弱力三千
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（原创）混沌控制的技术应用
在许多实际问题中，混沌是一种有害的运动形式。机械设备、电子设备以及航空设备等等在运行过程中，由于自身的非线性特征以及外界的强烈影响而出现失稳，产生混沌，危及设备的正常运作，缩短设备寿命。
周期脉冲转子在没有阻尼和阻尼很大的情况下都会出现横截交叉现象，直接演化为混沌。其演化过程非常复杂。由一个 整流二极管和一个电感器串联而成的二极管振荡器，在一个频率为50-100kHz的正弦电压驱动下，电压增加时，系统显示出倍周期分岔现象，出现混沌。一个设备如果产生混沌而且没有加以控制和消除，就会使得设备功能混乱甚至失效，对系统的正常运行造成巨大的干扰作用甚至直接毁了设备，引发的结果往往难以预料。有些工程系统由于系统参数或者初值的微小变化会从周期变化变为混沌运动，这时往往要求通过具体的控制途径消除或者削弱混沌，使系统恢复原来的周期运动。
这些背景使得混沌的抑制与消除在设备维护中具有重大的意义。由于混沌的长期趋势不可预见和内在随机性，其输出往往不符合人们的要求。所以人们必须尽力消除混沌现象。
一个高能粒子加速器会由于共振效应产生混沌。著名物理学家Heisenberg在1967年谈到CERN（西欧核子中心）质子同步加速器时曾经指出：“质子绕加速器回转运动时能否稳定在预定轨道上是至关重要的问题，只要管道中哪怕有一点点缺陷，质子绕加速器的回转频率与质子在回转轨道附近的振荡频率之比便可能成为有理数，这便可能导致两种运动模式之间的共振，带来了类似天体力学中的困难。”这种共振数学家称为Poincare栅栏，由Poincare于19世纪末发现而得名。共振（Poincare栅栏）的出现使得粒子大幅度横向振荡过大而 逸出有效作用范围。这使加速器的效率受到很大影响。因此就必须遏制这种混沌产生。这需要尽力防止线性和非线性共振发生。这就要求设计一个使束团寿命尽量长的粒子储存环。高能加速器一般采用使两束带相反电荷的离子对撞的方法。每个粒子都在振荡。振荡有两种：一种是束运动方向的纵向振荡即同步振荡，是用来加速粒子的；二是在粒子运动方向作横向振荡，叫做电子回旋振荡。它导致粒子束散开。为了使对撞粒子足够多，束的分散度必须控制。有一种装置叫做铲除器，用来周期性地铲除电子回旋振荡幅度过大的粒子。如果被铲除的粒子过多，则能够进行对撞的粒子就少了这样碰撞效率就降低了，因而必须对电子回旋振荡仔细研究。粒子作横向振荡时往往会出现共振，导致大幅度横向振荡，使很多粒子被铲除。
从这个例子可以看出，混沌对设备的寿命以及设备的效率常常会产生消极影响，因此，消除或者控制混沌是必须的。
为了阐述控制混沌的基本思想,必须先给出混沌的精确定义和特征.
4.2 混沌的定义与特征
1975年，美国的约克（Yorke）和他的学生、美籍华人李天岩以Li—Yorke为名联名发表的论文《周期三产生混沌》中首次明确引进chaos这个词，中文译为混沌。
在这篇论文中，Li—Yorke为混沌下了定义
根据Li—Yorke定义，1983年戴（Day）认为一个混沌系统应该具有如下三种性质：第一、存在所有阶的周期轨道；第二、存在一个只含有混沌轨道的不可数集，且任意两个轨道既不趋向于远离也不趋向于接近，而是两种状态交替出现；第三、混沌轨道具有高度的不稳定性。
直观地说，混沌是指：一个系统在演化过程中，由于自身的非线性特征以及外界的影响，就会使系统的演化变得无法预测。往往经过几个周期后轨道就和原来的确定的轨道产生偏离。我们称之为混沌。一个精密系统和复杂系统尤其容易产生这种现象。这就是著名的"蝴蝶效应"在日积月累中要起作用的机理所在，用微分方程语言来描述就是：“系统对初值极度敏感”，一个极小的偏离在时间的演化中会逐步放大成大的偏离，而且通常是以指数形式放大。
非线性是产生混沌的必要条件非充分条件，一个非线性系统具有下列特征时会发生混沌：系统的轨迹为奇怪吸引子图象；系统中至少有一个李雅普诺夫指数大于零；系统运动的功率谱具有连续谱上叠加有尖峰的特点；系统的出现倍周期分岔将直接导致周期的指数形式增长，最终丧失周期，这也会导致混沌。
其中Lyapunov指数是定量判断混沌的一个重要的依据。
Lyapunov指数若为正数，则轨道的每个局部都不稳定，相邻轨道以指数分离的形式迅速分开，若是负的，则表明相空间收缩，轨道在局部是稳定的，若为零时，轨道既不分离也不靠近。一维映射只有一个李亚普诺夫指数指数，n维映射有n个李亚普诺夫指数指数 ，只要其中一个是正数就会产生混沌。如果大于0的Lyapunov指数有两个以上，就称为超混沌。
为了避免混沌的危害就必须探索和应用混沌的消除与控制的基本途径
混沌控制的主要任务是,根据不同领域得需要，设法从多种多样的非线性系统所产生的行为中,挑选出任意所需的各种周期信号甚至非周期信号,并实现其稳定的有效控制，或者可以说利用非线性系统的特征,通过各种策略方法与途径获得人们所需的动力学行为，使不规则运动恢复周期运动或平衡态。消除混沌的有害效应。
混沌控制的在物理上的一个基本机理是将正的Lyapunov指数变为负值或0,从而实现从不稳定到稳定的转变.现行的控制方法的共同点就是利用含时小参数 微扰来实现对混沌的稳定控制.当微扰趋于0时,则达到了所需周期或非周期信号的稳定化.
（1 ） 奇怪吸引子与OGY控制法
混沌运动中会产生奇怪吸引子，混沌是一个结构不稳定的状态，总要趋向稳定才能存在下去。相空间中对应着的系统结构稳定的区域,对其他不稳定的区域有一种吸附作用,因此可以将结构稳定的部分称为“吸引子”。
奇怪吸引子的维数是分数或者无理数,简称分数维(分维)。奇怪吸引子描述了相空间收缩的同时也描述了局部不稳定的情况.它在很大程度上体现了混沌运动的基本特征。
先精确定义吸引子：如果说相空间的一个子集A为吸引子,那么 必须满足：1, 是闭的不变集,2,存在A的一个邻域,其中的点在系统相应的微分方程所决定的动力学“流”作用下最终收缩到A ;3, A上的点最终回到A的邻域内。
1990年Ott、Grebogi、Yorke 提出的利用参数反馈镇定构成混沌吸引子的任意不稳定周期性轨道的方法，被称为OGY方法
OGY方法是基于混沌奇怪吸引子具有极其稠密的不稳定周期轨道。混沌控制的基本任务是设法把其中任一条所需的轨道挑选出来,并加以稳定的控制。
OGY方法是十分有力的控制手段，不仅可以消除混沌的有害效应，而且可以利用混沌的特有性质即初值敏感性、各态历经性和包含的周期态的极大丰富性的特性，利用参数的微调将系统在尽可能短的时间内驱动到目标态的领域，然后启动微小控制信号将系统捕捉到目标轨道上，继续用微小信号将系统保持在目标态上，并用同样是微小的信号使系统在大量的周期态之间自由灵活地转换，以适应环境变化的要求。1984年美国国家航空航天局（NASA）科学家们利用ISEE-3/ICE探测器运载火箭中残存的少量燃料，巧妙地将探测器送出八千多万公里穿过太阳系首次进入星际之间遨游，这一技术利用了天体力学中的三体运动的混沌轨道对微小驱动的敏感性，这一成功在非混沌系统中是不可能实现的。
OGY方法的另一个推广和变形就是镇定控制。
混沌的镇定控制是研究和应用较多的一种控制方案。它基于混沌吸引子的几何结构。采用镇定控制时，控制目标必须是稠密嵌入混沌吸引子的无穷多个不稳定周期轨道之一，通过系统可控参数的反馈摄动使某个期望的轨道由不稳定变稳定。已经有人将改进的OGY方法的控制律用于杜芬振荡器中的混沌控制，纠正了原先OGY方法无法控制的情形
（2 ） OPF控制法
OGY方法要求系统的参数不超过一定的允许范围，否则经微扰后系统的局部动力学行为将被畸变，微扰量也限于比较小才能稳定控制较低周期的轨道，只能控制到周期3，更高周期的受到噪声的影响而难以控制。为了达到对混沌吸引子中更高周期轨道的有效控制，Peng、Petrov、Showalter分别提出了偶然正比反馈技术（OPF技术）对于高周期轨道的控制，OPF技术允许有足够大的微扰，比如对于二极管，驱动电压变化10%时，仍可以达到控制。可再20微秒内达到对周期23的控制。OPF技术技术具有很大的优点，它只需要小微扰就可以很容易控制低周期态，而且通过调整信号限制窗口的宽度及反馈信号的增益量，能够有效地控制很高周期的轨道。虽然由于微扰量较大时，有可能改变吸引子的结构.
被稳定下来的周期轨道不一定都在吸引子上,这一点使混沌系统更有希望被稳定下来.由于OPF方法能够稳定吸引子高周期的不稳定轨道,而高周期轨道能够达到吸引子的更多区域,不同区域对应系统的不同物理状态. OPF法对控制比较复杂的不知其机制的系统比较比较适用.因而被广泛应用于许多实际系统,例如超导约瑟夫森解的网络系统,激光系统以及化学湍流系统,生物系统等。
OPF技术的优点是控制器所需的信息可直接从测量混沌行为得到,能快速控制混沌.美国海军实验室一个小组机遇OPF技术开发出一种跟踪法,跟踪不稳定的周期轨道或恒定态,从而拓展了混沌控制的范围.这种OPF法的一种变型应用于激光系统使得激光装置的功率输出提高了15倍.
（3 ） 外力-反馈控制法及延迟自反馈控制法(连续变量控制法)
OGY方法实际上只适用于离散系统以及可以被转变成离散系统的连续系统.因此使用范围被限制,1993年Porygas提出的两种控制连续系统的方法:外力-反馈控制法及延迟自反馈控制法.其基本思想都是考虑混沌系统的输出与输入信号之间的自反馈耦合.前者从外部注入周期信号,后者把系统本身输出的信号取出一部分并延迟一段时间后再反馈到系统中去,两种方法都可以实现对混沌系统中的周期信号的连续控制. 延时反馈控制方法可以对欧拉动弯曲问题的混沌行为进行控制。得到稳定周期或者准周期解。由于在工程中欧拉动弯曲问题的普遍性与重要性，以及该系统中存在极为丰富的分岔现象和混沌行为，这个问题受到人们的重视。在实际工程问题中，欧拉动弯曲所产生的混沌振动常会导致系统的不规则运作以及机械系统的疲劳断裂，对机械设备及相关设备造成巨大损害。应用延时反馈控制方法可以控制这种混沌。
建立闭环反馈系统控制混沌
在分岔的讨论中我们已经初步讨论到混沌的控制了,但是,那只是对混沌的预防控制,即在混沌未发生时防患于未然.对于已经是混沌的系统,如何控制和消除混沌是另一个问题,也是更难解决的问题.
要实现控制作用，必须有控制环节和效应环节，并按一定的规则组成系统。同时必须有信息的传递和处理，因此在研究控制作用的机制和特性时，控制、信息和系统三方面的理论和概念是不可分割的整体。控制系统是一个具有一定功能可以完成某种控制任务的系统。它包括控制元件和效应元件。为实现准确有效的控制，通常还要将效应元件执行控制命令的情况返回到控制元件，这就需要一个信息反馈装置。
简化的混沌系统的数学模型
如果对系统产生混沌的机制比较清楚的话，在进行混沌控制前，可以先对所研究的混沌系统建立数学模型，分析其是否可控以及需要控制的参数。
例如对于加速器中粒子运动产生的混沌，可以先建立简化数学模型。
在远离碰撞区，两束粒子流的相互作用很弱，可以视为零。此时在环形轨道上的粒子和回旋振荡可以用简谐振荡表示，通过参量修正进行控制。
基于OGY方法的闭环反馈控制法的应用
对于比较复杂的混沌系统，我们通常无法建立精确的数学模型,这时可以直接建立反馈控制方法。
在实际问题中常用反馈控制方法是OGY方法。这种方法通常以混沌态中镶嵌的不稳定轨道为目标态，所以在实现控制时只需要很小的微扰信号，同时原动力学系统的固有特点得以保持。反馈控制要测量混沌系统变量的演化数据，以此调节控制信号和控制参数。
OGY是第一种比较有效地控制混沌的方法，Ditto等人进行了把OGY法应用于控制重力场中弹性磁条混沌运动的实验，证明了OGY方法的有效性。他们选择了带状磁弹体在磁场作用下作用下的微扰实验，观察其刚性变化。实验表明，当磁场较弱时，磁弹体直立着，刚性较大。当磁场增大时，刚性减小，弹性增大，带状磁弹体开始变形，磁场继续增大时，磁弹体进入混沌状态。通过选择混沌中的一条特定的周期轨道，当磁弹体的振动频率接近该轨道时，就给磁场一个微扰，并调节微扰量，则磁弹体在所需的周期下有规则地振动，微扰撤消后，混沌再次产生。
再谈谈OPF技术控制的应用
以二极管共振器为例，该系统由一系列p-n结矫正器及电感组成。二极管输出的峰值电流
作为系统的混沌变量，当输入正弦电压随着时间增加来驱动系统时，将会出现倍周期分岔从而进入混沌。对峰值 进行采样，如果 就在窗口比较器的窗口所允许的电流值的范围之内，则受驱动的电压由正比于和窗口宽度的电流所调制，若 不落在窗口之内。则调制信号最大的修正与窗口大小及系统增益成正比。一旦 在窗口之内，系统就采样并产生增益，最后反馈到系统中去控制。适当改变增益和窗口大小就可以实现对系统中混沌的某个周期的稳定控制。因此这本质上就是一个闭环反馈系统在混沌控制中的应用，一旦 落在窗口比较器的窗口外就产生预警并反馈到控制系统进行控制，消除控制，保证了电子系统运行的稳定性，从而为电子设备的维护管理提供了一条行之有效的途径。
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| 发表时间：2005-09-25, 07:47:18 |
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弱力三千
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Re: （原创）混沌控制的技术应用
由于本论坛可以理解为电脑&技术论坛，所以我发一篇非线性科学技术的帖子
这是我一篇文章的一小部分，贴上来时原来的大量公式也去掉了，感谢方叶祥讲师的合作和督促。
本文参考文献有：
王树禾 ，微分方程模型与混沌，中国科学技术大学出版社1999.2
吴祥兴，陈忠，混沌学导论,上海科学技术文献出版社，1996. 11
黄润生，混沌及其应用，武汉大学出版社,2000. 1
胡岗，萧井华，郑志刚， 混沌控制，上海科技教育出版社, 2002
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| 发表时间：2005-09-25, 07:47:38 |
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荒唐
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写得不错赞一个！不过吹毛求疵地提一个小意见：
“奇怪吸引子的维数是分数或者无理数,简称分数维(分维)。”这句话好像不太准确。即便是整数维，也可以是分形结构。例如以三维空间中由四个正四面体顶点两两相连而成的结构（相当于把一个大正四面体中心挖掉一个正八面体）作为叠代的结构，每次叠代把整个结构尺寸缩小到1/2并且嵌入到四个小四面体中的每一个，最终的极限是一个嵌入到三维空间中维数为2的分形。
虽然分形的维数常常是分数或者无理数，但实际上维数是否不是整数并不重要。所以这句话应该适当斟酌一下。
大概这样说比较合适“奇怪吸引子的维数通常不是整数，简称分数维(分维)。”
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| 发表时间：2005-09-25, 15:48:20 |
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Re: （原创）混沌控制的技术应用
整数属于分数,实际上是分数的一个等价类,如3=3/1=6/2=9/3=.....................
整数维吸引子有另外名称
零维的为奇点
1维的为极限环
2维的为吸引环面
高维的为高维环面(但是很容易降维通向混沌)
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| 发表时间：2005-09-27, 03:22:25 |
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荒唐
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呵呵，偶又提了个蠢建议:D
维数是整数的结构也可能是完全支离破碎的，一定能够被称为极限环和吸引环面么？
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| 发表时间：2005-09-27, 03:46:15 |
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Re: （原创）混沌控制的技术应用
如果从分形的角度来说
我们用Hausdorrf维数等方法来计算维数,那么当然会有种种奇怪的东西出现
不过,这里没有考虑这些情况
所简略说就是直接以整数维概括
不过,我一直认为分形这门学科培养了很多垃圾作者
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| 发表时间：2005-09-27, 05:54:00 |
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Re: （原创）混沌控制的技术应用
所以
我是很鄙视Mandbrot的
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| 发表时间：2005-09-27, 06:28:41 |
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荒唐
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据说Mandelbrot是比较喜欢自吹自擂的，
但科学家也不过是普通人，何必要求那么高呢。我想既不是Mandelbrot也不是分形这个学科培养了那些垃圾作者。那些垃圾作者无论有没有这些学科，也会成为垃圾作者的。只不过搞其他东西相对于搞分形理论来说，可能更较容易被揭穿识破罢了。几乎每一种新兴学科刚刚出现的时候，尤其是门槛非常低的学科，基本上都会出现这种垃圾作者泛滥的情况。更何况公认的创始人本人也如此热衷于自吹自擂呢？
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| 发表时间：2005-09-27, 08:01:54 |
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Re: （原创）混沌控制的技术应用
Mandelbrot自视甚高
说话很嚣张
这是我讨厌他的主要原因
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| 发表时间：2005-09-28, 07:02:07 |
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散热片
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Re: （原创）混沌控制的技术应用
以前看过一本讲混沌的书，名字不记得了，后来用MATLAB画过他的那个“姜饼人”，觉得蛮有意思的。但为什么有人说他不是数学家呢？不懂，感觉是发现了什么，但没有能解释什么，至少我看那样的科普就是这种感觉。另外这种书对我最大的吸引力是前半部分的数学史的内容。
| 发表时间：2005-10-04, 01:02:10 |
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