季候风
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其它有趣的扭结问题
首先一个问题：怎么判断一个扭结是不是平凡扭结？ 办法说起来很多，但都不可行： 第一，看它的补集是不是开实心环，这个表面上看就知道不可行，揉成一团的平凡扭结的补集看起来也是非常复杂的；第二，看它的补集的基本群是不是无限循环群，这个也不可行，因为word problem 不可解；第三，看它的Seifert genus 是不是 0，这个也不现实，因为我们没有办法计算genus。
现在更高级的办法：用 Heegaard-Floer homology 能得到 Seifert genus. 可惜 Heegaard-Floer homology 现在只对 alternating knots 有简单的算法。这就引出现在最紧急的任务之一：找到计算 Heegaard-Floer homology 的组合方法，让我们能像算 Jones polynomial 那样算 Heegaard-Floer。找出这个组合方法的途径现在看来是与另一个热门 Khovanov homology 有着极大的关系。
还有一个既可行又不可行的办法：算扭结的 Vassilev 不变量。现在还不能证明 Vassilev 不变量能判断一个扭结是否平凡，但这个命题是 volume conjecture 的一个推论。所以又引出一个小热门 volume conjecture. 一直以来日本人在对这个猜想的研究上处于领先地位，最近有个越南人做出了重要贡献，有些激活了这个领域。
综上，现在三维流形的几大热点：
（1）Heegaard-Floer homology, Khovanov homology, Seiberg-Witten homology 相互之间的关系，前后两种不变量的组合计算方法，以及它们分别是什么空间的 homology. 隐藏在背后的是Atiyah-Floer 猜想。限于这个领域过于技术性，不可能在这里展开这些概念。
（2）Volume conjucture: 一个扭结K的带色的Jones polynomial 在单位根上的取值，J_N^K(\omega_N), 当 N 趋于无穷时，这个复数的绝对值呈指数增长，增长律恰好是K在S3中的补集， S3 - K 的双曲体积。这个猜想的证明将进一步肯定双曲几何在三维流形理论中的特殊地位，就像Atiyah所说，这个猜想把三维流形近三十年表面上看来毫不相干的两大进展，Jones-Witten-Drinfeld 的量子不变量（拓扑量子场论）和 Thurston 的双曲几何（几何化猜想）联系起来。
（3）双曲几何。这是一个极其需要 100％天才＋100％勤奋 的领域。可以称这个领域里的人们为"Thurston 学派"，里面的老一辈人受到Thurston 的极大影响，年轻一辈基本上是 Thurston 的徒子徒孙。这个领域里面的问题很多很杂，但是都很难。方法上也是博采众长，几何，拓扑，分析，群论，动力系统，甚至数论代数几何，都是他们信手拈来的工具。Dannis Sullivan 也是这个领域的祖师爷级人物，去 SUNY stony brook 看看他属于哪个教研组。 这个领域最近也很活跃，有一系列的进展，限于我所知有限，没有办法将这个领域的美景展现出来。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-09-24, 23:05:48 |
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THANXmm
