星空与道德
发表文章数: 258
武功等级: 华山剑法
(第九重)
内力值: 360/360
一个关于Lagrangian density的问题
各位栈友，最近我开始学supersymmetry,由于很久以来一直在做数学，再加上以前也没好好学物理，已经忘了很多。今天在复习时我碰到一个问题，也许很愚蠢，见笑了。
对于很多方程，我们可以找到Lagrangian(当然不唯一），使得他的Euler-Lagrange equation 就是原来的方程。
为什么我找不到Schrodinger 方程的Lagrangian? 如果有，是什么？
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-01, 03:02:49 |
 作者资料
|
星空与道德
发表文章数: 258
武功等级: 华山剑法
(第九重)
内力值: 360/360
Re: 一个关于Lagrangian density的问题
刚刚想到在Schrondinger方程中对t是一阶导，联想到Dirac方程，
以及波函数\psi为复函数（于是有共轭存在）。所以可以有Lagrangian density如下
L=(\psi*)D_t(\psi)+D_u(\psi*)D_u(\psi), 这里u>0.
由这个L可以得到Schrodinger方程，但\psi变为\psi*.
物理系的同学，请帮我看看对不对。（本人只是物理爱好者，没有修过课，所以很多东西自己不敢肯定对错）。
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-01, 04:30:53 |
作者资料
|
卢昌海
发表文章数: 1617
武功等级: 北冥神功
(第一重)
内力值: 602/602
Re: 一个关于Lagrangian density的问题
The reason people seldomly discuss Lagrangian density (which is used in field theory) for Schrodinger equation is because Schrodinger equation is usually used as a quantum mechanics equation in which we only need a Lagrangian (not a Lagrangian density). In quantum field theory in which Lagrangian density is used, the particle creation/annihilation are intrinsically relativistic processes, so people almost never use Schrodinger's equation which is non-relativistic.
Schrodinger's equation can still be formally treated as a field theory and may have applications in certain area.
When considering variational principle for Schrodinger's equation, \psi and \psi* are independent variables, take variation with respect to both, you will get (equivalent) equations for both \psi and \psi*.
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2005-10-01, 07:22:57 |
作者资料
|
星空与道德
发表文章数: 258
武功等级: 华山剑法
(第九重)
内力值: 360/360
Re: 一个关于Lagrangian density的问题
多谢昌海兄的耐心解释，我已经意识到这是一个愚蠢问题了。无论如何，你的回答让
我清楚地理解了一些东西。
其实关于Lagrangian我有很多疑惑未解，但一直压在心头。为了理解Witten关于Seiberg-Witten不变量的构造， 现在觉得该是学Supersymmetry和String Theory的迫切关头了，所以老问题都冒出来了。很多问题是静下心来就能解决的，还有
一些是关卡。
一个这样的关卡就是在对质量为m的自由粒子做量子化时，Action从
S=m \integral ds
改为另一个，其中没有dX^u/dt的平方根出现，但代价是引入了一个新的场。大家都是学物理的，应该知道我在说什么，抱歉我没法将公式打出来。
我想说的是，这个新的Action有什么物理含义吗？
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-01, 17:00:59 |
作者资料
|
卢昌海
发表文章数: 1617
武功等级: 北冥神功
(第一重)
内力值: 602/602
Re: 一个关于Lagrangian density的问题
I guess you mean the einbein field method. The Lagrangian in that method has a close link with the propagator of a relativistic particle. The einbein field plays the role of a metric along the particle world-line.
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2005-10-01, 19:14:19 |
作者资料
|
sage
发表文章数: 1125
武功等级: 天山六阳掌
(第六重)
内力值: 535/535
Re: 一个关于Lagrangian density的问题
>一个这样的关卡就是在对质量为m的自由粒子做量子化时，Action从
>S=m \integral ds
>改为另一个，其中没有dX^u/dt的平方根出现，但代价是引入了一个新的
>场。大家都是学物理的，应该知道我在说什么，抱歉我没法将公式打出
>来。
my guess is that you are talking about from Nambu-Goto string action to Polyakov string action.
Those two actions are equivalent. A field without a kinetic term is not dynamical. it serves only as a contraint to the equation of motion derived from the action.
That new field introduced in the Polyakov action is of this kind. It is called a auxiliary field, means it is not dynamical.
the benefits of introducing such a field is that it cast the action into a form which is familiar to us. It is straight forward to apply quantization prodcedure to a quadratic action.
我想说的是，这个新的Action有什么物理含义吗？
| 发表时间：2005-10-02, 16:45:08 |
作者资料
|
星空与道德
发表文章数: 258
武功等级: 华山剑法
(第九重)
内力值: 360/360
Re: 一个关于Lagrangian density的问题
两位大牛说得都没错。昌海兄指的是粒子的情况，而 Sage 提的是弦论的情形。不论理解了哪一个，都算是过了这一关。
所以我的理解是这样的，改变这个 Lagrangian 的首要目的是为了作量子化。而路径积分
对二次形式的作用量才比较容易处理，所以从这个意义上这样改变后的 Lagrangian 才能从技术上做量子化或重整化。
其实从形式上我是可以接受的，但对这样新引入的场（昌海的 Einbein field，或 Sage 的 auxiliary field）没有任何感觉。
从经典的角度来看 a metric along the particle world-line 是什么意思？结合Sage兄所言, A field without a kinetic term is not dynamical. it serves only as a contraint to the equation of motion derived from the action. 是不是可以理解为一种力作用在运动粒子上，或者直接照搬Sage说的，是一种在运动粒子上的约束。如果用力的角度来看的话，我们要求这种力是给定的，而不考虑它自身那部分的 Action, 就像势能一样。
举个例子来说，这种情况类似于电磁场中的粒子，如果不考虑场本身那部分的 Action，也就是不考虑场本身的 dynamics, 那么 Lagrangian 中就没有场的项，F^{ij}F_{ij}，但却有场对粒子的作用项。这里的 auxiliary field 或 Einbein field 指的就是这种意义下的电磁场。
当我写完这些的时候，想到在比较这两个Lagrangian等价的时候，要利用这个辅助场的变分，导出这个辅助场的方程，是不是说这个方程中没有动能项，而不能算是"运动"方程，因此与Sage说的"这个场不是dynamical"不矛盾？
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-04, 15:00:45 |
作者资料
|
sage
发表文章数: 1125
武功等级: 天山六阳掌
(第六重)
内力值: 535/535
Re: 一个关于Lagrangian density的问题
>从经典的角度来看 a metric along the particle world-line 是什么意思？结合
>Sage兄所言, A field without a kinetic term is not dynamical. it serves only as
> a contraint to the equation of motion derived from the action. 是不是可以理解
>为一种力作用在运动粒子上，或者直接照搬Sage说的，是一种在
>运动粒子上的约束。如果用力的角度来看的话，我们要求这种力是
>给定的，而不考虑它自身那部分的 Action, 就像势能一样。
It is a constraint, just like a Lagrangian multiplier in classical mechanics, It does not have to have a physical meaning by itself.
举个例子来说，这种情况类似于电磁场中的粒子，如果不考虑场本身那部分的 Action，也就是不考虑场本身的 dynamics, 那么 Lagrangian 中就没有场的项，F^{ij}F_{ij}，但却有场对粒子的作用项。这里的 auxiliary field 或 Einbein field 指的就是这种意义下的电磁场。
sort of right.
without kinetic term, a field is not dynamical. this means
1) it is not a physical field which propagates. It is a classical background which leads to a constraint.
2) it does not have quantum fluctuations. therefore, we could eliminate it from lagrangian using its equation of motion. applying this procedure to Polyakov lagrangian leads to Nambu-Goto string. however, as I said, it is more convenient to deal with Polyakov action.
当我写完这些的时候，想到在比较这两个Lagrangian等价的时候，要利用这个辅助场的变分，导出这个辅助场的方程，是不是说这个方程中没有动能项，而不能算是"运动"方程，因此与Sage说的"这个场不是dynamical"不矛盾？
| 发表时间：2005-10-04, 22:03:41 |
作者资料
|
星空浩淼
发表文章数: 1743
武功等级: 九阳神功
(第五重)
内力值: 617/617
Re: 一个关于Lagrangian density的问题
其实在顾德纳的那套理论物理丛书系列里，其中field quantization那本书里有薛定谔方程对应的Lagrangian density，并且有许多相关的精彩论述。
楼主以前一口断言，两个算子如A，B的对易子[A，B]=AB-BA绝不可能等于一个常数，让我误以为楼主连量子力学都没有好好学过。想不到原来楼主学的很深奥很前沿。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-10-04, 23:46:24 |
作者资料
|
星空与道德
发表文章数: 258
武功等级: 华山剑法
(第九重)
内力值: 360/360
Re: 一个关于Lagrangian density的问题
其实在顾德纳的那套理论物理丛书系列里，其中field quantization那本书里有薛定谔方程对应的Lagrangian density，并且有许多相关的精彩论述。
---------------------
我后来也在Schiff 的量子力学中靠近最后的部分看到Schrondinger方程的量子化，也就是把Schrodinger方程看成经典场方程，然后做场的量子化，最后结果等价于多粒子体系的Schrodinger方程。因为这个方程是非相对论的，所以后来又讨论了Dirac方程。
楼主以前一口断言，两个算子如A，B的对易子[A，B]=AB-BA绝不可能等于一个常数，让我误以为楼主连量子力学都没有好好学过。想不到原来楼主学的很深奥很前沿。
--------------------
其实我是没怎么好好学过，我都是纸上谈兵的功夫，最近在花时间自己独立推导和理解。不过我可从没说过"两个算子如A，B的对易子[A，B]=AB-BA绝不可能等于一个常数"这句话。星空兄一定记错人了。
感谢昌海，Sage, 星空兄的回复，让我有了继续学下去的动力和信心。
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-05, 14:40:55 |
作者资料
|
星空与道德
发表文章数: 258
武功等级: 华山剑法
(第九重)
内力值: 360/360
Re: 一个关于Lagrangian density的问题
最后一个这方面的问题，经典意义下的constraint比较容易理解，Lagrangian Multiplier 也很直观，这里这种形式的constraint是一种一般的构造，还是极为特殊的？
也就是说，如果事先不知道运动方程，是否可以写下这个Lagrangian的基本形式，还是要完全靠运动方程来猜他的形式（辅助场的出现方式）？
另外，在做二次量子化时，将Klein-Gordon方程或Dirac方程看成是经典场方程来做量子化。这样做是出于有物理解释的原因，还是因为结果有物理解释才接受这种做法？
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-06, 03:32:16 |
作者资料
|
青苔