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萍踪浪迹

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（原创）数学危机与广义相对论奇点

（原创）数学危机与广义相对论的奇点
作者：萍踪浪迹（王善钦）
对于三次数学危机的看法，学界可谓仁者见，仁智者见智，当然还有一种情况，那就是傻者见傻。
第一次数学危机因为无理数的引入而消除。
第二次数学危机则旷日持久，且事关重大，在数学界和哲学界的震撼力也事三次数学危机中最大的一个。Newton和Leibnitz的微积分被公认为人类智力史上的最伟大成就之一，事实上，正如von Neumann所认为的那样，无论给这个成就多么高的评价都不过分。常微分方程，微分几何，偏微分方程都是以微积分为基础的。但是，学过数学史的人都知道，微积分诞生之初是建立于不严格的基础之上的。这使它从一开始就备受争议。有人认为，上世纪四五十年代的物理学奉行工具主义，实际上，真正的工具主义是在Newton时代。只要结果和现象符合，就是对的，不要管它什么基础。
但是，无穷小仍然困扰着所有为这门学科辩护的人。说远一点，很多人都说，微积分可以和现实模型如此逼近是这个学科的巨大成就。这话其实颠倒了。量子电动力学（QED）可以探索到一亿亿分之一米之内，但是微积分中的无穷小是一种要多小就有多小的“数”，那么它实际上要多精确就有多精确，我们要感叹的其实应该是“现实的测量技术和制造技术可以如此逼近微积分算出来的结果”，而不是相反地拿现实来验证微积分地准确度。
但是，正如很多人所熟知地那样，Newton和Leibnitz虽然在优先权上面掐架，但是在面对无穷小的时候实际上是同命的（可惜不是同命鸳鸯，不然不会为了优先权争个头破血流），早在微积分建立之处，荷兰物理学家Nieuwentyt就指责Newton的流数术含糊不清，同时指责Leibnitz的高阶微分缺乏根据。
著名主教Berkley于1734年发表《分析学家，或致一个不信神的数学家》，矛头直指Newton和Leibnitz以及Halley，它先扬后抑，先说：“流数方法逝一把通用的钥匙，当代数学家们借助它来解开几何学的、最终也是大自然的秘密。这一方法能够在发现定理和解决问题方面大大超越古人。”但接下来就开始讽刺：“正因为如此，其发挥和便成为那些号称深刻的几何学家们主要的（如果不是唯一的）事业。”或许他把 John Bernoulli讽刺Newton的话翻版了一下。他把无穷小说成是逝去的灵魂“它们既不是有限量，又不是无限小，又不是零，难道我们不能称它为消逝的灵魂吗？”
这篇文章实质上是给Newton和Leibnitz鞭尸，因为当时Leibnitz已经去世18年，Newton已经去世7年，看来在这方面Newton是胜利了，Lebnitz去世时Newton很高兴，并宣称因为生前伤害了他而深感欣慰。可见周伯通对郭靖说的一套理论简直是放之四海皆准的真理，那就是，当你恨一个人时，最好是和他比谁更长寿，如果对方先死了，你就胜利了。Newton一胜就是11年，可见他是相当不容易的。
Berkley的鞭尸至少使当时以及后世的数学家难堪，d Aalembert，Euler和Lagrange都加入了反击的行列。d Aalembert发展了Newton的首末比方法，但是他开始用极限概念代替了Newton含糊不清的“最初”于“最终”比，Euler不愧使“分析的化身”，他写的《无限小分析引论》，《微分学》，《积分学》，不仅是18世纪分析学的标准教材，而且是后世诸君公然抄袭于辗转抄袭的最好样本。在1755年出版的《微分学》中，Euler给出了“不同阶零”的理论，可惜太超前了，这么形式化的东西使得当时的数学家普遍无法理解，但是这个理论微积分基础的算术化于代数化论证打下了基础。但是他没有成功。
1786年，Lagrange在柏林科学院数学分部设立一个奖项，悬赏征答关于无穷小的合理解释。瑞士的Huillier获奖，他题写的一句话是：“无穷，是吞没我们思想的深渊。”但是他也没有解决问题。
Euler和Lagrange都至死未见问题的解决，据说，Euler在去世那天刚结束一个问题的思考，他抽了一口烟，被呛了一下，他说：“我要死了。”然后滑落到椅子下，死了。有一次著名数学家Erdos在演讲中讲到这里，一个听众在下面喊：“Euler最后猜想实现了。”
但是，他多少有些魂牵梦萦的无穷小的猜想却是在他死后近四十年才由一个法国青年数学家Cauchy渐渐实现。1821年Cauchy在名著《代数分析教程》中，给出极限论的奠基性工作，他定义了变量与函数的概念（第一个将函数的地位拉到数学的中心的是Euler），再定义变量的极限，然后说“无穷小是极限为零的量”，然后建立连续、导数与微分、积分。但是他认为连续函数必可导，后来的Weierstrass给出了一个处处连续却处处不可微的函数，也算是掘了Cauchy的墓。
有个教师让学生说个成语，能描述一个人高兴且带有数字的，一个学生非常自信地举手回答：“含笑九泉”。但是Cauchy实际上被Weierstrass搞得无法含笑九泉。Weierstrass指出Cauchy的论述方式依赖于几何直观，所以是不严密的，还有一点令现在的数学本科生都惊讶的是：Cauchy对于连续性和一致连续性都区分不清，Cauchy从直观上认为无理数是有理数的极限，但是无法严格论证，也正因为这个原因，他关于无穷小的一些论证是循环论证。Weierstrass和Cantor以及Dedkind分别独立地建立了实数理论。Dedkind地方法（Dedkind分割）是几何化的，Weierstrass和Cantor的方法则是一样的，都是从极限论本身出发，即用有理数基本序列的等价类来定义实数。基本序列是由Cauchy提出的，全人种树，后人乘凉。Cauchy实际上离建立实数理论仅一步之差却始终无法迈出，他知道基本序列就是有极限的序列。有理数的基本序列的极限不一定是有理数，在极限不是有理数时，Cauchy茫然失措，而后世的Cantor却这个有理数基本序列本身用来定义无理数。Cantor是个对于无限理论有着极度热情和自信的人，，他把基本序列这个对象视为一个点，把无限集作为一个整体使用，Cauchy那一步没有迈出就不足为奇了。
Weierstrass是在Cauchy的基础上建立起真正严密的微积分基础的，他第一个认识到严密化需要严格的实数概念。他定义了函数项级数一致收敛的概念，所以他被称为“分析之父”。
事情还没有完，当初物理学家和工程师那么方便地用无穷小解决问题，现在却被那些烦琐地逻辑论证取代了，无穷小就这样死了。看来无穷小从诞生之初就是错误？
先放着这个，我们来看第三次数学悖论。1900年的第二届世界数学家大会上数学大师Poincare宣称数学地绝对严密已经做到。一年后，Russel提出了著名的理发师悖论，使得Cantor提出的集合论受到严重威胁。Russel悖论迫使Dedkind立即推迟印发他关于数与连续性的第三版，Freg深表震惊，说“在工作结束后才发现那大厦的基础已经动摇，对于一个科学工作者来说，没有什么比这更不幸了。”
在经历了无数场没有结果的争论后，Zermelo于1908年提出了新的集合论体系，经过Fraenkel、Skolem和von Neumann改进后形成著名的Zermelo-Fraenkel公理集合论，加上选择公理，形成所谓的ZFC公理集合论。现代数学的逻辑学主体是在ZFC的基础上建立起来的。但是ZFC并不完备，它既不能证明自己的无矛盾性也无法判明连续统假设的真伪，而且选择公理会导致著名的“分球悖论”。在这方面，数理逻辑学家们都甘于当鸵鸟了，何况那些从事于数学基础无关学科的数学家？
真正非常“关心”数学危机的是一些哲学家和一些喜欢看数学家出丑且爱好危言耸听、哗众取宠的人，很可能上述的种类会在同一个人身上出现。数学危机的实质是什么？我不厌其烦地复述了那么多很多人都知道的事实是为了什么？
其实，所谓地数学危机只是人在江湖地产物，我么们这些事后诸葛是看不出什么危机不危机地，因为它们都解决了。我们可以看见先辈地艰辛，但是我们没有和他们共同为这些问题地解决共同努力过。在这种语境下，那些东西是相应时代困扰当时数学精英的“危机”，而不是真的危机。
第一次数学危机是因为没有无理数的概念，不可公度性成为Pythagoras学派的讳莫如深的话题。把数域扩张后，形成了实数域，问题解决了。
第二次数学危机虽然绵延两百多年，但是仍然通过上面所说的数位数学家尤其是Cauchy和Weierstrass的工作而圆满解决。
第三次数学危机出在集合概念的不精确之上，最后ZFC公理集合论的出现解决了这个问题。时间不超过30年，如果从Zermelo开始算的话，就7年。
上面还提到了无穷小的地位，现在接着补充几句，上世纪六十年代，Robinson提出了非标准分析（与Weierstrass的标准分析相对比），把无穷小和无穷大都纳入广义的数之中，恢复了无穷小的地位。在非标准分析里，无穷小是可以像一般的数那样自由运算的，但是不满足Archimedes性质。非标准分析要大量涉及数理逻辑，所以实际上学习起来比标准分析难许多。但是，如果它真的没有缺漏的话，那么从理论意义上说，它以一个很正当的理由复活了传统的无穷小。
在这里，我们就可以看出，三次数学危机实质上都是对象的定义不恰当导致的。这就犹如广义相对论的奇点一样。在Schwarzschild真空外部解中，r=2M和r=0处出现奇性，诱导度规下的线元变成无穷大。但是，r=2M（称为Schwarzschild半径）处的奇性是因为坐标选取的不当导致的，是伪奇性，上面的奇点都是伪奇点，或者称为坐标奇点。对Schwarzschild时空进行Kruskal延拓后可以消去Schwarzschild半径处的奇性，它实际上把Schwarzschild坐标与Eddington坐标的优点都吸收了，它时最完备的坐标覆盖并且消除了坐标奇性，但是它无法消除r=0处的奇性，这时时空奇性或者说时本质奇性。在黑洞理论中，r=2M是事件视界而不是时空奇点集。由两族类光测地线可以画出各点光锥分析质点运动，可以判明在Schwarzschild半径以内的任何光子都无法越出这个半径，而只能坠向时空奇点（r=0）。
同样道理，数学危机中对象的定义不精确犹如广义相对论中坐标选取的不当一样，前者导致伪数学危机，后者导致伪奇点。但是即使把对象定义地极度精确，数学中仍然无法避免Godel不完备定理，要知道即使是ZFC公理集合论，也难逃Godel不完备定理的制约，同样，即使选择了最大程度的坐标延拓——Kruskal延拓，也无法消除时空奇点，所有物质在这个奇点被撕得粉碎。
真正的“数学危机”时类似于Godel不完备定理的结论的出现，而不是那所谓的三次数学危机。真正的奇点时那个永远无法消除得时空奇点而不是事件视界上的点集。
当所谓的哲学家幸灾乐祸地笑话数学家在数学危机中地慌乱失措时，他们没有想到，正是他们嘲笑地这些人认识了这么深入地课题并且解决了这些课题，而那些哲学家连残羹剩饭都没有捞到手，只会自以为高明地瞎评论。
数学史专家Kline（请不要与著名数学家Klein混淆）认为数学家都是奉行“家丑不可外扬”的不诚实之人，所以他很正义地站出来告诉全世界被数学家愚弄地人们来认识数学地家丑。可惜，他真的很颠倒，数学界由什么困难和悖论，都是公之于世的，只不过外行人没有去留心而已。而那些数学“危机”的讨论，哪一次像政客密谋那样偷偷摸摸了？Kline想当英雄，但他没有当成功。
很可笑地是，Kline在《数学，确定性的丧失》中，举了个例子，说蜘蛛看见地下室地蜘蛛网破了，就担心大楼坍塌。但是Kline之流对于数学危机地渲染，其实也是和这蜘蛛一样可笑。是地，Godel不完备定理之类地真危机是存在地，但是它没有影响数学地健康发展，也没有影响数学在其他学科上地精彩应用。它只是说明了数学不是万能，说明了Hilbert元数学无法实现。
大学三年级时看到Halmos接受记者采访时的记录(那书很早了)，由于Halmos和Kline一样反对所谓的“新数学”教育，记者就把两这相提并论，这激起Halmos这位数学大师的愤怒，他直接抨击Kline数学观点的无聊与肤浅，当时我看了真是痛快极了。知音啊。因为我从大一开始就鄙视Kline以及Kline之流的以数学的审判官自居的不入流的角色。那是我大学时代最激动的读书经历之一，还有一次是看Weil在Columbia大学的《数论今昔两讲》，还有一次是看萧荫堂在1983年的数学家大会上关于复几何新进展的一小时报告。还有一次是读Milnor的《Morse理论》

漫漫长夜不知晓日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑梦魂飞度同心桥|
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红叶晚萧萧，长亭酒一瓢
残云归太华，疏雨过中条
树色随山迥，河声入海遥
帝乡明日到，犹自梦渔樵

发表时间：2005-09-29, 17:22:18

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追忆

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Re: （原创）数学危机与广义相对论奇点

这篇比那篇看得还爽。

ps:萍兄下次来可否顺便帮忙解答一个疑问：
所谓的函数的连续性与一致连续性的区别是什么？（上文也提到，我以前学到也是没有完全弄清楚）

青山隐隐水迢迢，秋尽江南草木凋；
二十四桥明月夜，玉人何处教吹萧？

发表时间：2005-09-29, 21:02:18

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星空浩淼

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Re: （原创）数学危机与广义相对论奇点

谢谢萍踪兄给我们带来如此美文，我不说“辛苦了”，因为学者在思考写作这种文章时有一种内在的快乐伴随，而看的人则是一种高级享受。这就是做学问的乐趣吧！

碰巧，这次的论题是我感过兴趣的。萍踪兄这次的文章从正统观点来看，写得很干净，实在挑不出刺（上次出于搞笑，挑错别字，这次就免了）。当然如果顺便提一下基于测度理论的积分理论就更完善了。

我这里说一些个人看法：

1）我觉得，只要实无穷和潜无穷的争论还在，第二个危机似乎还不能说有最后定论。

2）第二点，也是我真正想说的一点，我觉得第三次危机，与其说是被解决了，不如说是暂时避开了。在逻辑学领域，尽管有相对而言影响比较大的“分层论”理论，罗素悖论始终还是一个争论的话题。正因为只是暂时被压下去了，所以后来以歌德尔定理的方式再次发作。

事实上，歌德尔定理的证明，本质上跟构造罗素悖论是一个同构的过程。如同群论那里，不同的群如果同构，从抽象群的眼光看，可以视为同一个群。同样，我觉得歌德尔定理在狭义的意义上讲，是罗素悖论的另一种形式的翻版。也许，一致性和完备性，如同量子力学中的测不准关系，的确是一个两难取舍。在这种理解下，歌德尔定理也好，罗素悖论也好，不再是一个有待解决的“问题”或者“危机”，而是一个客观真理，在逻辑学中类似罗素悖论这样的悖论，是一个合理存在的逻辑实体，而不是什么洪水猛兽。我们要学会与他们和平相处。

因此，我觉得第二次危机跟第三次危机与广义相对论中奇点问题的类比，只能跟同一种类型的奇点类比。

唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存

发表时间：2005-09-29, 21:49:36

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卢昌海

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Re: （原创）数学危机与广义相对论奇点

萍踪兄出门在外，回帖不易，我代他回答追忆兄的问题吧。一个函数（以一维实函数为例）在某一点x连续指的是对任意给定的ε>0，都可以找到δ>0，使与x相距小于δ的的所有点的函数值与x点处的函数值之差（绝对值）小于ε。通常来说对于一个给定的ε，δ的选择是与x有关的。倘若在定义域的某一个区间内δ的选择可以做到与x无关，则我们说该函数在该区间内一致连续。所谓“一致”通俗地讲就是只要选一个δ就可以保证在整个区间内相距小于δ的任意两点的函数值变化一致乖乖地小于ε。

这个概念与我在 Riemann 猜想漫谈第十三篇中提到的“一致有界”类似（数学上还有许多彼此类似的“一致”什么什么的定义，可以触类旁通）。

宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒

发表时间：2005-09-29, 21:52:45

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星空浩淼

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Re: （原创）数学危机与广义相对论奇点

补充一句：原来我跟萍踪兄是家门。我去年在太原参加一个学术会议时，在晋祠顺便拜祭了一下我们的祖先，呵呵！

过去我专钻逻辑时，对数学基础好好地迷了一下，所以这次论题刚好是我曾经比较熟悉和感兴趣的。

唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存

发表时间：2005-09-29, 22:01:28

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追忆

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Re: （原创）数学危机与广义相对论奇点

非常谢谢昌海兄的回答！

记得第一次接触“一致性”的概念时（包括“一致连续”、“一致有界”等）是在高二时期，那时迷恋《微积分》，可惜资料不足，当时学的只是东南大学出版的一本普通教程（主编：赵曾南？）。
那时思维的理解能力远远不足现在，所以一些概念的理解还很是模糊不清。包括有关留数的分类标准--laurent级数---也是一样。我当年学复涵数论时有个定理我一直印象深刻，那就是关于确定一个复解析函数中的零点个数时有个“幅角原理”里面有个操作是将旋转角度进行反变换，即取 arg 2n Π .........（“Π ”是圆周率的符号，键盘上不知道如何表示），旋一周如果区间有个零点的话那么值必会增加“一”，当时我的理解就是这样，很是好笑。但我相信那时的理解也是对的。
还有关于抽象维的N维欧氏空间，我当年第一次学到时就将它理解成N个不同方向上的方向自由度，原以为单纯是自己的理解，直到后来才正好证明自己的理解是对的，的确是有趣。

青山隐隐水迢迢，秋尽江南草木凋；
二十四桥明月夜，玉人何处教吹萧？

发表时间：2005-09-29, 23:28:20

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荒唐

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赞！萍踪兄到底是不是地球人啊？

问一下，这个数学史学家Klein是在书中“告诉全世界被数学家愚弄地人们来认识数学地家丑”么？我在那本书里面似乎没有感觉到他认为数学有这么严重的问题。感觉他的观念：绝对的严密对于数学的发展来说不一定总是绝对必要的东西，只有事情混乱到一定程度导致进一步深入变得困难的时候才有必要使用这种“解毒剂”来解解毒。我的理解对么？

我是外行，我关于物理和数学的理解都不可靠，但我虔诚地希望各位老大的指教。请不要因为我的无知而抛弃我，我是一个真心的物理数学爱好者(^!^)

发表时间：2005-09-30, 06:09:40

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萍踪浪迹

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Re: （原创）数学危机与广义相对论奇点

是美国的Kline，不是德国那个Klein
他在书的前言中就开始哗众取宠了

发表时间：2005-10-01, 05:57:50

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萍踪浪迹

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Re: （原创）数学危机与广义相对论奇点

谢谢昌海兄的有心和代劳了
昌海兄已经对收敛这个定义作了很精细的解释
我来通俗一番
通俗点说，普通的收敛是对于常数项级数而言
如果对于函数项级数，对于每一个变量都是收敛的，就是一致收敛
一致收敛的判别方法有Cauchy法，Weierstrass判别法，Dirichletet判别法以及Abel判别法
在复变函数中也有相应的概念
还有一个重要的推广概念就是“内闭一致收敛”

发表时间：2005-10-01, 06:05:18

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yinhow

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Re: （原创）数学危机与广义相对论奇点

嘿嘿，我才不管它收敛还是张扬，拿过来就算。我算得出它就收敛，我算不出，任它张扬好了。

发表时间：2005-10-02, 21:00:53

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青苔