19, 20:08:19 |
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walk_f