季候风
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关于扭结分类的现状
一般我们把扭结当作S1--->S3 的嵌入。S3是 R3 的一点紧化。 在S3中考虑问题有很多好处，因为S3是紧致的。扭结的分类，或者更广义的，链结的分类，是要看在连续的微小形变（isotopy，也叫同痕）下哪些链结能互相转换哪些不能。链结分类问题是三维流形的中心问题。所有闭三维流形都能由S3在链结上做“手术”得到，分类了链结就几乎等于分类了所有闭三维流形。
在80年代，有人证明了扭结在S3中的补集完全决定了扭结，也就是说，如果两个扭结的补集同胚，那么这两个扭结同痕。（注意，链结的补集一般不能完全决定链结，这与只有一个分支的扭结不同。）而三维几何拓扑在7，80年代的发展，特别由于Bill Thurston的贡献，使扭结分类问题从某种意义上归结为三维双曲流形的分类问题。这是因为，Thurston 的双曲化定理表明，大多数扭结（甚至链结）的补集都有完备的双曲度量（这些链结叫双曲链结），只有两类扭结例外：
（1）环面上的扭结：环面上的扭结的补集是所谓 Seifert fibered 流形，简单点说就是由圆圈组成的三维流形，这种流形上面不可能有双曲度量，而且这种流形已经被彻底分类了。也就是说，环面上的扭结已经被分类了。其实在几何化潮流以前环面上的扭结（甚至链结）就应该已经被初等方法分类了。
（2）卫星结：这种扭结 K 本身处在另外一个扭结 K1（伴随扭结）的管状邻域里面。这种扭结的补集被这个管状邻域的边界（一个环面）分割成内外两个开流形：外部同胚于伴随扭结 K1 的补集，内部同胚于一个开的实心环除去这个扭结 K。如果你能想象两个实心环怎么粘成S3, 你就能知道这个内部开流形实际上同胚于另一个链结L的补集，这个 L 比 K 多了一个圈，类似于Whitehead link 的那个圈。现在， S3- K = (S3 - K1) & (S3- L), 这里 & 表示通过一个环面粘起来。现在 L 已经不是卫星结了，如果 K1 还是卫星结，再重复以上步骤。可以证明这个分解过程在有限步中止， S3- K = & (S3- L_i), 使得所有L_i 要么是双曲链结，要么是环面上的链结。而后者的补集是我们已经分类了的Seifert fibered 流形。
综上所述，如果分类了双曲流形，那么首先，双曲扭结被分类了，然后，卫星结的补集也已经清楚了，所有的扭结就都清楚了。
figure 8 是一个双曲扭结，而 trefoil （三叶结） 是一个环面上的扭结。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-09-24, 22:11:44 |
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