yinhow
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关于theta函数
站长刚在主页上发表了LAGRANGE四平方定理, 它还有一个解析的证明, 主要用到了theta函数的性质. 对比\theta_{00}^{4}和二阶修正Eeinstein级数在SL(2,Z)的一个子群变换下的函数方程. 再对比他们在尖点的值, 可以证明它们只相差一个常数因子\frac{\pi^2}{4}. 由Eeinstein级数的FOURIER级数展开系数可以读出一个自然数N表示为四个平方数的表示数目r_{4](N)=8\sum_{d|N}d,N 是奇数. r_{4](N)=24\sum_{d|N,d=1(mod2)}d,N是偶数. 另一种说法是说H/Gamma(1,2)上的模形式表示空间是一维的, 而这两者都是模形式, 所以它们必然成正比.
这种方法好象是杀鸡用牛刀, 不过好处是能把表示数目具体给出来.
按: 我的风格和萍兄明显不同, 我是5个字能表达的决不用6个字, 越简明越好. 同样写广义相对论的教材, DIRAC的是薄薄的两百页不到, 而Minse, Thorn, Wheel的是两千页.
| 发表时间：2005-09-29, 21:30:27 |
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星空浩淼
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Re: 关于theta函数
yinhow兄太简略也不好，必要的说明，便于交流，因为你是专门钻研过的，别人只是一看。太简略容易引起误会，写论文容易让审稿人误审，这是经验之谈（论文如果有错，不能指望审稿人是笨蛋看不出来；而论证过程太简略，不要指望审稿人很聪明不言而喻。所以战略上要藐视审稿人，战术上要重视审稿人）。
过去我们私下一些交流，就觉得你有时太简略，该说明一下的地方没有叙述清楚，没有必要的交代，而实际上你的聪明才智、精彩之处就隐含其中。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-09-29, 22:25:19 |
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yinhow
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Re: 关于theta函数
星空兄说的是. 如果碰到同行专家评审的话，给的意见都是很贴题的。
继续回自己的贴：
一般theta函数的定义是：\theta(q)=\sum_{-\infty}^{\infty}q^{n^2}.
如果我们能找到theta函数四次方的展开式：\theta(q)^4=\sum_{0}^{\infty}r(n)q^n, 并且给出r(n)的表达式，对所有的n, r(n)不等于零，那么就证明了四平方定理。
Jacobi 给出了这样的表达式：\theta(q)^4=1+8\sum_{0}^{\infty}\frac{(n+1)q^{n+}}{1+(-q)^{n+1}}.
Jacobi 还给出了许多类似的恒等式，有四十个左右，可怜俺只能证明两个。数学上恒等式的证明，方法有：一是Ramanujan的技巧，看作是另外一个恒等式（容易证明）的展开系数，譬如说Jacobi椭圆函数dn(k), 就能给出一个很漂亮的等式。 一是上贴用的方法， 对比函数方程和特殊点的值，表示维数是一维， 只好相等。还有的是用原子弹了，譬如指标
定理，顶点代数，无限维李代数表示的weyl公式等等。
王竹溪在他书的序中说到，whittack, waston的现代分析老了一点，其实他处理theta函数的角度也是老了一点，Mumford是从RIEMAN面(代数几何)的角度处理的， KAC是从
无限维李代数的表示角度处理的。而且他的书上大名鼎鼎的Jacobi theta函数恒等式也不给，找不到。
| 发表时间：2005-10-01, 03:40:11 |
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萍踪浪迹
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Re: 关于theta函数
我的风格和萍兄明显不同, 我是5个字能表达的决不用6个字, 越简明越好. 同样写广义相对论的教材, DIRAC的是薄薄的两百页不到, 而Minse, Thorn, Wheel的是两千页.
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可是从Dirac的书中学不到相对论~
我也喜欢简略
但是，在一些问题上要照顾初学者
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥|
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红叶晚萧萧，长亭酒一瓢
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帝乡明日到，犹自梦渔樵
| 发表时间：2005-10-01, 06:15:11 |
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星空与道德
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Re: 关于theta函数
我个人偏向于用代数几何的观点作为Theta函数的定义，用其他的角度来进行计算。自从有了向量从的模空间以后，有人在做广义的Theta函数，挺有趣的方向，和很多数学分支有关系。
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-01, 17:11:05 |
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