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轩轩

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第23章:从可见光到电磁张量

第23章从可见光到电磁张量
（1）

窗户外面阳光明媚，若你静坐在黑暗的房间里。一束光从窗户的罅隙里进入房间，你陷入了思考。《圣经》上曾经说过，上帝说要有光，于是就有了光。

到底是谁安排这样离奇的人生？从牛顿发现三棱镜能折射出七色光线之后，16岁的少年爱因斯坦是第一次再次从不同的方向思考可见光的一个人。这个少年曾经一度不是很开心，他的世界冷漠疏离，他甚至认为，学校教育不能给他带来什么新鲜的知识，而他一生中最快乐的少年时光，也仅仅是在瑞士阿劳中学复读的那一年，偶然有些快乐。

少年的爱因斯坦曾经也思考过指南针：他的爸爸曾经送给孩提时代的爱因斯坦一个小指南针。他在磁铁上花的工夫不大，否则的话他可能是历史上最著名的凝聚态物理学家。如果你是一个小孩子，你可以思考磁铁为什么不能吸引铜这样的问题，你也可以按照爱因斯坦的思路，来思考一个的问题。

“一个人要是跑得跟光一样快，他将看到一个什么样子的世界？”

一百多年过去了，答案当然已经在相对论里面，在相对论里，一个人不能跑得跟光一样快，否则这个人的质量将是无穷大.因为狭义相对论里有一个公式
m=m0/squr(1-q^2),其中q=v/c，m0是静止质量。
同时，光子是不能做参考系的，这个是因为光子的世界线的长度总是零。
相对论到底是什么呢？它一般被认为是以下三个理论：
1。时间和空间的理论
2。能量和质量的理论
3。引力与物质的理论。
也许可以同时认为广义相对论是
4。几何光学
几何光学无疑是一门优美的数学物理理论，在牛顿之前的数学物理，达到高峰的是阿基米德，他曾经在黑暗年代豪气冲天：“给我一个支点，我就能撬动地球”。阿基米德对杠杆的熟悉把握可以从一个事情看出，那就是他利用杠杆得到了球体的体积公式。这就是他那个时代最杰出的智慧。当然中国人也丝毫没有逊色，祖冲之和他的儿子也做到了这个事情。但祖冲之的方法是纯数学的，而阿基米德的方法，是数学物理的。这也许是2000多年前的中西科学思路的微小差异的写照，而这种差异随着时间流程好象被放大镜放了一下，使得之后在中国，几乎产生不出数学物理。唯一的数学成绩是宋朝杨辉得到了牛顿二项式。宋朝是一个开明的时代，也是文人墨客大喜过望的时代。这个时候西方也几乎没有物理，除了阿基米德的杠杆，但后来到了明末清初，中国出现了王夫之，陷入天人合一之哲学思辩；而西方出现了牛顿，牛顿一生之中曾经写过两本巨著，一本就是《自然哲学的数学原理》，另外一本就是《光学》。牛顿的《光学》，我相信他里面会写一点几何光学，据说在牛顿的这本书里，牛顿认为，引力（和电力）是明显的长程力，而他猜想可能存在其他短程力。在这一点上，牛顿的预见也是惊人的，后来的一批人，发现了奇异的原子世界，实验上发现了强衰变和弱衰变，这些衰变又各种不同的衰变道，各种变化有不同的几率，于是这个世界本质上的量子性被大家看到了。

几何光学的背后是著名的费马原理。这个原理说：光线从A点跑到B点，总花费最短的时间。这个费马原理是一种奇特的伟大，很多平面几何的题目可以由它迅速得到。
一个长方体的长宽高分别是12，13，23。一个蚂蚁从底面的a点爬到侧面的b点，蚂蚁能爬的最短距离是多少。这个问题当然很简单，你可以把长方体的表面展开，成为一个平面。如果是圆柱面，这个问题同样可以解答。但如果是球面，就不是那么简单了，因为你无法把一个球面展平了，于是你想要去计算这个蚂蚁从球面上a点爬到b点所需要的最短距离的时候，你陷入了僵局。
这个僵局完全可以用几何光学来处理——这就是相对论了。
费马原理天生就是一个相对论的原理，原因是光线天生就是相对论的。换一句话来讲，光子跑过的时间，总等于它走过的路程，无论在谁看来，全一样。

数学家伯努利或者别人用折射定理或者说斯涅尔定理得到最速降线。这是古典数学物理的伟大成就。这些结果全来自肉眼可以看到的可见光的运动规律。

整个牛顿时代的天空只有白天和黑夜，从来也没有灯光绚烂的不夜之城，大家还点着煤油灯，过着寂寞的日子。但有的人也许曾经向往光明，顾城后来写到“黑夜给了我黑色的眼睛，我全用它来寻找光明”。顾城的诗在物理学历史上没有多少象征意义，他无非是在说，古代人在等待着一个灯火绚烂夜夜笙歌的时代的来临。某一天阳光不再普照大地，电光也能照亮璀璨俗世。
人们是在历史里等待。等待与太阳光不一样的灯火的出现。

牛顿时代没有霓虹，唯一的电磁现象是太阳光。牛顿把握住了光的折射，但没有可能得到光的进一步的性质，这需要法拉第和麦克斯维来完成。
没有人可以超越时代，风流总被雨打风吹过。宋朝苏轼写下《赤壁怀古》
“大江东去，浪淘尽，千古风流人物。古垒西边，人道是三国周朗赤壁，遥想公瑾当年，小乔初嫁了，雄姿英发。羽扇纶巾，谈笑间，樯橹灰飞烟灭。故国神游，多情应笑我，早生华发，人生如梦，一尊还酹江月。”

反思牛顿的业绩，牛顿在那个黑暗时代最接近广义相对论的时候，是提出牛顿水桶的思想实验，而可以相信，牛顿水桶，无非就是200多年后的爱因斯坦转盘。
牛顿水桶和马赫把水桶壁加厚的争论，非常哲学，在现代广义相对论里，爱因斯坦提出一个平面转盘，这个转盘在平坦的四维时空里转动，因为转盘上不同半径上的观察者，转动角速度一样，而线速度不一样，所以根据狭义相对论的尺缩效应，平面转盘必然需要扭曲。这个思想实验完全与牛顿水桶一样，用现代的数学语言来说：转盘上的观察者组成的参考系，它们是一组4矢量场，这矢量场的扭转（twist）非零，所以它无法超曲面正交。或者说，它们无法有同时面。
牛顿属于他的时代，但他对光学的审美可以与万有引力统一起来，广义相对论在一定程度上也许可以再次被看成是一种几何光学。
（2）

从彭罗斯主义出发，旋量正好是类光矢量的平方根。光锥结构也就是时空的局部结构。

光是宇宙与地球之间的最紧密的纽带。而光速的有限性小说家可以构造无穷多凄美的爱情故事。

如果你现在是深圳城市里的一个23岁的男孩子，开始在公司上班，每天忙得象一个雨前的蚂蚁，在都市的高楼丛林里穿梭。织女星上“现在”有一个女孩，她用天文望远镜朝地球望去，能看到26年前的地球景象，她“现在”看到的是中国刚刚打开国门，深圳还是一片农村，你还没有出生。她在远方，经历多年的风霜月痕，要等待着你的出生，与你相爱。光速的有限性在体现出来了。

当然你也可以反过来问一句，那么，什么是所谓织女星上的“现在”？如何定义地球和织女星的同时面？你如何才能告诉那个织女星上的女孩子，告诉她你已经出生了，并且也很爱她。
你需要面临的是一场穿越时空的爱恋。
总的来说，这就是时空结构。时空结构就象是一条鲸鱼，而人类就象是活在鲸鱼背脊的小动物，以前这些小动物以为自己生活在小岛之上，现在他们开始觉悟了，自己是生活在另外一个动物之上。

唐代杜牧在《秋夕》中写道:“银烛秋光冷画屏,轻罗小扇扑流萤。天阶夜色凉如水,坐看牵牛织女星。”这是无比欢乐的古代的少女生活的写照，也是时空之中优美的图案。但他没有办法知道具体的时空结构是什么，现在的人是何其幸运。
因为只要你想守望星空，你已经有机会完全地理解时空结构。看到漫天星光，懂得如何能让自己超越璀璨俗世。

时空结构是由物质分布决定的，但它可以通过上面的类光测地线的性质来描述。
哥腾伯格—塞司（goldberg-sachs）定理从类光测地线汇可以推论出外尔张量……塞司是一个相对论学家，他和一个华人数学家伍洪熙合写了一本相对论的书，书名叫《给数学家讲广义相对论》。哥腾伯格—塞司定理是一个代数定理，它涉及到外尔张量的代数性质。因为外尔张量是一个具有四个指标的张量，比较复杂。
我们可以首先看看比较简单的电磁张量F-ab，F-ab具有2个指标，是一个2形式场。
与外尔张量的哥腾伯格—塞司（goldberg-sachs）定理类似，电磁场也对于一个定理，叫做Robinson-Mariot定理。定理的内容如下：代数特殊的真空麦克斯维方程的主类光测地线汇是测地的，shear free的。
那么什么叫代数特殊呢？
假设F-ab是在四维平坦时空之上，而不是欧空间上。
那么，考虑本征方程如下
F A=f A （13）
如果A存在的话，显然A是一个类光矢量，f是非零的复数。
这无非是说，如果把F-ab看成一个矩阵的话，那么它有特征向量，这个特征向量的长度是0，或者说零模矢量，类光矢量。
经典电磁场的代数性质浮现了：我们考虑的本征方程（13），如果它有2个不同的特征解A1，A2。如果我们考虑另一个跟（13）类似的方程，考虑类似的本征矢量。如果本征矢量有重复，我们就称电磁场为代数特殊的。关于电磁场的代数性质背后有冗长的历史，可以与旋量分析联系起来。如果考虑电磁场与能动张量的关系，一个很重要的工作是E.威腾的爸爸L.威腾做出的，后来威腾对旋量的手法很纯熟，看来是深受其父的影响。而他的爸爸是专门研究广义相对论的，不可避免深受彭罗斯的影响。
前面已经说了，电磁场是Fab。那么，还有一个它的对偶场，当然就是霍奇（hodge）对偶*算子作用一下。因为时空是4维的，所以Fab对偶场*Fab也是一个2形式场。
再次用霍奇（hodge）对偶*算子作用一下*Fab，我们得到一个非常重要的方程
**Fab=-Fab （14）
由此可见*算子的平方的特征值是-1。所以*算子的特征值是+i或者-i。
这预示了，量子化以后，电磁场光子的螺旋度是s=1/2。
ashtekar是比较有能力的广义相对论学家,他曾经写了一个文章,1985年,题目叫做A note on helicity and self duality.这个文章很优美,体现了他的水平.loop量子引力是什么?是一种量子场论。我某一个时间一直看不出艾虚卡思想的来源，后来看到1973年geroch在芝大的讲义a special topic on particle phisics。这本讲义是天造之作。而在这本讲量子场论的内部讲义里,我可以看到后来loop的影子。这个事情很简单,1973年附近,ashtekar是geroch的博士生。
霍奇（hodge）对偶*算子正好是螺旋度算子。艾虚卡1985年的文章有记录。

在yang-mills情景下，如果我们转如欧氏号差{+ + + +}我们会发现
**Fab= Fab （15）
在这个欧氏号差下，*算子的平方的特征值是+1，所以*算子的特征值是+1或者-1。
我们把满足*Fab= Fab的叫做自对偶瞬子。自对偶的瞬子方程的解空间，或者说moduli空间是有限维的。这个moduli空间是有限维的结构曾经吸引了阿蒂亚，希钦，马宁，和唐纳森的兴趣。
但为什么没有人谈Fab=*Fab在电磁场中的情景呢？原因是因为电磁场是阿贝尔的，这个解空间是平庸的。或者说因为电磁场是线性的，而yang-mills方程是完全非线性的。

回到（13），再次强调，如果A1=A2，或者A1，A2不存在，这个电磁场就是代数特殊的了。当然这个其实完全类似于petrov的对外尔张量的分类。

经典电磁场Fab的存在，是几何光学的全部内涵的源泉。那么我们可以得到它对应的能动张量Tab，暂时假如Fab是无源的。
Tab在对偶转动下是不变的。所谓对偶转动是如下变换，Fab---》Fab·=Fab cosa-*Fab sina
其中a是转动角，Fab·是转动后的电磁张量。
当然这样的对称性意味着什么？？？
从Tab看来，Fab·与Fab是不能分辨的。
一个另外的结果是，任何电磁场，经过对偶转动后，总可以实现F *F=O，也就是说，经过对偶转动后任意电磁场总可以是简单（simple）的。

（3）
对于电磁张量的代数分析导致了后来的旋量分析。所以的代数结论全可以用旋量语言重新描述。从几何光学到电磁张量的历史变迁吸引了很多人。电场，磁场，磁荷，磁单极所有的问题糅合在一起，这些看不见的光线在黑暗的灵魂世界织出绚丽的彩虹。
顺便评论2点如下：
a。没有磁单极的时候，磁场是一个赝矢量。这与洛伦次李群有关系。
b。电场场有类光与非类光的区别。或者说有静电场与辐射场的区别。辐射场的能流能到达类光无限远。

虽然爱因斯坦得诺贝尔奖的原因在于光的粒子性，但他一辈子最重要的贡献在于光的波动性质，或者说经典性质。这是几何光学历史上最杰出的成绩。
　爱因斯坦在普林斯顿的晚年留下很多故事,有一个故事类似于一个笑话，爱因斯坦有一次回家忘了自己家的住址,于是打电话给秘书,变了个声音说:“你好，请问爱因斯坦教授在吗？” 秘书回答说:“很抱歉,先生,爱因斯坦已经回家去了。”于是爱因斯坦接着问：“那你能告诉我爱因斯坦家的住址吗？我有物理问题要找爱因斯坦教授讨论。”秘书说：“对不起，爱因斯坦要求我们严格保密他的住址,不经他的同意我们不能告诉您.” 然后爱因斯坦压低声音无奈地说:“我是爱因斯坦,您能告诉我,我家的住址吗?”
　　　　

当犹太人自己建立的国家以色列，请爱因斯坦回国担任总统时，爱因斯坦婉言谢绝了，他的理由是政治之为一时，而方程可以久远。每当想起这个故事，我们能想起很多人，包括lz.Fang，伽罗华。
　　　　
随着年事日高，爱因斯坦的亲朋好友一个又一个先他而去，先是他的大女儿。然后是格罗斯曼教授。在格罗斯曼的葬礼上，爱因斯坦的悼词中写到："作为普通人的眼光看，你永久离开了我们这个世界；但在我们物理学家都坚信，所谓空间和时间都不过是人脑中一种执著的幻像而已。"
　　　　
伴他多年的夫人埃尔莎的死对他是沉重的打击。幸亏他的妹妹专程赶来陪他，使他的精神稍有好转。当妹妹亦身患重病也离他而去时，爱因斯坦陷入了更大的孤寂，自己亦知时间不远了。
　　　　
在最后的日子里，爱因斯坦仍没有放弃自己的工作，统一场论的数学公式始终不断地在脑中徘徊。在1955年4月17日的深夜，躺在病床上的爱因斯坦带着统一场论的秘密永远的离开了这个世界。
　窗外，一片树叶静悄悄地落了下来。
　　　
　　再次向这位一辈子几乎孤冷的勇敢战士，人类永远的伟大儿子阿尔伯特。爱因斯坦致敬！这个曾经的少年在思考阳光的时候，脸上写满了明媚的哀伤。

引力是非局部的，量子力学也是非局部的。《相对论通俗演义》

i will love you till the null infinity.

发表时间：2005-09-20, 23:27:17